第12讲《代几综合（一）》（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

这是一份第12讲《代几综合（一）》（教案）2023年人教版中考数学一轮复习，共28页。
第十二讲“代几综合（一）”.
［教学目标］
知识技能
1.理解代数与几何综合题涉及的方程、不等式、数与式、概率、函数、三角函数等代数知识；涉及的三角形、四边形、相似等几何知识.
2.掌握解代数与几何综合题的基本思路：
（1）借助几何直观解题； （2）运用方程思想、函数思想解题；
数学思考
根据具体实例，通过独立思考，灵活运用数形结合的思想方法，由形导数，以数促形，学会综合运用代数和几何知识解题的基本方法---数形结合.
问题解决
经历代数与几何综合题的研究、解答、归纳，让学生学会解答代几综合题的基本方法，培养学生自主探究、自主学习的能力、概括能力，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.
情感态度
1.通过例题解答，巩固学生基础知识，增强数学素养，学生用转化的思想、普遍联系的观点分析问题，用数学的眼光解答问题；
2.通过小组活动，培养学生的合作意识和探究能力.
[教学重点、难点]
重点：复习问题材涉及的方程、不等式、概率、函数、三角形、四边形、相似形、圆等有关知识，探索解题的基本思路并写出规范的解题过程.
难点：几何图形的直观使用，方程思想、函数思想的灵活使用，写出规范的解题过程.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
第一课时
答案
1.B
2.A
解析：
如图，设原住房平面图长方形的周长为2，①的长和宽分别为a,b，②③的边长分别为c,d,根据题意，得， 得：（定值），（定值）.
而由已列方程组得不到d,.所以分割后不用测量就能知道周长的图形标号为①②.
3.C
4.B
5.A
6..
7.
8. ③④
9. 教学路径
方案说明
知识佳构
前面我们学习代数综合性问题，几何综合性问题，从这一讲开始我们学习代数和几何相结合的问题.
代数几何综合题型，主要以下几种：
一、以三角形为背景，
二、以四边形为背景，
三、以三角形、四边形为背景，
四、以圆为背景，结合概率、不等式、方程、函数等知识进行考察.这一讲主要学习以三角形，四边形为背景的代几综合性问题.
佳题探究
探究类型之一：以三角形为背景
例1 如图所示，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D（﹣1，4），与y轴交于点
C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.
分三题
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；
（3）若点E在抛物线上，EF⊥x轴于点F，以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似，试求出所有满足条件的点E的坐标.
师：
（1）让学生讲解思路并指定学生上台板演.
（2）师：判定一个三角形是直角三角形的方法有哪些？
生：定义法（求出一个内角为直角）和勾股定理逆定理.
师：本题用哪一种方法？
生：勾股定理逆定理.
让学生说思路，教师板濱过程.
（3）师：本题需利用相似三角形的哪一个性质？如何利用这一性质求解的？
生：相似三角形对应边的等于相似比，列出方程，求出坐标
师：以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似，没有可指明对应关系，那么可分为哪几种情况？
生：可分为△AFE∽△ACD和△EFA∽△ACD.
师根据思路，结合图形，给出解答过程.
（1）
师:解析式求法不唯一.
老师出示课件解法，可借此复习一下顶点坐标公式.
解析：小手描抛物线后，描D点.
由二次函数顶点列式计算，求出b,c，从而得到解析式.
答案：由题意得解得：
解析式为：y=-x2-2x+3.
（2）小手描 AC，CD，AD. △ACD涂色
解析：由解析式求得点A，应用勾股定理求得AC，CD，AD的长度，勾股定理的逆定理可证△ACD形状.
答案：令y=-x2-2x+3=0，解得x=1或 x=-3.由题意得点A(-3，0)，
∴ , , .
∴ .∴△ACD为直角三角形.
（3）
答案：设，分两种情况讨论：
下一步 画图先画EF,再画AE.
①如图，若△AFE∽△ACD，
则，即，
整理得3x2+7x-6=0或3x2+5x-12=0.
解得（与点A重合，舍去）或.
当时，，或当时，，
此时点E的坐标为或.
下一步
②如图，若△EFA∽△ACD，
则，即，
整理，得x2+5x+6=0或x2-x-12=0
解得（与点A重合，舍去）或.
当时，或当时，.
此时点E的坐标为 或.
综上所述，所有满足条件的点E的坐标为
或 或或.
