中考数学考点一遍过 考点11 二次函数

这是一份中考数学考点一遍过 考点11 二次函数，共67页。试卷主要包含了学会运用函数与方程思想，学会运用数形结合思想，要学会抢得分点，学会运用等价转换思想，学会运用分类讨论的思想，转化思想等内容，欢迎下载使用。
中考数学总复习六大策略
1、学会运用函数与方程思想。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
常见的转化要领有：
（1）直接转化法：把原问题直接转化为根基定理、根基公式或根基图形问题。
（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较庞大的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的根基问题。
（3）数形结正当：研究原问题中数量干系（解析式）与空间形式（图形)干系，通过相互调动得到转化途径。
（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达化归的目的
（5）特殊化要领：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题。
（6）结构法：“结构”一个符合的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
（7）坐标法：以坐标系为工具，用计较要领解决几许问题也是转化要领的一个重要途径。
考点11 二次函数

二次函数是非常重要的函数,年年都会考查,总分值为18~20分，预计2021年各地中考还会考,它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查.

一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
二、二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)．
(2)顶点式：y=a(x–h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)．
(3)交点式：y=a(x–x1)(x–x2)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
三、二次函数的图象及性质
1．二次函数的图象与性质
解析式
二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)
对称轴
x=–
顶点
(–，)
a的符号
a>0
a0
开口向上
a0(a与b同号)
对称轴在y轴左侧
ab0
与y轴正半轴相交
c0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
(2)b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
(3)b2–4ac0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a>0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．

1．(2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【解析】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．

考向三 二次函数的图象与字母系数的关系

1．(2020·湖北荆门·中考真题)如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．

【答案】①④
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【解析】解：① 开口向下， a0， abc4,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点(3，-1)代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
2．(2020·山东日照·中考真题)如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点(﹣3，﹣2)，方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2(|x1|＜|x2|)，则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为(-3，-2)，另一个交点为(1，-2)，即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
【解析】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；
∵x＝﹣1时，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c(m为任意实数)，
即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)图象经过点(﹣3，﹣2)，方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2(|x1|＜|x2|)，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为(﹣3，﹣2)，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为(1，﹣2)，
即x1＝1，x2＝﹣3，∴2x1﹣x2＝2﹣(﹣3)＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0，c)．

1．(2020·浙江宁波·中考真题)如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是(　　)

A．abc＜0 B．4ac﹣b2＞0 C．c﹣a＞0 D．当x＝﹣n2﹣2(n为实数)时，y≥c
【答案】D
【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据一次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故C错误；当x=-n2-2(n为实数)时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a(-n2-2)+b(-n2-2)=an2(n2+2)+c，于是得到y=an2(n2+2)+c≥c，故D正确．
【解析】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；
∴一次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；
∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；
当x＝﹣n2﹣2(n为实数)时，y＝ax2+bx+c＝a(﹣n2﹣2)+b(﹣n2﹣2)＝an2(n2+2)+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2(n2+2)+c≥c，故D正确，故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
2．(2020·广东中考真题)如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
【解析】解：根据题意，则，，∵，∴，∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，令时，，∴，故③正确；
在中，令时，则，令时，，
由两式相加，得，故④正确；∴正确的结论有：②③④，共3个；故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．

考向四 二次函数的性质
二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．

1．(2020·江苏南京·中考真题)下列关于二次函数(为常数)的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
【答案】①②④
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【解析】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象
该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确
对于 当时，即函数图象一定经过点，②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，③错误
的顶点坐标为 对于二次函数 当时，
即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
2.(2020·湖北黄石·中考真题)若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．
【解析】解：根据题意，把点、、代入，则
，消去c，则得到，解得：，
∴抛物线的对称轴为：，
∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，∴；故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
3．(2020·浙江嘉兴·中考真题)已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是(　　)
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值 B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值 D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
【答案】B
【分析】①当b﹣a＝1时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan＝n﹣m，再判断出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围；
②当n﹣m＝1时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判断出45°≤∠MNH＜90°，即可得出结论．
【解析】解：①当b﹣a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C， ∴∠BCD＝90°，

∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，∴0°≤∠ABC＜90°，∴tan∠ABC≥0，∴n﹣m≥0，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝，∵点M，N在抛物线y＝x2上，∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，∴点N(0，0)，M(1，1)，∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴≥1，
当a,b异号时，且m=0,n=1时，a,b的差距是最大的情况，此时b-a=2,
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键．

1．(2020·贵州黔东南·初三月考)已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是( )
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点
【答案】C
【分析】由抛物线的二次项的系数判断A，把抛物线写成顶点式，可判断B，由得抛物线的图像在对称轴的左侧，从而得到y随x的增大而增大，利用的值，判断D．
【解析】解：＜ 所以抛物线的开口向下，故A错误，
所以抛物线的顶点为： 故B错误，
当，即在抛物线的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故C正确，
＞
所以抛物线与轴有两个交点，故D错误，故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向，顶点坐标，增减性，及与轴的交点个数的判断方法是解题的关键．
2．(2020·山东临沂·中考真题)已知抛物线．设点，在抛物线上，若，则m的取值范围 ．
【答案】当a＞0时，；当a＜0时，或．
【分析】根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．
【解析】∵抛物线的对称轴为，∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，则m＜-1或m＞3.
【点睛】本题考查了二次函数对称轴，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．
3．(2020·西藏中考真题)当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
【答案】10
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
【解析】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝(x﹣2)2+1，∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝(﹣1﹣2)2+1＝10，故答案为：10．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

考向五 二次函数的平移
1．抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．
2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x–h)2+k的形式．
3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是(0，0)，y=a(x–h)2+k的顶点是(h，k)．
4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．

1．(2020·浙江衢州·中考真题)二次函数y=x2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是(　　)
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【答案】C
【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
【解析】解：A、平移后的解析式为y=(x+2)2﹣2，当x=2时，y=14，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为y=(x+1)2+2，当x=2时，y=11，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为y=(x﹣1)2﹣1，当x=2时，y=0，函数图象经过(2，0)，本选项符合题意．
D、平移后的解析式为y=(x﹣2)2+1，当x=2时，y=1，本选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，掌握二次函数的平移特征是解题的关键．
2．(2020·湖北孝感·中考真题)将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
【解析】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数．


1．(2020·陕西中考真题)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣(m﹣1)x+m(m＞1)沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【解析】解：，该抛物线顶点坐标是，，
将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，，
，，，
，
点，在第四象限；故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
2．(2020·黑龙江哈尔滨·中考真题)将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
【解析】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，
函数的表达式为：．故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

考向六　二次函数与一元二次方程、不等式的综合
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定.
1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．
2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点(即顶点)时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．
3．当Δ0时)或在x轴的下方(a0，∴抛物线开口向上，∵抛物线经过第四象限的点(1，-1)
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1，故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键．
2．(2020·四川中考真题)已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是(　　)
(1)2a+b＝0；(2)当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
(3)当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
(4)如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由不等式的解集得出a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，从而得出2a+b=0，即可判断(1)；根据△=4a(a﹣c)＞0即可判断(2)；求得抛物线的顶点为(1，a﹣c)即可判断(3)；求得0＜﹣＜3，得出不等式组的解集为﹣＜m＜0即可判断(4)．
【解析】(1)∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，∴a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，∴2a+b=0，故结论正确；
(2)函数y=ax2+bx+c中，令y=0，则ax2+bx+c=0，∵b=﹣2a，∴△=b2﹣4ac=(﹣2a)2﹣4ac=4a(a﹣c)，
∵a＜0，c＞a，∴△=4a(a﹣c)＞0，
∴当c＞a时，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
(3)∵b=﹣2a，∴﹣=1，==c﹣a，∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1，c﹣a)，
当x=1时，直线y=ax+b=a+b=a﹣2a=﹣a＞0当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=ax+b的上方，故结论正确；
(4)∵b=﹣2a，∴由2a﹣mb﹣m=0，得到﹣b﹣mb﹣m=0，∴b=﹣，如果b＜3，则0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故结论正确；故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b=﹣2a是解题的关键．

