初中数学北师大版七年级下册3 平行线的性质习题

平行线的性质及尺规作图（提高）知识讲解

【学习目标】

1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；

2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；

3．了解尺规作图的基本知识及步骤；

4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识.

【要点梳理】

要点一、平行线的性质

    性质1：两直线平行，同位角相等.

    性质2：两直线平行，内错角相等.

    性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．

 (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

的距离．

要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．

要点三、尺规作图

1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．

要点诠释：

（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．

（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．

（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．

2.八种基本作图（有些今后学到）：

（1）作一条线段等于已知线段．

（2）作一个角等于已知角．

（3）作已知线段的垂直平分线．

（4）作已知角的角平分线．

（5）过一点作已知直线的垂线．

（6）已知一角、一边做等腰三角形．

（7）已知两角、一边做三角形．

（8）已知一角、两边做三角形．

【典型例题】

类型一、平行线的性质 

1.（2020春•荣昌县期末）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°．

（1）求∠DOF的度数；

（2）试说明OD平分∠AOG．

【思路点拨】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解；

（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解．

【答案与详解】

解：（1）∵AE∥OF，

∴∠FOB=∠A=30°，

∵OF平分∠BOC，

∴∠COF=∠FOB=30°，

∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°；

（2）∵OF⊥OG，

∴∠FOG=90°，

∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°，

∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，

∴∠AOD=∠DOG，

∴OD平分∠AOG．

【总结升华】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键．

举一反三：

【变式】（2015•青海）如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1=58°，则∠2=　    　．

 【答案】32°

类型二、两平行线间的距离

2.下面两条平行线之间的三个图形，图    ③的面积最大，图      ②的面积最小．
 

【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.

【答案】图3，图2

【详解】

解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2＝4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2＝4.5；5＞4.5＞4；
所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.
【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.

举一反三：

【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是       厘米.

【答案】35

类型三、尺规作图

3. 如图所示，已知∠和∠，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝2（∠-∠）．

【答案与详解】

作法：如图所示．（1）作∠COD＝∠；

（2）以射线OD为一边，在∠COD的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠；

（3）以射线OC为一边，在∠COA的内部作∠COE，使∠COE＝∠；

（4）以射线OE为一边，在∠EOA内部作∠EOB，使∠EOB＝∠，则∠AOB就是所求作的角．

【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角．

4. (苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．

【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．

【答案与详解】

解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，

显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．

【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．

举一反三：

【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为    (    )

    A．600m2    B．551m2    C．550m2    D．500m2

  【答案】B

类型四、平行的性质与判定综合应用

5. (黄冈调考)如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．

【思路点拨】过P点作AB的平行线，问题便会迅速得到求解．

【答案与详解】

解： (1)∠A+∠C＝∠P；         (2)∠A+∠P+∠C＝360°；

      (3)∠A＝∠P+∠C；          (4)∠C＝∠P+∠A．

 现以（3）的结论加以证明如下：

如上图，过点P作PH∥AB ，因为AB∥CD，所以PH∥AB∥CD．

所以∠HPA＋∠A＝180°，即∠HPA＝180°－∠A；

    ∠HPA＋∠P＋∠C＝180°，即180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，也即∠A＝∠P+∠C．

【总结升华】随着折点的不同，结论也会不同，但解法却如出一辙．都是过折点作平行线求解．

举一反三：

【变式1】如图，AB∥CD，∠ABG＝42°，∠CDE＝68°，∠DEF＝26°．

求证：BG∥EF．

【答案】如图，分别过点G、F、E作GP∥AB，FQ∥AB，ER∥CD，又因为AB∥CD，

所以AB∥GP∥FQ∥CD∥FQ．

∴∠1＝42°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠5＋26°＝68°，

∴∠5＝68°－26°＝42°，且∠4＝∠5＝42°．

∴∠1＋∠2＝42°＋∠2；∠4＋∠3＝42°＋∠3．

∴∠1＋∠2＝42°＋∠3，即∠BGF＝∠GFE．

∴BG∥EF．

【变式2】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是(   ) ．

A．120°    B．130°    C．140°    D．150°

【答案】D