师小结：求函数解析式关键是应用待定系数法，根据条件列出关于待定系数的方程和方程组；证明三角形是直角三角形通常从定义和勾股定理逆定理入手；应用三角形相似解答问题，当没有指明对应关系时，需分类讨论.
例2 如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0， 3）.
分三题
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）
解析：小手描抛物线后，描点 A（﹣3，0），B（1.0），C（0， 3）
已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式.
答案：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），
∴可设抛物线的解析式为：y=a(x+3)(x-1)，
将C点坐标（0,3）代入，得:-3a=3，解得a=-1.
∴抛物线的解析式为： y=-(x+3)(x-1)，即y=-x2-2x+3.
（2）
解析：小手画 点P 点C AP AC 过点P作x轴的垂线，交AC于点N．

求出AC的解析式，设出点P的坐标，表示出点N的坐标和三角形PAC的面积，运用顶点式就可求出结论.
答案：△PAN △PCN 涂不同色
如图，过点P作x轴的垂线，交AC于点N．
设直线AC的解析式为y=kx+m，
由题意得：解得：
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
设P点坐标为（x，-x2-2x+3），则点N的坐标为（x，x+3），
∴PN=PE-NE=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x．
∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，
∴
∴当时，S有最大值，此时点P的坐标为.
（3）小手作AD的垂直平分线，交AD于F，交y轴于点M，交X轴于点G，
解析：
作AD的垂直平分线，交AD于F，交y轴于点M，交X轴于点G，
根据相似三角形求出点M的坐标，再由直角三形判定方法证明三角形ADM是直角三角形即可.
答案:小手△ADM涂色
在y轴上存在点M，能够使得△ADM是等腰直角三角形．
下一步 △GHF∽△DEA涂色
理由：∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴顶点D的坐标为（-1，4），
如图，作AD的垂直平分线交AD于点F，交 y轴于点M, 交x轴于点G,
由A（-3，0），D（-1，4）得 F（-2，2）AM=DM.
下一步 GHF∽△DEA涂色
由△GHF∽△DEA, 得G（2，0）.
下一步 △GHF∽△GOM涂色
由△GHF∽△GOM可得OM=1，即M（0，1）.
下一步 Rt△ADE Rt△AOM 涂色
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2=20.
在Rt△AOM中，由勾股定理得：.
∴AM2+DM2=2AM2=20.
∴AM2+DM2=AD2．
下一步 小手△ADM涂色
∴在y轴上存在点M（0，1），使得△ADM是等腰直角三角形.
师：让学生说思路并安排学生上台板演.
师：三角形面积计算公式是什么？能找到合适的底和高吗？
生：底乘高除以2，不能.
师：在这种情况下，通常如何表示△PAC的面积？
生：将△PAC的面积转化为其它可求图形面积的和或差.
师：怎么转化?
生：过点P作x轴的垂线，交AC于N，则△PAC的面积=△APN的面积+△PCN的面积.
设出P点坐标，引导学生表示出△APN、△PCN底和高，再表示出面积，让学生自己求出最大值和点P的坐标.
师：假设点M存，你们能作出这一点吗？
生：作出AD的垂直平分线与Y轴的交点就点M.
师：能求出点M的坐标吗?
引导学生说思路出点M的坐标,再验证.
师：（1）根据已知条件恰当设解析式可使运算简便；（2）不规则图形面积常转化为规则图形（可以直接表达出面积的图形）面积的和与差，在实解题中，要学会灵活应用；解题中如遇求最大值、最小值问题，常转化求二次函数极值问题.
师生小结：不规则图形面积常转化为规则图形（可以直接表达出面积的图形）面积的和与差，在实解题中，要学会灵活应用；解题中如遇求最大值、最小值问题，常转化求二次函数极值问题.对于存在性问题的解答办法通常是假设存在，求出后再验证，若满足题意则存在，若不满足，则不存.
探究类型之二、以四边形为背景
例3 如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且
A（0，3）、B（﹣4，0）．
（1）求经过点C的反比例函数的解析式；
（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A为顶点的三角形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标．
解析：
（1）根据菱形的性质可得菱形的边长，从而可得点C的坐标，用待定系数法代入反比例函数解析式可得所求的解析式.
（2）求出△COD的面积，设出点P的坐标，利用点P的横坐标表示出△PAO的面积，那么可求得点P的横坐标，就求得了点P的坐标.
答案：Rt△AOB涂色 四边形ABCD为菱形涂色
（1）由题意知，OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，.