1．(2020·云南昆明·中考真题)如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B(0，﹣2)，点A(﹣1，m)在抛物线上，则下列结论中错误的是(　　)

A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝ D．点P1(t，y1)，P2(t+1，y2)在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2，0)与(3，0)之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B(0，−2)，A(−1，m)和b＝−2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断．
【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在(0，0)与(﹣1，0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2，0)与(3，0)之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B(0，﹣2)，A(﹣1，m)代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，∴a＝，所以C选项的结论正确；
∵点P1(t，y1)，P2(t+1，y2)在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误；故选：D．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．
2．(2020·贵州毕节·中考真题)已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数图象对称轴位置及抛物线与轴交点的位置，分别判断四个结论正确性．
【解析】解：，是一元二次方程的两个根，、是抛物线与轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为，，即，故选项错误；
由图象可知，，，解得：，故选项正确；
抛物线与轴有两个交点，，故选项错误；
由对称轴可知，可知，故选项错误．故选：．
【点睛】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

考向六　二次函数的实际应用
在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等

1．(2020·四川绵阳·中考真题)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为(　　)

A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，

设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，∵BC=10，∴点B(﹣5，0)，∴0=a×(﹣5)2+，∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A(b，0)，则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m(x﹣b)2，∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为(-7，-)，
∴-=m(x﹣b)2，∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-(-+b)|=4
∴m=-，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-(x﹣b)2，
∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-，∴-=-(x﹣b)2，∴x1=+b，x2=-+b，
∴单个小孔的水面宽度=|(+b)-(-+b)|=5(米)，故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
2．(2020·湖北鄂州·中考真题)一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x(元/件)
4
5
6
y(件)
10000
9500
9000
(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围)；(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元()，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；(2)这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；(3)．
【分析】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可；
(2)设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围；(3)写出w关于x的函数关系式，根据当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得，求解即可．
【解析】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，
代入(4，10000)，(5，9500)可得：，解得：，
即y与x的函数关系式为；
(2)设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
根据题意可得：，解得：，

∵，∴当x=12时，w有最大值，w=54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元．
(3)设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，

由题意，当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得：，解得：m≥3，
∵∴故m的取值范围为：．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法找到最大值．

1．(2020·浙江绍兴·中考真题)如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P(如图1，点P距底线1m，边线0.5m)，问发球点O在底线上的哪个位置？(参考数据：取1.4)

【答案】(1)这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；(2)发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
【分析】(1)求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；(2)当y＝0时，y＝﹣(x﹣7)2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5(舍去﹣5)，求出PQ＝6＝8.4，即可求解．
【解析】(1)设抛物线的表达式为：y＝a(x﹣7)2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣(x﹣7)2+2.88；当x＝9时，y＝﹣(x﹣7)2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y＝﹣(x﹣7)2+2.88＝0.64＞0，故这次发球过网，但是出界了；
(2)如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，

当y＝0时，y＝﹣(x﹣7)2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5(舍去﹣5)，
∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6＝8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.
2．(2020·贵州贵阳·中考真题)2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数(人)与时间(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9-15表示)
时间(分钟)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人数(人)
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式；(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】(1)；(2)队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(3)至少增加2个检测点
【分析】(1)先根据表中数据的变化趋势猜想：①当时，是的二次函数．根据提示设出抛物线的解析式，再从表中选择两组对应数值，利用待定系数法求函数解析式，再检验其它数据是否满足解析式，从而可得答案； (2)设第分钟时的排队人数是，列出与第分钟的函数关系式，再根据函数的性质求排队的最多人数，利用检测点的检测人数列方程求解检测时间；
(3)设从一开始就应该增加个检测点，根据题意列出不等式，利用不等式在正整数解可得答案．
【解析】解：(1)根据表中数据的变化趋势可知：
①当时，是的二次函数．∵当时，，∴二次函数的关系式可设为．
当时，；当时，．
将它们分别代入关系式得解得．∴二次函数的关系式为．
将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足．
②当时，．∴与的关系式为．
(2)设第分钟时的排队人数是，根据题意，得
①当时，．∴当时，．
②当时，，随的增大而减小，∴．
∴排队人数最多时是490人．要全部考生都完成体温检测，根据题意，
得，解得．∴排队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
(3)设从一开始就应该增加个检测点，根据题意，得，解得．
∵是整数，∴的最小整数是2．∴一开始就应该至少增加2个检测点．
【点睛】本题考查的根据实际的数据探究各数据符合的函数形式，同时考查待定系数法求解函数解析式，考查二次函数的实际应用及二次函数的性质，同时考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键．

