人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角导学案及答案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角导学案及答案，共24页。

1.2.4　二面角
(教师独具内容)
课程标准：1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.2.掌握求二面角的基本方法、步骤．
学法指导：二面角可以通过作二面角的平面角来求，但有时作平面角比较困难，这时利用向量法求二面角的平面角只需求出两个平面的法向量，然后经过简单运算即可，体现了向量的工具性．
教学重点：求二面角的常用方法．
教学难点：用向量法求二面角；两个平面的法向量的夹角与二面角的关系.




在解决立体几何问题时，向量是一种很好的解题工具．
例如，空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，那么我们如何用向量法证明l1与l2，l1与α1，α1与α2的垂直关系呢？

知识点一 二面角及其度量
(1)二面角的定义
平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α－l－β.
(2)二面角的平面角
在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.
(3)二面角的大小
①二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°.
②两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小．
知识点二 用空间向量求二面角的大小
如下图，n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉.
特别地，sinθ＝sin〈n1，n2〉.


1．二面角的平面角定义的理解
(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上．
(2)二面角的平面角的两边分别在二面角的两个半平面内．
(3)二面角的平面角的两条边与棱垂直，且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关．
2．二面角的求法
(1)定义法．
(2)三垂线定理法：A∈β，过A作AB⊥α交平面α于点B，在α内作BO⊥l于点O，连接AO，由三垂线定理知AO⊥l，故∠AOB是二面角α－l－β的平面角，如右图．

(3)用公式cosθ＝，其中S′为射影面积，S为原图形面积．
(4)向量法：包括两类：①在二面角的两个半平面内作垂直于棱的垂线，把问题转化为求两条垂线的方向向量的夹角．②建立空间直角坐标系，求出二面角两个半平面
的法向量n1，n2，则〈n1，n2〉或其补角的大小为二面角的大小．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的大小范围是.(　　)
(2)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．(　　)
(3)如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小相等．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________.
(2)平面α的一个法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是________.
(3)若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________.
答案　(1)　(2)90°　(3)120°



题型一 利用定义法求二面角
例1　如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB.求二面角A－VB－C的大小．

[解]　如图，作AE⊥VB于点E，连接EC，由VA＝AB可知E是VB的中点，又知VC＝BC，故EC⊥VB.

∴∠AEC是二面角A－VB－C的平面角．
设AB＝a，连接AC，
在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，
由余弦定理可知，
cos∠AEC＝＝－，
∴所求二面角A－VB－C的大小为π－arccos.

二面角的求法
(1)先作出二面角的平面角，方法有：定义法、垂面法、垂线法．
(2)证明所作出的角为二面角的平面角．
(3)通过解三角形等方法求出这个平面角的大小．

[跟踪训练1]　如图，已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A－PB－C的大小．

解　如图，因为PA⊥平面ABC，

所以平面PAB⊥平面ABC.
作CD⊥AB于D，
则CD⊥平面PAB.
作DE⊥PB于E，连接CE，
则PB⊥CE，
所以∠CED就是二面角A－PB－C的平面角．
在Rt△ABC中，CD＝，
在Rt△PAB中，DE＝，
所以tan∠CED＝＝，
即二面角A－PB－C的大小为arctan.
题型二 利用三垂线定理或其逆定理求二面角
例2　如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，求二面角B－AD－B1的大小．

[解]　如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接B1E.

∵B1B⊥平面ABC，BE为B1E在平面ABC内的射影，
∴B1E⊥AD.
∴∠BEB1为二面角
B－AD－B1的平面角．
∵BC＝BD，∴BD＝AB.
又∠ABC＝60°，∴∠ABD＝120°.∴∠ADB＝30°.
∴BE＝BDsin∠ADB＝3×＝.
∴tan∠BEB1＝＝＝.∴∠BEB1＝60°.
∴二面角B－AD－B1的大小为60°.

用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角是常用的一种方法．其作法是在其中一个面内找一个特殊点作另一个面的垂线，过垂足作棱的垂线(或过这个特殊点作棱的垂线，连接两个垂足)，连接这个点和垂足，根据三垂线定理或其逆定理得平面角．

[跟踪训练2]　如图，S是△ABC所在平面外一点，且SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D，求二面角E－BD－C的大小．

解　∵SB＝BC，E为SC的中点，
∴SC⊥BE.由题设知，SC⊥ED，且ED∩EB＝E，
∴SC⊥平面BDE.∴SC⊥BD.
∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD.
又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC.
∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角．
设SA＝a，则SB＝a＝BC.
又AB⊥BC，由三垂线定理，知SB⊥BC，
∴SC＝2a，在Rt△SAC中，又SA＝a，∴∠SCA＝30°.
故∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.
题型三 利用向量法求二面角
例3　在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求二面角E－AC－D的大小．
[解]　解法一：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz.