∵四边形ABCD为菱形，∴AD=BC=AB=5.∴C（﹣4，﹣5）.
设经过点C的反比例函数的解析式为，∴，解得k=20.
∴所求的反比例函数的解析式为.
（2）画图 △COD △P1AO △P2AO 涂色
P 1
P2
设P（x，y）
∵AD=AB=5，OA=3.∴OD=2，.
∴，即，解得.
当x=时，y=，当x=﹣时，y=﹣.
∴P（）或（）.
师：学生根据解析说思路，并让学生独立解答.
师：本题以菱形为背景，结合反比例函数，主要考察勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积知识的灵活应用.只要抓住求反比例函数解析只需找一个坐标，求点的坐标就是求这点坐标的距离这些本质要点即可.
师生小结：点P可能在第三象限，也可能在第一象限，因此表示高时横坐需加绝对值符号.
例4 边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．分三题
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
师：（1）由正方形性质，并应用全等的方法可得C、E点的坐标.
再由AB为该抛物线对称轴可求得其解析式.
（2）分类讨论：
①∠PDF=∠DCO时，PD∥OC利用相似比例求得时间t.
②当∠DPF=∠DCO时，利用相似比例及勾股定理等性质求得时间t.
（3）分类讨论：可设M(2，m),N(x，y),D、E坐标可知，利用平行四边形性质求解.
答案：过点E作EG⊥x轴于G点 动画画角123 △ODC≌△GED涂色
（1）过点E作EG⊥x轴于G点．
3
2
1
1
∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，
∴OA=OC=2，OD=1，∠DOC=∠DGE=90°．
∵∠CDE=90°，∴∠1+∠2=90°．
∵∠1+∠3=90°， ∴∠3=∠2．
在△OCD和△GED中∠COD＝∠DGE,∠3＝∠2,DC＝DE，
∴△ODC≌△GED,
∴EG=OD=1，DG=OC=2．
∴点E的坐标为（3，1）．
下一步 描点C、E 描抛物线
∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，
∴可设抛物线的解析式为，
将C、E点的坐标代入解析式得:
解得:
∴抛物线的解析式为.
（2）
①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PC=OD=1，∴t=1.
下一步
② 若△PFD∽△COD，则∠1=∠2, ．
∴∠3=90°-∠2=90-∠1=∠4．
∴PC=PD， ∴DF=CD．
∵CD2=OD2+OC2=22+12=5， ∴CD=，∴DF=.
∵ ,∴PC=PD= ，t=， 下一步
综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
（3）存在，分三步 动画画下图
四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；
下一步 动画画下图
四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；
下一步 动画画下图
四边形NDME是平行四边形时，M3（2， ），N3（2， ）．


师：根据具体情况，安排学生完成下题.
（选讲题）
如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为
O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点A. 只出第一个图
分三个题
（1）求c的值； ．
（2）若a＝－l，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；
（3）若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点F.当BF＝1时，求抛物线的解析式．
师：出示课件解析提示.
解析：
（1）将点A的坐标代入即可求得c的值.
（2）分两种情况：
如图①，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时，
抛物线与直线x＝6的交点应落在C点或C点下方.
小手画图 先描点 再画图
下一步
如图②，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时，
抛物线与直线x＝6的交点应落在线段BC上且不与点B重合.
小手画图 先描点 再画图步
（3）当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在.
当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：
（1）当点M、N分别在AB、OC边上时．
如图③过M点作MG⊥OC于点G，连接OM．
小手画图 先描点 再画图
下一步
（2）当点M、N分别在AB、BC边上时．
如图 = 4 \* GB3 ④，连接MF． OF垂直平分MN，
小手画图 先描点 再画图
答案
(1)∵抛物线过点A(0，3)，∴c＝3.
(2)
∵a＝－l，∴
如图①，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与直线x＝6的交点应落在C点或C点下方.
∴ 当x＝6时，y≤0.∴，即.
又∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0.∴0＜.
由抛物线的对称性可知： .
又∵△ADE的高＝BC＝3，∴S＝×b×3＝.
∵＞0，∴S随b的增大而增大.∴当b＝时，S的最大值＝.
如图②，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时，物线与直线x＝6的交点应落在线段BC上且不与点B重合，即0≤＜3.
当x＝6，则，
∴0≤6b—33＜3，∴≤b＜6.∴BE＝3－(6b－33)＝36—6b.
