人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.1 不等式9.1.1 不等式及其解集同步训练题

第11讲  含参的不等式

知识点1 含参的一元一次不等式

含参的一元一次不等式

（1）含未知数项的系数不含参数，如x＞a，（其中a为常数）；

（2）含未知数项的系数含参数，如mx＞n，（其中m为参数、n为常数）． 

【典例】

例1（2020春•和平区校级月考）已知关于的不等式的解都是不等式的解，则的范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

根据题意，得：，

解得，

故选：．

【方法总结】

主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求的值．

例2 （2020春•江都区期末）已知是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是　　

A． B． C． D．

【解答】解：是关于的方程的解，

，

即，

，

，

，

，

，

故选：．

【方法总结】

本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出和是解此题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•单县期末）关于的不等式的解集是，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：

，

解集是，

，

解得．

故选：．

2．（2020春•秀英区校级期末）关于的一元一次方程的解是非负数，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

解是非负数，

，

解得：，

故选：．

知识点2 含参的一元一次不等式组

含参的一元一次不等式组常考题型

1.给出不等式组解集的情况，求参数取值范围

2.给出不等式组的解集，求参数的值

3.给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围

4.给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围

【典例】

例1（2020秋•拱墅区期中）若关于的一元一次不等式组的解集是，

则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：解不等式，得：，

不等式组的解集为，

．

故选：．

【方法总结】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

例2 （2020秋•温岭市校级月考）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是　　

A． B． C． D．或

【解答】解：关于的不等式组无解，

，

故选：．

【方法总结】

主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集为无解反过来求的范围．

【随堂练习】

1．（2020•滨城区二模）若不等式组无解，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：不等式组整理得：，

由不等式组无解，得到．

故选：．

2．（2020•泰安二模）若不等式组有解，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

又不等式组有解，

，

解得：，

故选：．

3．（2020春•单县期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是　　．

【解答】解：不等式组无解，

，

解得：，

故答案为．

知识点3 一元一次不等式的应用

一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．

②根据题中的不等关系列出不等式．

③解不等式，求出解集．

④写出符合题意的解．

【典例】

例1（2020春•微山县期末）一艘轮船从某江上游的A地匀速驶向下游的B地用了11h，从B地匀速返回A地用了不到13h，这段江水流速为3km/h，轮船在静水里的往返速度v不变，ν满足什么条件？

【解答】解：由题意可得：13（v﹣3）＞11（3+v），

整理得：2v＞6，

解得：v＞3．

答：ν满足条件是：v＞3km/h．

【方法总结】

此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．

例2（2020春•武汉月考）去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365天）之比达到64%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加的天数为（　　）

A．58 B．59 C．60 D．61

【解答】解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，

依题意得：365×64%+x＞365×80%，

解得：x＞58.4，

∵x为整数，

∴x的最小值为59．

故选：B．

【方法总结】

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，由去年该市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到64%且明年（365天）这样的比值要超过80%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．

【随堂练习】

1．（2020•蒙阴县二模）王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支1元，笔记本每本3元，王芳同学现有10元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买，余下的钱少于1元）（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：设购买x支中性笔，y本笔记本，根据题意得出：

9＜x+3y≤10，

当x＝1时，y＝3，

当x＝4时，y＝2，

当x＝7时，y＝1，

故一共有3种方案．

故选：B．

2．（2020春•南岗区校级月考）某次数学竞赛活动，共有20道选择题，评分办法是：答对一题得5分，答错一题扣1分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对　17　题，成绩才能在80分以上．

【解答】解：设这个学生答对了x道题，则答错（20﹣1﹣x）道题，

依题意，得：5x﹣（20﹣1﹣x）＞80，

解得：x，

又∵x为正整数，

∴x的最小值为17．

故答案为：17．

知识点4 一元一次不等式组的应用

一元一次不等式组的应用

对具有多种不等关系的实际应用问题，通常列一元一次不等式组，并求解．

一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：

（1）分析题意，找出不等关系；

（2）设未知数，列出不等式组；

（3）解不等式组；

（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；

（5）作答．

【典例】

例1 （2020秋•杨浦区校级期中）已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？

【解答】解：和8的最小公倍数为24，

设该校六年级学生有人．

依题意，得：，

解得：．

又为正整数，

，

（人．

答：该校六年级学生有147人．

【方法总结】

本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

例2（2020春•武城县期末）在“新冠肺炎”这场没有硝烟的战争中，各行各业都涌现出了一批“最美逆行者”，其中抗疫最前沿的就是护士．某医院安排护士若干名负责护理新冠病人，每名护士护理4名新冠病人，有20名新冠病人没人护理，如果每名护士护理8名新冠病人，有一名护士护理的新冠病人多于1人不足8人，这个医院安排了　6　名护士护理新冠病人．

