北师大版七年级下册3 平行线的性质课时练习

平行线的性质及尺规作图（基础）知识讲解

【学习目标】

1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理.

2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念.

3．了解尺规作图的基本知识及步骤；

4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识.

【要点梳理】

要点一、平行线的性质

    性质1：两直线平行，同位角相等；

    性质2：两直线平行，内错角相等；

    性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．

 (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

的距离．

要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．

要点三、尺规作图

1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．

要点诠释：

（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．

（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．

（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．

2.八种基本作图（有些今后学到）：

（1）作一条线段等于已知线段．

（2）作一个角等于已知角．

（3）作已知线段的垂直平分线．

（4）作已知角的角平分线．

（5）过一点作已知直线的垂线．

（6）已知一角、一边做等腰三角形．

（7）已知两角、一边做三角形．

（8）已知一角、两边做三角形．

【典型例题】

类型一、平行线的性质 

1．（2020秋•昌邑市期末）已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．

【思路点拨】过E作EF∥AB，再由条件AB∥DC，可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠5，∠4=∠6，然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，进而得到结论．

【答案与详解】

证明：过E作EF∥AB，

∵AB∥DC，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠1=∠5，∠4=∠6，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，

∴AE⊥DE．

【总结升华】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．

举一反三：

【变式】（2020•泰州）如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=　     　．

【答案】140°．

【详解】如图，

∵l1∥l2，

∴∠3=∠1=40°，

∵∠α=∠β，

∴AB∥CD，

∴∠2+∠3=180°，

∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．

故答案为140°．

类型二、两平行线间的距离

2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则(    ) ．

    A．S1＞S2    B．S1＝S2    C．S1＜S2    D．不确定

【答案】B

【详解】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．

【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．

举一反三：

【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为       平方厘米．

【答案】5  (提示：连接BF，则BF∥AC)

类型三、尺规作图

3．已知：∠AOB．

利用尺规作： ∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．

【思路点拨】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．

【答案与详解】

作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；

（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．

作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；

（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；

（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点E；

（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；

（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．

【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．

类型四、平行的性质与判定综合应用

4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝(  )

A．180°    B．270°    C．360°    D．540°

【答案】C  

【详解】过点C作CD∥AB，

∵ CD∥AB，

∴ ∠BAC＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)

又∵ EF∥AB

∴ EF∥CD．（平行公理的推论）

∴ ∠DCE＋∠CEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)

又∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE

∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°

【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC ＋∠ACE＋∠CEF＝360°．

举一反三：

【变式】如图所示，如果∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系       ．

【答案】平行