高中数学人教B版 (2019)选择性必修第一册1.2.4 二面角优质学案

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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修第一册1.2.4 二面角优质学案，共14页。

1.掌握二面角的概念.

2.理解二面角的平面角的含义.

3.会用向量法解决二面角的计算问题.

重点：会用向量法解决二面角的计算问题

难点：二面角的概念.

1.二面角的定义

2.利用向量方法求二面角

(1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2,

则|cs θ|=|cs|= |n1·n2||n1||n2|

(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小.

特别提醒：由于二面角的取值范围是[0,π],而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定,因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小,需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角,从而求得其大小.

一、情境导学

问题1：日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈一定角度的形象，例如如图（1）所示，在建造大坝时为了加固大坝大巴外侧的平面，一般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，

你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？

1.二面角及其度量

1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所成二面角的大小为 .

2.两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?

问题2：如图所示，设S为二面角α-AB-β的半平面α上一点，过点S做半平面β的垂线SS'，设O为棱AB上一点

（1）判断SO⊥AB是S'O⊥AB的什么条件；

（2）由二面角的作法，你能得到什么启发？

问题3：如果n1, n2分别是平面α1, α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与的关系.

2.用空间向量求二面角的大小

(1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=或θ=π-,特别地,sin θ=sin.

(2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,

有|cs θ|=|cs|=|n·n2||n1||n2|成立.

点睛：利用公式cs=n1·n2|n1||n2|(n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.

如图(2)(4)中就是二面角α-l-β的平面角的补角;如图(1)(3)中就是二面角α-l-β的平面角.

3.判断

(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.( )

(2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.( )

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的角的

余弦值为( )

A.12 B.23 C.33 D.22

二、典例解析

例1 如图所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.

1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解.

2.二面角的定义求法主要有:

(1)由定义作出二面角的平面角;

(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;

(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角.

跟踪训练1 如图,已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.

例2：如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=900,AB=BC=1, AA1=2,且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1所成角的大小.

利用向量方法求二面角的大小时,多采用求法向量的方法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐二面角还是钝二面角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.

跟踪训练2 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.

(1)证明:O1O⊥底面ABCD;

(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.

探究变式如果本例条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.

1.已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上(异于点A,B),点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则( )

A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角

B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角

C.∠DAE是二面角B-PA-C的平面角

D.∠ACB是二面角A-PC-B的平面角

2.已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a,b,若=π3,则二面角α-l-β的大小为( )

A.π3B.2π3 C.π3或2π3 D.π6或π3

3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( )

A.45° B.135° C.45°或135° D.90°

4.如图所示,点A,B,C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上,OC=(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为θ,则cs θ= .

5.如图所示,在几何体S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°,求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值.

参考答案：

知识梳理

学习过程

1.答案:45°

2. 提示:(0°,90°]

问题2：提示：（1）充要条件

（2）若二面角α-AB-β的大小为θ，

则ΔS'AB的面积与ΔSAB的面积比就是二面角的余弦，即：SΔS'ABSΔSAB =csθ

3.答案:(1)× (2)√

4.解：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,

则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),∴A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12,

设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),

则y-z=0,x-12z=0,令x=1,则y=2,z=2, ∴n1=(1,2,2).

∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),

∴cs=23×1=23,

即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为23.

答案:B

二、典例解析

例1 分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.

解:∵PC⊥平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则BE⊥PA,从而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.

设PC=a,依题意知△ABC是边长为a的正三角形,

∴D是AC的中点,且BD=32a.

∵PC=CA=a,∠PCA=90°,∴∠PAC=45°,

∴在Rt△DEA中,ED=AD·sin 45°=a2·22=24a,

则在Rt△BED中,tan∠BED=BDED=232=6.

故二面角B-PA-C的平面角的正切值为6.

跟踪训练1 解:设平面PAOB∩α=OA,平面PAOB∩β=OB.

∵PA⊥α,a⊂α,∴PA⊥a.