【解答】解：设医院安排了名护士，由题意得，

，

解得，，

为整数，

．

故答案为：6．

【方法总结】

本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•宝应县期末）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少12元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了．”则这本书的价格（元所在的范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意可得：，

三个人都说错了，

这本书的价格（元所在的范围为．

故选：．

2．（2020秋•开福区校级月考）一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，墙长，另外三边由篱笆围成，篱笆长度为，则垂直于墙的一边的长度取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：垂直于墙的一边的长度为，

平行于墙的一边的长度为．

又墙长，

，

．

故选：．

   综合运用

1．（2020春•开福区校级期中）已知关于的不等式的解集是，则的解集为　　．

【解答】解：由得，

不等式的解集为，

且，

整理，得：，

又，

则，

解得，

，

的解集为，即，

故答案为：．

2．（2020秋•大渡口区月考）已知关于、的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为　7　．

【解答】解：解方程组得：，

关于、的二元一次方程组的的解满足，

，

解得：，

，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

又关于的不等式组无解，

，

解得：，

即，

所有符合条件的整数的个数为7个，，0，1，2，3，4，共7个），

故答案是：7．

3．（2020春•青川县期末）已知关于的不等式组，的解集为，则的值是　1　．

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

，

，，

解得，

，

故答案为：1．

4．（2020春•西岗区期末）大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是　51人或59人　．

【解答】解：设八年级网络班级计划将全班同学分成组，由题意得：

若每个小组8人，则还余3人，

该班人数为：，

若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，

根据题意得出不等式组：

，

解得：，

该班可分为6组或7组，

该班有：人，或人，

故答案为：51人或59人．

5．（2020•日照二模）为了奉献爱心，贡献自己的一份力量，本次新冠状病毒疫情期间，九年级4班18名团员计划在家加工2250个口罩，奉献给社区志愿者，并规定每人每天加工a个口罩（a为整数），干了几天以后，其中4人因特殊情况没能继续，若剩下的同学每人每天多加工3个口罩，则提前完成了这次任务，由此可知a的值最多是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

【解答】解：设原计划m天完工，干了n天后4人退出工作，

依题意，得：18a（m﹣n）＜（18﹣4）（a+3）（m﹣n），

即18a＜14a+42，

解得：a．

又∵a为整数，

∴a的最大值为10．

故选：C．

6．（2020春•金水区校级月考）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，根据题意得（　　）

A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120 

C．10x﹣5（20﹣x）＜120 D．10x﹣5（20﹣x）＞120

【解答】解：设小明答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，

依题意，得：10x﹣5（20﹣x）＞120．

故选：D．

7．（2020春•南岗区校级月考）“端午节”将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种400个，乙种200个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要4500元．

（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？

（2）该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子，计划销售每个甲种粽子可获利3元，销售每个乙种粽子可获利5元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1900元，那么商家至少应购进甲种粽子多少个？

【解答】解：（1）设甲种粽子每个的进价为x元，乙种粽子每个的进价为y元，

依题意得：，

解得：．

答：甲种粽子每个的进价为3元，乙种粽子每个的进价为8元．

（2）设商家应购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，

依题意得：3m5≥1900，

解得：m≥300．

答：商家至少应购进甲种粽子300个．

8．（2020秋•江夏区期中）某工厂计划m天生产2160个零件，安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．

（1）直接写出a与m的数量关系：　a　；

（2）若原计划16天完成生产任务，但实际开工6天后，有3名工人外出参加培训，如果剩下的工人要在规定时间里完成这批零件生产任务，每人每天至少要多加工多少个零件？

【解答】解：（1）依题意得：15am＝2160，

∴a，即a．

故答案为：a．

（2）当m＝16时，a9．

设每人每天多加工x个零件，

依题意得：15×9×6+（15﹣3）×（16﹣6）×（9+x）≥2160，

解得：x，

又∵x为正整数，

∴x的最小值为3．

答：每人每天至少要多加工3个零件．

9．（2020秋•雨花区期中）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．

（1）甲、乙两种工具每件各多少元？

（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？

【解答】解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，

依题意得：，

解得：．

答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．

（2）设购进甲种工具m件，则购进乙种工具（100﹣m）件，

依题意得：16m+4（100﹣m）≤1100，

解得：m≤58，

又∵m为非负整数，

∴m的最大值为58．

答：最多可以购买甲种工具58件．