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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率优秀课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率优秀课件ppt，共57页。PPT课件主要包含了［0°180°，［0π，直线的方向向量，直线的法向量等内容，欢迎下载使用。
重点：理解直线的斜率的概念，探索如何通过直线上两点求直线的斜率难点：理解斜率的几何意义及其与“相似比”等概念之间的内在联系
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系.3.掌握过两点的直线的斜率公式.
1.直线的倾斜角与斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是 （即 ）.特别地，与x轴平行或重合（即与y轴垂直）的直线，倾斜角为 ，与x轴垂直的直线，倾斜角为 .
一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝ ，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在.
(1) (2)
直线l的方向向量不唯一，直线l的所有方向向量共线.
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量 .特别地，当x0与y0不全为0时，因为向量（x0，y0）与（y0，-x0）是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个法向量.
题组一 直线的倾斜角<1>识别直线的倾斜角例1 图中直线的倾斜角标注正确的有 个.
（1） （2） （3） （4）
【解析】 对于（1），角α的一边取的是x轴的负方向，因此标注不正确；对于（2），角α的一边取的是直线向下的方向，因此标注不正确；对于（3），角α的两边分别取的是x轴的负方向和直线向下的方向，因此标注不正确；对于（4），角α是y轴正方向与直线向上方向所成的角，因此标注不正确.故标注正确的有0个.【答案】 0
<2>用直线倾斜角的定义，直接求直线的倾斜角例2 求出图中各直线的倾斜角.
（1） （2） （3）
【解】（1）如图（1），可知∠OAB为直线l1的倾斜角，易知∠ABO＝30°，∴ ∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.（2）如图2-2-3（2），可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴ ∠OAB＝45°，∴ ∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.（3）如图（3），可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴ ∠BAO＝30°，∴ ∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.
（1） （2） （3）
设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转30°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（ ）A.α+30°B.α-150°C.150°-αD.当0°≤α<150°时为α+30°，当150°≤α<180°时为α-150°
<3>已知两点坐标，求其所在直线的倾斜角例3 已知a，b，c是三个互不相等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角.（1）A（a，c），B（b，c）；（2）C（a，b），D（a，c）；（3）P（b，b+c），Q（a，c+a）.
<4>已知两点含参坐标，在其所在直线倾斜角大小限制条件下，求参数例4 已知M（2m+3，m），N（m-2，1），（1）当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？（2）当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？（3）当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？
已知直线l经过点A（1，t）和B（-2，1），试问，当t取何值时，直线l的倾斜角α为（1）45°；（2）60°；（3）120°？
已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，求l的倾斜角α的取值范围.
<6>已知两点含参坐标，求其所在直线倾斜角的取值范围例6 求经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角α的取值范围.
题组二 直线的斜率<1>已知直线的斜率，求其倾斜角例7 已知直线l的斜率为-1，则它的倾斜角为 .
【解析】 设直线l的倾斜角为α，0°≤α<180°，则tan α＝-1，所以α＝135°.【答案】 135°
<2>已知两点含参坐标，在其所在直线的斜率大小限制条件下，求参数例8 已知一条直线经过点A（-a，6），B（1，3a），且斜率为12，求a的值.
已知经过两点A（5，m）和B（m，8）的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围.
<3>已知直线的倾斜角，求斜率例9 若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为 ，斜率为 .
如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（-2，-1），Q2（4，-2），Q3（-3，2），计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
<5>已知两点含参坐标，求其所在直线的斜率例11 ［2019·甘肃武威高一检测］求过下列两点的直线的斜率k.（1）A（a，b），B（ma，mb）（m≠1，a≠0）；（2）P（2，1），Q（m，2）.
经过下列两点的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率；若不存在，说明理由.（1）A（3，2），B（5，-6）；（2）E（2，-3），F（m，-2）（m∈R）.
<6>已知直线的倾斜角大小，判断其斜率的大小例12 如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为 （按从大到小的顺序排列）.
