中考数学考点一遍过 考点24 概率

这是一份中考数学考点一遍过 考点24 概率，共50页。试卷主要包含了学会运用函数与方程思想，学会运用数形结合思想，要学会抢得分点，学会运用等价转换思想，学会运用分类讨论的思想，转化思想，10等内容，欢迎下载使用。
中考数学总复习六大策略
1、学会运用函数与方程思想。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
常见的转化要领有：
（1）直接转化法：把原问题直接转化为根基定理、根基公式或根基图形问题。
（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较庞大的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的根基问题。
（3）数形结正当：研究原问题中数量干系（解析式）与空间形式（图形)干系，通过相互调动得到转化途径。
（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达化归的目的
（5）特殊化要领：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题。
（6）结构法：“结构”一个符合的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
（7）坐标法：以坐标系为工具，用计较要领解决几许问题也是转化要领的一个重要途径。
考点24 概率

该板块内容以考查基础为主,也是考查重点,年年都会考查,是广大考生的得分点，分值为10分左右,预计2021年各地中考还将出现,并且在选择、解答中考查事件的判断、随机事件的概率、概率与几何、频率估计概率、用树状图或列表法求概率、游戏的公平性问题等知识这部分知识是考生的得分点，应掌握扎实.

一、事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．
二、概率的计算
1．公式法：P(A)=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
1)列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2)画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
三、利用频率估计概率
1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
四、概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．

考向一 事件的分类
1．一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整个问题中所占比例的大小来确定，它占整体的比例大，它的可能性就大，它占整体的比例小，它的可能性就小，不确定事件发生的概率在0到1之间，不包括0和1．
2．必然事件发生的机率是100%，即概率为1，不可能事件发生的机率为0，即概率为0．

1．(2020·江苏泰州市·中考真题)如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( )

A．只闭合个开关 B．只闭合个开关 C．只闭合个开关 D．闭合个开关
【答案】B
【分析】观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．
【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；
只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．故选B．
【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关键．
2．(2020·辽宁沈阳市·中考真题)下列事件中，是必然事件的是(　　)
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【答案】A
【分析】根据概率事件的定义理解逐一判断即可．
【详解】A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确
B：任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误
C：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，是随机事件，故此选项错误
D：汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为，是随机事件，故此选项错误故答案选A
【点睛】本题主要考查了概率的事件分类问题，根据必然事件，在一定条件下，事件必然会发生的定义判断是解题的关键．

1．(2020·内蒙古通辽市·中考真题)下列事件中是不可能事件的是(　　　)
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．百步穿杨
【答案】C
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；
C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；
D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C.
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
考向二 概率的计算
在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．

1．(2020·湖北随州市·中考真题)如图，中，点，，分别为，，的中点，点，，分别为，，的中点，若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____．

【答案】
【分析】根据三角形的中位线定理建立面积之间的关系,按规律求解，再根据概率公式进行求解即可．
【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半,并且这两个三角形相似,那么第二个△DEF的面积=△ABC的面积
那么第三个△MPN的面积=△DEF的面积=△ABC的面积
∴若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为: 故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，概率公式,解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第三个三角形的面积与第一个三角形的面积的关系，以及概率公式．
2．(2020·浙江衢州市·中考真题)如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是(　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．
【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：．故选：A．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键．

1．(2020·山西中考真题)如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG，FH，

设AD=BC=2a，AB=DC=2b，则FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四边形EFGH是菱形，∴S菱形EFGH===2ab，
∵M，O，P，N点分别是各边的中点，∴OP=MN=FH=a，MO=NP=EG=b，
∵四边形MOPN是矩形，∴S矩形MOPN=OPMO=ab，∴S阴影= S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，
∵S矩形ABCD=ABBC=2a2b=4ab，∴飞镖落在阴影区域的概率是，故选B．
【点睛】本题考查了几何概率问题．用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比．
2．(2020·江苏苏州市·中考真题)一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．

【答案】
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=，∴小球停在黑色区域的概率是；故答案为：
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．

考向三 随机事件(等可能事件)的概率
在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．

1．(2020·浙江绍兴市·中考真题)如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．
【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以小球从E出口落出的概率是：；故选：C．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
2．(2020·辽宁锦州市·中考真题)在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则______．
【答案】8
【分析】直接利用概率公式列出概率计算式，即可求出a的值．
【详解】解：由题意可知从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，
∴，∴，故答案为：8．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=．

1．(2020·贵州贵阳市·中考真题)在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是_____．
【答案】
【分析】随着试验次数的增多，变化趋势接近与理论上的概率．
【详解】解：如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近．故答案为：．
【点睛】实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率．
2．(2020·山东济宁市·中考真题)小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是( )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；
第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；
第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；
第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...
第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；
则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100==5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；
∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．
考向四 利用频率估计概率
在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．

1．(2020·广西中考真题)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数






“射中环以上”的次数






“射中环以上”的频率(结果保留小数点后两位)






根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是_______(结果保留小数点后一位)．
【答案】0.8
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．
【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．(2020·江苏扬州市·中考真题)大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码(绿码)示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________．

【答案】2.4
【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可；
【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm，∴正方形二维码的面积为，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%，∴黑色部分的面积约为：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键．

1．(2020·辽宁盘锦市·中考真题)为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高




人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是( )
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
2．(2020·湖南邵阳市·中考真题)如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果)，他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】假设不规则图案面积为x，由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有：，解得．故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
考向五 用树状图或列表法求概率

1．(2020·四川广元市·中考真题)在如图所示的电路图中，当随机闭合开关,,中的两个时，能够让灯泡发光的概率为________．

【答案】
【分析】分析电路图知：要让灯泡发光，必须闭合，同时,中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概率．
【详解】分析电路图知：要让灯泡发光，必须闭合，同时,中任意一个关闭时，满足：
一共有：,,、,、,三种情况，满足条件的有,、,两种，
∴能够让灯泡发光的概率为：故答案为：．
【点睛】本题考查概率运算，分析出所有可能的结果，寻找出满足条件的情况是解题关键．
2．(2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题)某校九(1)班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是_____．
【答案】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画出树状图得：

∵共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为，故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图法求概率问题，关键是根据题意正确画出树状图进而求解.
3．(2020·湖北宜昌市·中考真题)宜昌景色宜人，其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的A，B，C三部门利用转盘游戏确定参观的景点，两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图．

(1)若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由；
(2)设选中C部门游三峡大坝的概率为，选中B部门游清江画廊或者三峡人家的概率为，请判断，大小关系，并说明理由．
【答案】(1)C部门，理由见解析；(2)P1=P2，理由见解析
【分析】(1)利用圆心角为360°，A,B,C分别占90°，90°和180°，分别求出所占百分比即可;
(2)列出所有可能的情况，然后得出C，B所占比例，即可得出结果.
【详解】解：(1)C部门，
理由：∵∴
(2)，理由：

A
B


三峡大坝(D)




清江画廊(E)




三峡人家(F)




备注：部门转盘平均分成了4等份，C部门占两份分别用，表示
由表可得，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中C选中三峡大坝的结果有2种，B选中清江画廊或者三峡人家的结果有2种 ∴ ∴
【点睛】本题考查了扇形图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．关键是分析扇形图，得到相关的数据信息．

1．(2020·山东滨州市·中考真题)现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．
【答案】
【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.
【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：3、5、8； 3、5、10； 3、5、13； 3、8、10
3、8、13； 3、10、13； 5、10、13； 5、8、10； 5、8、13； 8、10、13其中能组成三角形的有：
①3、8、10，由于8-3