第一章 空间向量与立体几何-1.2空间向量在立体几何中的应用 第二课时（课件PPT）

1.2　空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角1.2.4 二面角1.2.5 空间中的距离第一章 空间向量与立体几何重点：斜线和平面所成的角，二面角的概念与求法，四种距离的概念，点到平面距离的求法难点：斜线和平面所成角的求解，公式cos θ＝cos θ1cos θ2的灵活运用，二面角大小的求法，求平面的法向量1.理解直线与平面所成角的概念，会用向量法求线面角.2.正确区分向量夹角与所求线面角及面面角的关系.3.掌握求二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小.4.理解点到平面距离的概念，能灵活运用向量方法求各种距离，体会向量法在求距离中的作用. 1.线面角平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.如图，记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ，则cos θ＝cos θ1cos θ2.一般地，因为0≤cos θ2≤1，所以由上式可知cos θ≤cos θ1，因为θ1和θ都是锐角，所以可得θ1≤θ.这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. (1) (2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.2.二面角如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，θ＝〈n1，n2〉或θ＝π-〈n1，n2〉，特别地，sin θ＝sin〈n1，n2〉.(1) (2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝ .3.空间中的距离 常考题型一　直线与平面的夹角<1>用最小角定理求直线与平面所成的角例1【变式训练】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和CC1的中点，求异面直线A1B与EF所成角的余弦值.解题方法：应用最小角定理解题的过程1.明确三线：平面内的直线、平面的斜线、斜线在平面内的射影.2.明确三角：斜线与平面内的直线所成的角为θ，斜线与射影所成的角为θ1，射影与平面内的直线所成的角为θ2.3.应用定理求解.例2<2>用空间向量求直线与平面所成的角【变式训练】1如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线FO与平面BED所成的角为45°，则AE＝　　　.D2解题方法：<3>已知直线与平面所成角，用向量法求参数例3【变式训练】 解题方法：二　二面角及其度量如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.（1）求二面角B-PA-D平面角的度数；（2）求二面角B-PA-C平面角的度数.例4【解】　（1）∵ PA⊥平面ABCD，∴ AB⊥PA，AD⊥PA.∴ ∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意∠BAD＝90°，∴ 二面角B-PA-D平面角的度数为90°.（2）∵ PA⊥平面ABCD，∴ AB⊥PA，AC⊥PA.∴ ∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形，∴ ∠BAC＝45°.即二面角B-PA-C平面角的度数为45°.【变式训练】A三　用空间向量求二面角的大小<1>用方向向量法求二面角【变式训练】若向量m＝（-1，2，0），n＝（3，0，-2）都与一个二面角的棱垂直，且m，n分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为　 　　　.<2>用法向量求二面角（1）【证明】　由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD.又PA∩PD＝P，所以AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.【变式训练】【变式训练】解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4）.解题方法：例7四　向量法解决二面角相关的存在性、探究性问题【变式训练】解题方法：用空间向量求解探索性问题的策略对于立体几何中的探索性问题，由于此类问题涉及的点具有不确定性，用传统方法解决难度较大，向量方法（特别是坐标法）可使几何问题代数化，思路简单，操作方便.解决此类问题的基本步骤：1.假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分结论.2.在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标（或参数）是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.例8五　空间中的距离<1>空间中两点之间的距离已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′＝　　　　.【变式训练】例9<2>点到直线的距离［2020·河北衡水中学高二检测］如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为　　　　. 例10<3>点到平面的距离已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.求点D到平面PEF的距离.【解】　建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示.【变式训练】解题方法：另外，也可以求出点A在平面内的射影，用两点间的距离公式求解.例11<4>相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.求直线AC到平面PEF的距离.【变式训练】解题方法：1.当直线与平面平行时，要求直线到平面的距离，需要在直线上任取一点（端点或中点等），求出该点到平面的距离即可.2.当平面与平面平行时，要求两个平面之间的距离，需在一个平面内找到一点，求出该点到另一个平面的距离即可.1.线面角如图，记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ，则cos θ＝cos θ1cos θ2.如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，θ＝〈n1，n2〉或θ＝π-〈n1，n2〉，特别地，sin θ＝sin〈n1，n2〉.(1) (2)2.二面角 3.空间中的距离