【解题提示】 根据直线的倾斜程度判断倾斜角是锐角还是钝角，进而比较斜率的大小.【解析】 由图可知直线l1的倾斜角为钝角，所以k1<0；直线l2与直线l3的倾斜角均为锐角，且直线l2的倾斜角较大，所以k2>k3>0，所以k2>k3>k1.【答案】 k2>k3>k1
如图所示，设k1，k2，k3分别为直线l1，l2，l3的斜率，则k1，k2，k3的大小关系是 .
解析：设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图可知0°<α1<90°<α3<α2<180°，因此k3
题组三 从直线的倾斜角、斜率角度，解决三点共线问题<1>从直线的倾斜角、斜率角度，证明三点共线例14 求证：三点A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在同一直线上.
求证：A（1，-1），B（-2，-7），C（0，-3）三点共线.
【解题提示】 因为点A，B，C的横坐标不是都相同，所以三点所在直线不会垂直于x轴，即斜率存在.【思路点拨】 如果A，B，C三点在同一条直线上，则直线AB的斜率与直线BC的斜率相等.
【解题技法】已知三点坐标，证明其共线的三种方法1.从直线的倾斜角、斜率角度，证明三点共线；2.从直线的方向向量角度，证明三点共线：若证点A，B，C共线，只要证明任意两点组成的两个向量共线即可.3.若证点A，B，C共线，只要证明|AB|+|AC|＝|BC|（或|AB|+|BC|=|AC|或|AC|+|BC|=|AB|）即可.
已知直线l经过点A（-2，0）和B（-5，3），求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率和倾斜角.
<2>从直线的方向向量角度，证明三点共线例17 求证：A（1，5），B（0，2），C（2，8）三点共线.
题组五 直线的法向量例18 已知直线l的一个法向量为v＝（3，-3），求直线l的一个方向向量，斜率和倾斜角.
【解】 由题易知，直线l的一个方向向量为a＝（3，3），所以直线l的斜率为kl＝1，倾斜角为45°.
重点：理解直线的斜率的概念，探索如何通过直线上两点求直线的斜率难点：理解斜率的几何意义及其与“相似比”等概念之间的内在联系
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系.3.掌握过两点的直线的斜率公式.
1.直线的倾斜角与斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是 （即 ）.特别地，与x轴平行或重合（即与y轴垂直）的直线，倾斜角为 ，与x轴垂直的直线，倾斜角为 .
一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝ ，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在.
(1) (2)
直线l的方向向量不唯一，直线l的所有方向向量共线.
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量 .特别地，当x0与y0不全为0时，因为向量（x0，y0）与（y0，-x0）是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个法向量.
题组一 直线的倾斜角<1>识别直线的倾斜角例1 图中直线的倾斜角标注正确的有 个.
（1） （2） （3） （4）
【解析】 对于（1），角α的一边取的是x轴的负方向，因此标注不正确；对于（2），角α的一边取的是直线向下的方向，因此标注不正确；对于（3），角α的两边分别取的是x轴的负方向和直线向下的方向，因此标注不正确；对于（4），角α是y轴正方向与直线向上方向所成的角，因此标注不正确.故标注正确的有0个.【答案】 0
<2>用直线倾斜角的定义，直接求直线的倾斜角例2 求出图中各直线的倾斜角.
（1） （2） （3）
【解】（1）如图（1），可知∠OAB为直线l1的倾斜角，易知∠ABO＝30°，∴ ∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.（2）如图2-2-3（2），可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴ ∠OAB＝45°，∴ ∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.（3）如图（3），可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴ ∠BAO＝30°，∴ ∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.
（1） （2） （3）
设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转30°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（ ）A.α+30°B.α-150°C.150°-αD.当0°≤α<150°时为α+30°，当150°≤α<180°时为α-150°
<3>已知两点坐标，求其所在直线的倾斜角例3 已知a，b，c是三个互不相等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角.（1）A（a，c），B（b，c）；（2）C（a，b），D（a，c）；（3）P（b，b+c），Q（a，c+a）.