设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD，与AC交于点O，
取AD中点F，连接AE，EF，EO，FO，
则C(b,0,0)，B(0，a,0)．
∵＝，∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
∴E，O，＝，＝(b,0,0)．
∵·＝0，
∴⊥，又＝＝，
∴·＝0.∴⊥.
∴∠EOF为二面角E－AC－D的平面角．
cos〈，〉＝＝.
∴二面角E－AC－D的大小为45°.
解法二：建系如解法一，
∵PA⊥平面ABCD，
∴＝(0,0，a)为平面ABCD的一个法向量．
又＝，＝(b,0,0)，
设平面AEC的一个法向量为m＝(x，y，z)．
由得
∴x＝0，y＝z.∴可取m＝(0,1,1)，
cos〈m，〉＝＝＝.
∴二面角E－AC－D的大小为45°.

用向量法求二面角的步骤
(1)寻求平面α，β的法向量u，v；
(2)利用公式cos〈u，v〉＝，求出法向量u，v的夹角φ；
(3)根据u，v的方向，确定平面α，β所构成的二面角θ的大小：
①当u，v的方向如图①所示时，θ＝φ；
②当u，v的方向如图②所示时，θ＝π－φ.


[跟踪训练3]　如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.

(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B－AD－E的大小．
解　(1)证明：由题意，得底面BCDE为直角梯形，因为DE＝BE＝1，CD＝2，所以BD＝BC＝.
由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，AC⊂平面ABC，
所以AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE.又DE⊥DC，AC∩DC＝C，所以DE⊥平面ACD.
(2)解法一：作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B－AD－E的平面角．

在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，BD⊂平面BCDE，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥AB.
由于AC⊥平面BCDE，得
AC⊥CD.
在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝，
得AD＝.
在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝，得AE＝.
在Rt△ABD中，由BD＝，AB＝2，AD＝，
得BF＝，AF＝AD.所以GF＝ED＝.
在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得
cos∠BAE＝，BG＝.
在△BFG中，cos∠BFG＝＝.
所以∠BFG＝，即二面角B－AD－E的大小是.
解法二：以D为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．

由题意知各点坐标如下：D(0,0,0)，E(1，0,0)，C(0,2,0)，A(0,2，)，B(1,1,0)，则＝(0，－2，－)，＝(1，－2，－)，＝(1,1,0)，
设平面ADE的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，由得
可取m＝(0,1，－)．
由得
可取n＝(1，－1，)．
于是|cos〈m，n〉|＝＝＝.由图可知，所求二面角是锐角，故二面角B－AD－E的大小是.
题型四 空间角中的探索性问题
例4　如右图，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.

(1)求证：AE∥平面DCF；
(2)当AB的长为何值时，二面角A－EF－C的大小为60°？
[解]　如右图，以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz.

设AB＝a，BE＝b，CF＝c，
则C(0,0,0)，A(，0，a)，
B(，0,0)，E(，b,0)，F(0，c,0)．
(1)证明：∵＝(0，b，－a)，＝(，0,0)，＝(0，b,0)，
∴·＝0，·＝0，
从而CB⊥AE，CB⊥BE.又AE∩BE＝E，
∴CB⊥平面ABE.
∵CB⊥平面DCF，∴平面ABE∥平面DCF.
又AE⊂平面ABE，故AE∥平面DCF.
(2)∵＝(－，c－b,0)，＝(，b,0)，
且·＝0，||＝2，
∴得b＝3，c＝4.
∴E(，3,0)，F(0,4,0)．
设n＝(1，y，z)与平面AEF垂直，
则n·＝0，n·＝0，
即
解得n＝(1，，)．
又BA⊥平面BEFC，＝(0,0，a)，
∴|cos〈n，〉|＝＝＝，
解得a＝或a＝－(舍去)．
∴当AB＝时，二面角A－EF－C的大小为60°.

求解探索性问题的基本策略：首先，用参数设出题中的数学对象；其次，构建空间直角坐标系；再次，利用空间向量法把探索性问题转化为求参数是否有解问题；最后，解方程，下结论．利用上述解题策略，可使此类探索性难题变为常规问题．

[跟踪训练4]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

(1)求证：AB⊥PD；
(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问：AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．
解　(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.
(2)过点P作PO⊥AD于点O.
则PO⊥平面ABCD，过点O作OM⊥BC于点M，
连接PM，则PM⊥BC.
因为∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，
所以BC＝，PM＝，
设AB＝t，则在Rt△POM中，PO＝，
所以VP－ABCD＝·t··
＝ ，
所以当t2＝，即t＝时，VP－ABCD最大为.
如图，此时PO＝AB＝，且PO，OA，OM两两垂直，
以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
则P，D，
C，B.
所以＝，
＝，
＝.
设平面PCD的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝1，则m＝(1,0，－2)，|m|＝；
同理设平面PBC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
即
令y2＝1，则n＝(0,1,1)，|n|＝，
设平面PBC与平面DPC的夹角为θ，
所以cosθ＝＝＝.
即平面PBC与平面DPC夹角的余弦值为.



