人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形复习练习题

等腰三角形性质及判定（基础）

【学习目标】

1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．

2. 掌握等腰三角形的判定定理．

3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

    要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.
　　

【答案与解析】

解： ∵AB＝AC
　   ∴∠B ＝∠C
　 　∵AB＝BD
　   ∴∠2＝∠3
　　 ∵∠2＝∠1＋∠C
　　 ∴ ∠2＝∠1＋∠B
　　 ∵∠2＋∠3＋∠B＝180°
　　 ∴∠B＝180°－2∠2
　　 ∴∠2＝∠1＋180°－2∠2
　　 ∴3∠2＝∠1＋180°
　　 ∵∠1＝30°
　　 ∴∠2＝70°

【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.             

举一反三：

【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

求∠B的度数．

【答案】

解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

∴设∠ECD＝∠EDC＝，∠BCD＝∠BDC＝，

则∠AED＝∠ADE＝2，∠A＝∠B＝180°－4

在△ABC中，根据三角形内角和得，

＋＋180°－4＋180°－4＝180°①

又∵A、D、B在同一直线上，∴2＋＋＝180°②

由① ，②解得＝36°

∴∠B＝180°－4＝180°－144°＝36°.

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.

【答案与解析】

解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：

两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，

又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，

故每个底角的度数；

(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，

则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．

∴其余各角为70°，70°或40°，100°．

【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.

3.（2020春•安岳县期末）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组．

（1）求a、b的值．

（2）求这个等腰三角形的周长．

【答案与解析】

解：（1），

②×2﹣①得5b=15，解得b=3，

把b=3代入②得2a+3=13，解得a=5；

（2）若a=5为腰长，5+5＞3满足，此时三角形周长为：5×2+3=13；

若b=3为腰长，3+3＞5满足，此时三角形周长为：3×2+5=11．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．

举一反三：

【变式】（2020•裕华区模拟）若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（　　）

　 A． 12 B． 14 C． 15 D． 12或15

【答案】C.

解：根据题意得，x﹣3=0，y﹣6=0，

解得x=3，y=6，

①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，

∵3+3=6，

∴不能组成三角形，

②4是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，

能组成三角形，周长=3+6+6=15，

所以，三角形的周长为15．

故选C．

类型三、等腰三角形性质和判定综合应用 

4、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF

并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．

求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．

【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD＝DC，易证△ABD≌△CFD，要证BE⊥AC，只需证∠BEC＝90°即可，DF＝BD，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°.

【答案与解析】

证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.

∵ ，

∴

∴ AD＝CD

     ∵ ，

     ∴ △ABD≌△CFD

(2)∵△ABD≌△CFD

∴ BD＝FD.

∵ ∠FDB＝90°， 

     ∴ .

     ∵ ，

     ∴ .

      ∴ BE⊥AC．

【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．

举一反三：

【变式】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．

    (1)求证：BE＝AD；

    (2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；

(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由．

【答案】

     (1)证明： ∵  AD∥BC，∠ABC＝90°，∴  ∠BAD＝∠ABC＝90°．

               又∵  EC⊥BD，

∴  ∠BEC＋∠DBE＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°．

∴  ∠DBE＝∠BCE．

在△DAB与△EBC中，  

∴  △DAB≌△EBC(ASA)．

∴  AD＝BE．

(2)证明：连接AC，ED．

               ∵  E为AB的中点，∴  BE＝AE．

又∵  AD＝BE(已证)，

∴  AE＝AD且∠A＝90°．△AED为等腰三角形．

∴  ∠AED＝∠ADE(等边对等角)，

即∠AED＝∠ADE＝45°．

又∵  AB＝BC，AD∥BC，∠ABC＝90°．

∴  ∠BAC＝∠BCA(等边对等角)．

∴  ∠BAC＝∠BCA＝．

∴  ．

由等腰三角形性质．可知AC垂直平分ED，即AC是线段ED的垂直平分线．

      (3)解：△DBC是等腰三角形．

             理由如下：由(2)得CD＝CE．

由(1)可得CE＝BD，

∴  CD＝BD．

∴  △DBC是等腰三角形．