<4>已知两点含参坐标，在其所在直线倾斜角大小限制条件下，求参数例4 已知M（2m+3，m），N（m-2，1），（1）当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？（2）当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？（3）当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？
已知直线l经过点A（1，t）和B（-2，1），试问，当t取何值时，直线l的倾斜角α为（1）45°；（2）60°；（3）120°？
已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，求l的倾斜角α的取值范围.
<6>已知两点含参坐标，求其所在直线倾斜角的取值范围例6 求经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角α的取值范围.
题组二 直线的斜率<1>已知直线的斜率，求其倾斜角例7 已知直线l的斜率为-1，则它的倾斜角为 .
【解析】 设直线l的倾斜角为α，0°≤α<180°，则tan α＝-1，所以α＝135°.【答案】 135°
<2>已知两点含参坐标，在其所在直线的斜率大小限制条件下，求参数例8 已知一条直线经过点A（-a，6），B（1，3a），且斜率为12，求a的值.
已知经过两点A（5，m）和B（m，8）的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围.
<3>已知直线的倾斜角，求斜率例9 若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为 ，斜率为 .
如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（-2，-1），Q2（4，-2），Q3（-3，2），计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
<5>已知两点含参坐标，求其所在直线的斜率例11 ［2019·甘肃武威高一检测］求过下列两点的直线的斜率k.（1）A（a，b），B（ma，mb）（m≠1，a≠0）；（2）P（2，1），Q（m，2）.
经过下列两点的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率；若不存在，说明理由.（1）A（3，2），B（5，-6）；（2）E（2，-3），F（m，-2）（m∈R）.
<6>已知直线的倾斜角大小，判断其斜率的大小例12 如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为 （按从大到小的顺序排列）.
【解题提示】 根据直线的倾斜程度判断倾斜角是锐角还是钝角，进而比较斜率的大小.【解析】 由图可知直线l1的倾斜角为钝角，所以k1<0；直线l2与直线l3的倾斜角均为锐角，且直线l2的倾斜角较大，所以k2>k3>0，所以k2>k3>k1.【答案】 k2>k3>k1
如图所示，设k1，k2，k3分别为直线l1，l2，l3的斜率，则k1，k2，k3的大小关系是 .
解析：设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图可知0°<α1<90°<α3<α2<180°，因此k3
题组三 从直线的倾斜角、斜率角度，解决三点共线问题<1>从直线的倾斜角、斜率角度，证明三点共线例14 求证：三点A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在同一直线上.
求证：A（1，-1），B（-2，-7），C（0，-3）三点共线.
【解题提示】 因为点A，B，C的横坐标不是都相同，所以三点所在直线不会垂直于x轴，即斜率存在.【思路点拨】 如果A，B，C三点在同一条直线上，则直线AB的斜率与直线BC的斜率相等.
【解题技法】已知三点坐标，证明其共线的三种方法1.从直线的倾斜角、斜率角度，证明三点共线；2.从直线的方向向量角度，证明三点共线：若证点A，B，C共线，只要证明任意两点组成的两个向量共线即可.3.若证点A，B，C共线，只要证明|AB|+|AC|＝|BC|（或|AB|+|BC|=|AC|或|AC|+|BC|=|AB|）即可.
已知直线l经过点A（-2，0）和B（-5，3），求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率和倾斜角.
<2>从直线的方向向量角度，证明三点共线例17 求证：A（1，5），B（0，2），C（2，8）三点共线.
题组五 直线的法向量例18 已知直线l的一个法向量为v＝（3，-3），求直线l的一个方向向量，斜率和倾斜角.
【解】 由题易知，直线l的一个方向向量为a＝（3，3），所以直线l的斜率为kl＝1，倾斜角为45°.
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