考向七 存在性问题与动点问题
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．

1．(2020·山东菏泽·中考真题)如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；(3)在(2)的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或．
【分析】(1)直接利用待定系数法可求得函数解析式；(2)先求出函数的对称轴和直线BC的函数表达式，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，用式子表示出的面积从而求出D的坐标，进一步可得的面积；(3)根据平行四边形的性质得到，结合对称轴和点D坐标易得点N的坐标．
【解析】解：(1)∵OA=2，OB=4，∴A(-2，0)，B(4，0)，
将A(-2，0)，B(4，0)代入得：，解得：
∴抛物线的函数表达式为：；
(2)由(1)可得抛物线的对称轴l：，，
设直线BC：，可得：解得，∴直线BC的函数表达式为：，
如图1，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，

设，则，∴，
由题意可得整理得解得(舍去)，∴，
∴ ∴；
(3)存在 由(1)可得抛物线的对称轴l：，由(2)知，
①如图2 当时，四边形BDNM即为平行四边形，

此时MB=ND=4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，
∴由对称性可知N点横坐标为-1，将x=-1代入 解得
∴此时，四边形BDNM即为平行四边形．
②如图3 当时，四边形BDMN为平行四边形，
过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP=DF
∴此时N点纵坐标为 将y=代入，得，解得：
∴此时或，四边形BDMN为平行四边形．
综上所述， 或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题．
2．(2020·安徽中考真题)如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
【解析】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,
面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,
面积为y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.由二次函数图象的性质可判断答案为A,故选A.
【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.

1．(2020·浙江宁波·初三月考)如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)①，②存在，
【分析】(1)把代入中求出b，c的值即可；
(2)①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【解析】解：(1)把代入中，
得 解得∴．
(2)设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得 ∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．
∴．
∵，∴此函数有最大值．又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．
∴
(i)当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，

∵C(0，-3)∴MC= ∴整理得，
∵，∴，解得，，
∴当时，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=∴Q(0，)；
(ii)若，如图，则有整理得，
∵，∴，解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q(0，-1)，
当m=-5时，MN=-10＜0(不符合实际，舍去)
综上所述，点Q的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏。
2．(2020·辽宁盘锦·中考真题)如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点(点不与点，点重合)，点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．设，四边形的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是( )
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】连接DC，根据已知条件证明所求得四边形是平行四边形，从而可得，再分类讨论即可得到结果；
【解析】连接DC，如图所示，由题可得DE=GE，AE=AF，∠DAE=∠BAF=90°,

∴△DAE≌△BAF，∴DE=BF,∠EDA=∠FBA,又∵DE=EG,∴GE=BF,
∵∠GEB+∠DEA=∠EDA+∠DEA =90°,∴∠GEB=∠EDA，∴∠GEB=∠FBA，
∴GE//BF,且GE=BF，∴四边形GEFB是平行四边形，
∵，当 ∴，，，
∴，
当x＞1时，∴，，，
∴，故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数图像的判断，准确根据图象进行分析是解题的关键．


1．(2020·山东枣庄·中考模拟)抛物线经过点(2，4)，则代数式的值为( )
A．3 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】∵抛物线经过点(2，4)，∴，即．
∴．故选C．
2．(2020·黑龙江绥化·中考真题)将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
【解析】将抛物线向左平移3个单位长度，得到，
再向下平移2个单位长度，得到，整理得，故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．
3．(2020·四川甘孜·中考真题)如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是( )

A． B．图象的对称轴为直线 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
【解析】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