1．已知二面角α－l－β的大小为60°，b和c是两条异面直线，且b⊥α，c⊥β，则b与c所成角的大小为(　　)
A．120° B．90°
C．60° D．30°
答案　C
解析　二面角α－l－β的大小为60°，b和c是两条异面直线，且b⊥α，c⊥β，∴b与c所成的角的大小为60°.故选C.
2．如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成的锐二面角的正弦值为(　　)

A. B．
C． D．
答案　C
解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1，0,0)，E，D1(0，0,1)，

∴＝(－1，0,1)，＝.设平面AEFD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⇒∴x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2,1,2)．又平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.
3．(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的为(　　)
A．AC⊥BD
B．AB，CD所成的角为60°
C．△ADC为等边三角形
D．AB与平面BCD所成的角为60°
答案　ABC
解析　对于A，如图，取BD的中点O，连接AO，CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，A正确；对于B，如图，建立空间直角坐标系，

设正方形的边长为a，则A，B，故＝，又C，D，故＝，由两向量夹角公式，得cos〈，〉＝－，故两异面直线所成的角为60°，B正确；对于C，在Rt△AOC中，由AO＝CO＝a，AO⊥CO，得AC＝AO＝a，故△ADC为等边三角形，C正确；对于D，易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，D错误．故选ABC.
4．平面α的法向量n1＝(1,0，－1)，平面β的法向量n2＝(0，－1,1)，则平面α与β所成二面角的大小为________.
答案　或
解析　由题意得
cos〈n1，n2〉＝＝－，设平
面α与β所成二面角的大小为θ，则cosθ＝或－.所以θ＝或.
5．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，AQ＝AB＝PD.

(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．
解　如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.

(1)证明：设PD＝2，依题意有D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则D＝(1,1,0)，D＝(0,0,1)，P＝(1，－1，0)．
所以P·D＝0，P·D＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)依题意有B(1,0,1)，C＝(1,0,0)，B＝(－1,2，－1)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量，则
即
因此可取n＝(0，－1，－2)．
同理，设m是平面PBQ的一个法向量，则
可取m＝(1,1,1)．所以cos〈m，n〉＝－.
故二面角Q－BP－C的余弦值为－.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是(　　)
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不能确定
答案　D
解析　当一个二面角的棱垂直于另一个二面角的一个半平面时，这两个二面角的大小关系是不能确定的．
2．已知二面角α－AB－β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于(　　)
A. B．
C． D．
答案　C
解析　如图，作CH⊥β于点H，HM⊥AB于点M，连接CM，由三垂线定理，可得AB⊥CM，所以∠CMH就是二面角α－AB－β的平面角．又CH＝3，CM＝4，所以HM＝，即tanθ＝.

3．将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°，那么这个二面角的大小是(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案　C
解析　如图，设等腰直角△ABC中AB＝AC＝a，则BC＝a，∴B′D＝CD＝a，∵等腰直角△ABC斜边BC上的高是AD，∴B′D⊥AD，CD⊥AD，∴∠B′DC是二面角B′－AD－C的平面角，连接B′C，∵∠B′AC＝60°，∴B′C＝a，∵B′D2＋CD2＝B′C2，∴∠B′DC＝90°，∴二面角B′－AD－C的大小是90°.故选C.

4．如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则二面角B1－A1B－E的余弦值为(　　)

A．－ B．－
C． D．
答案　C
解析　设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则所以所以取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，〉＝＝＝，又二面角B1－A1B－E为锐二面角，所以二面角B1－A1B－E的余弦值为，故选C.
5．(多选)如图，已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则(　　)

A．∠ADE为二面角A－PC－B的平面角
B．∠BAC为二面角B－PA－C的平面角
C．∠AED为二面角A－PB－C的平面角
D．∠ACB为二面角A－PC－B的平面角
答案　BC
解析　因为PA⊥α，AC⊂α，AB⊂α，BC⊂α，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，故B正确；又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以AD⊥BC，又AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC.又PB⊥AE，所以PB⊥DE，即∠AED为二面角A－PB－C的平面角，故C正确．
二、填空题
6．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m＝(－1，2,0)，n＝(1,0，－2)，且m，n都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为________.
答案　
解析　设二面角的平面角为θ，则|cosθ|＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，sinθ＝＝.
7．△ABC是正三角形，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC，若S△PAB∶S△ABC＝，则二面角P－AB－C的大小为________.
答案　60°
解析　设二面角P－AB－C的平面角为θ，由于PA＝PB＝PC，则P在面ABC内的射影O为△ABC的中心．∴S△OAB＝S△ABC，又S△PAB＝S△ABC.∴cosθ＝＝.∴θ＝60°.
8．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为________.
答案　
解析　如图，取AC的中点O，连接BO，DO，则DO⊥AC，BO⊥AC，∴∠BOD便是二面角B－AC－D的平面角．在Rt△CDO中，∠ODC＝30°，CD＝1，∠DOC＝90°，∴DO＝，同理BO＝，又BD＝1，由余弦定理，得cos∠BOD＝＝＝.