同理PB⊥a.∴a⊥平面PAOB.

又∵OA⊂平面PAOB,∴a⊥OA.

同理a⊥OB.

∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.

在四边形PAOB中,∠AOB=120°,

∠PAO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.

例2：解:以题意，CA,CB,C C1两两相互垂直。

以C为原点, CA，CB，C C1的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向，

建立如图所示直角坐标系，

则： C0,0,0, B0,1,0, D(1,0,1) C1(1,1,1)

所以CB=(0,1,0),CD =(1,0,1) , DC1 =(-1,0,1) , BC1 =(0,-1,2) ,

设平面BDC的一个法向量为n=(x1,y1,z1),

则 n∙CB=y1=0n∙CD=x1+z1=0,

取z1=1，可得x1=-1, y1=0,此时n=(-1,0,1),

设平面BDC1的一个法向量为m=(x2,y2,z2),

则 m∙BC1=-x2+z2=0m∙BC1=-y2+2z2=0,

取z1=1，可得x1=1, y1=2,此时m=(1,2,1),

因为m∙n=0，所以< m，n>=900,

从而可知平面BDC与平面BDC1所成角的大小为900，

也就是说，这两个平面是相互垂直的。

跟踪训练2 (1)证明:因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,

又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD,

因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.

(2)解:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,

又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.

如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.

设棱长为2,因为∠CBA=60°,

所以OB=3 ,OC=1, 所以O(0,0,0),B1(3,0,2),C1(0,1,2),

平面CB1D的一个法向量为n=(0,1,0),

设平面OC1B1的法向量为m=(x,y,z),则OB1=(3,0,2),OC1=(0,1,2),

则由m⊥OB1,m⊥OC1,得3x+2z=0,y+2z=0,

取z=-3,则x=2,y=23,所以m=(2,23,-3),

所以cs=m·n|m||n|=2319=25719.

由图形可知二面角C1-OB1-D的大小为锐角,所以二面角C1-OB1-D的余弦值为25719.

探究变式解:由例2(2)知B(3,0,0),A1(0,-1,2),C(0,1,0),D(-3,0,0),

设平面BA1C的法向量为m=(x1,y1,z1),

A1C=(0,2,-2),BC=(-3,1,0),

则m·A1C=0,m·BC=0,即2y1-2z1=0,-3x1+y1=0,

令x1=1,则y1=3,z1=3,

∴m=(1,3,3),

同理得,平面A1CD的法向量n=(1,-3,-3),

cs=m·n|m||n|=-57,由图可知二面角B-A1C-D的大小为钝角,

则二面角B-A1C-D的余弦值为-57.

达标检测

1. 答案:B

2.解析:由于二面角的范围是[0,π],而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向,因此二面角α-l-β的大小为π3或2π3,故选C.

答案:C

3.解析:cs=m·n|m||n|=11×2=22,即=45°.所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.

答案:C

4.解析:cs θ=OC·n|OC||n|=42×3=23.

答案:23

5. 解:如图,过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原点,以DC,DE,DA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD=2,∴点S到y轴的距离为1,

到x轴的距离为3,则有D(0,0,0),S(-1,3,0),A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1),设平面SAD的法向量为m=(x,y,z),

∵AD=(0,0,-2),AS=(-1,3,-2),

∴-2z=0,-x+3y-2z=0,

取x=3,得平面SAD的一个法向量为m=(3,1,0).

又AB=(2,0,-1),设平面SAB的法向量为n=(a,b,c),

则n·AB=0,n·AS=0,即2a-c=0,-a+3b-2c=0,令a=3,

则n=(3,5,23),

∴cs=m·n|m||n|=8210×2=105,

故平面SAD与平面SAB所成角的余弦值是105.

角
二面角
图形

定义
从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形
从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成
边 — 点（顶点）一边
半平面一直线（棱）一半平面
表示
∠AOB
二面角α-a-β或α-AB-β

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