三、解答题
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，PA⊥CD.

(1)证明：CD⊥平面PAD；
(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
解　(1)证明：∵∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，
又PA⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
(2)∵CD⊥平面PAD，
∴∠PDA为二面角P－CD－A的平面角，
∴∠PDA＝45°.
如图，以A为坐标原点，，的方向分别为x轴和z轴的正方向，垂直于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标系Axyz，

设BC＝1，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，
∴＝(1,0，－2)，＝(1,1,0)，＝(0,0,2)．
设平面PCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝2，则n＝(2，－2,1)为平面PCE的一个法向量．
设直线PA与平面PCE所成的角为α，
则sinα＝|cos〈n，〉|＝
＝＝，
∴直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.
10.如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．

(1)求证：AA1⊥BD；
(2)求二面角E－A1C1－C的余弦值．
解　(1)证明：因为CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD.
因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
由四棱台ABCD－A1B1C1D1知，A1，A，C，C1四点共面．
又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.
所以AA1⊥BD.
(2)如图，设AC与BD交于点O，连接OA1，依题意得，A1C1∥OC且A1C1＝OC，所以四边形A1OCC1是平行四边形，所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1.

所以A1O⊥底面ABCD.
以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．则A(2，0,0)，A1(0,0,4)，C1(－2，0,4)，B(0,2,0)，
由＝得，B1(－，1,4)．
因为E是棱BB1的中点，所以E.
所以＝，＝(－2，0,0)．
设平面EA1C1的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
则即
取z＝3，则n1＝(0,4,3)为平面EA1C1的一个法向量．
又n2＝(0,1,0)为平面AA1C1C的一个法向量，
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
由图可知，二面角E－A1C1－C为锐二面角，
所以二面角E－A1C1－C的余弦值为.
B级：“四能”提升训练
1．如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，且AB⊥AC，点M是CC1的中点，点N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足＝λ.

(1)证明：PN⊥AM；
(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？求此时二面角A－BC－P的余弦值．
解　(1)证明：以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，

则P(λ，0,1)，N，M，从而＝，＝，·＝×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM.
(2)过点P作PE⊥AB于点E，连接EN.
则PE⊥平面ABC，
则∠PNE为所求角θ，所以tanθ＝＝，
因为当点E是AB的中点时，ENmin＝.
所以(tanθ)max＝2，则θ有最大值，此时，λ＝.
则P，B(1,0,0)，C(0,1,0)，
所以＝，＝(－1,1,0)．
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝2，得n＝(2,2,1)，
又＝(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，
所以cos〈n，〉＝，
由图知，二面角A－BC－P为锐角，
所以二面角A－BC－P的余弦值为.
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
解　解法一：依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．

(1)证明：向量＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，故·＝0.所以BE⊥DC.
(2)向量＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量．
则即
不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．
于是有cos〈n，〉＝＝＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得·＝0，
因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.
即＝.
设n1＝(x1，y1，z1)为平面FAB的一个法向量，
则即
不妨令z1＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的一个法向量n2＝(0,1,0)，则
cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F－AB－P是锐角，所以其余弦值为.
解法二：(1)证明：如图，取PD的中点M，连接EM，AM.

由于E，M分别为PC，PD的中点，
故EM∥DC，且EM＝DC，
又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥DA，PA∩DA＝A，
所以CD⊥平面PAD，因为AM⊂平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥DC.
(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，又EM∥CD，所以PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，又EM∩BE＝E，所以PD⊥平面BEM，又PD⊂平面PBD，所以平面BEM⊥平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，又BE⊥EM，所以∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．
依题意，有PD＝2，PA⊥AD，因为M为PD的中点，所以AM＝，所以BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，所以sin∠EBM＝.
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)如图，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H，连接BH.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，所以FH⊥AC.又BF⊥AC，FH∩BF＝F，所以AC⊥平面FHB，所以AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，所以CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，连接AG，于是DG＝3GP.

因为DC∥AB，所以GF∥AB，
所以A，B，F，G四点共面．
因为AB⊥PA，AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，
所以AB⊥AG.所以∠PAG为二面角F－AB－P的平面角．
在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°，
由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝.
所以，二面角F－AB－P的余弦值为.