∴S＝AD·BE＝·b·(36—6b)＝－3b2+18b.
∵对称轴b＝3＜，∴随b的增大而减小.
∴当b＝时，S的最大值＝.
综上所述：S的最大值为.
(3) 当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在.
当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：
（1）当点M、N分别在AB、OC边上时．
如图③过M点作MG⊥OC于点G，连接OM．
∴MG＝OA＝3．∠2＋∠MNO＝90°.
∵OF垂直平分MN．
∴OM＝ON，∠1＋∠MNO=90°，∠1＝∠2.
∵FB＝1，FC＝3－1＝2.
∴tan∠1＝，tan∠2＝＝tan∠1＝.
∴GN＝GM＝1.
设N(n，0)，则G(n－1，0)，∴M(n－1，3).
∴AM＝n－1，ON＝n＝OM.
在Rt△AOM中，， ∴，解得n＝5.∴ M(4，3)，N(5，0).
把M(4，3)，N(5，0)分别代入，得
，解得.
∴抛物线的解析式为.
（2）当点M、N分别在AB、BC边上时．
如图 = 4 \* GB3 ④，连接MF．∵OF垂直平分MN，
∴∠1＋∠NFO＝90°，MF＝FN.
又∵∠0CB＝90°，∴∠2＋∠CFO=90°.
∴∠1＝∠2.
∵BF＝1， ∴FC＝2.
∴tan∠1＝tan∠2＝.
在Rt△MBN，tan∠1＝，∴BN＝3MB.
设N(6，n)．则FN＝2-n，BN＝3-n.∴MF＝2－n，MB＝.
在Rt△MBF中，∵，∴.
解得： (不合题意舍去)，∴.
∴AM＝6－∴ M(，3)，N(6，) .
把M(，3)，N(6，)分别代人，得
，解得 .
∴抛物线的解析式为.
综上所述，抛物线的解析式为或.
师：本题是以矩形为背景，结合二次函数，主要考察曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组等知识点，正确灵活使用这些知识点，恰当进行分类是正确解答本题的前提.
师总结：当问题中图形出现多种情况时，需分情况单独画图，进行分类讨论.
师：根据时间安排学生完成下列练习，可出示课件提示，也可留做课后作业.
中考佳题
1.已知2是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10
解析：
将2代方程，求出m，再求出原方程的解，得三角形的两边长，再根据三角形三边关系，确定三条长便能求出周长.
2. 如图所示，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形. 若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
解析：设原住房平面图长方形的周长为(为定值)，
= 1 \* GB3 ①的长和宽分别为，
= 2 \* GB3 ②、 = 3 \* GB3 ③的边长分别为.
列方程组，解得、为含的定值.
3.如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（ ）
A.6.5 B.6 C.5.5 D.5
解析：易知，四边形AEOF和四边形CGOH都是菱形，
设AE=，CG=，根据题意列出方程和求解.
4. 如图所示，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）
解析：小手画图 △CAF≌△BOE，同色 △AOD∽△OBE同色
过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
5.如图所示，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A． B． C．3 D．4
解析：小手画图
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
设出设P（2x，0），求出BF、CM.
6.如图所示，在中，=90°，，将绕点C逆时针转60°，得到△MNC，则BM的长是 ．
解析：小手画图

如图，连接，设与相交于点.根据条件可得是的垂直平分线.°,°，便可求出BM.
7．如图所示，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上（点B在点A的右侧），且AB//x轴，若四边形OABC是菱形，且
∠AOC=60°， 则k= ．
解析：设点A坐标 ，再根据∠AOC=60°，得OA=2a.
则点B坐标 ，代入求k.
8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）

①b＞0 ②a-b+c＜0 ③阴影部分的面积为4 ④若c=-1，则b2=4a.
解析：利用特殊值和顶点坐标公式求解.
9. 如图所示，2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、Bn和C1、C2、C3、…、Cn分别在直线 QUOTE 和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为 ．

解析：描点 B1、B2 涂第一、二个阴影
求出 B1、B2坐标，从而求出第一、二个阴影正方形面积，
根据它们的相似性及规律，即可推出第n个阴影正方形面积.
（选作题）
如图所示，等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）.分两个题
（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x.
= 1 \* GB3 ①若，BM=，求x的值；
= 2 \* GB3 ②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
= 3 \* GB3 ③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由.
解析：
（1）涂色△ADM≌△APN
由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，
从而用证明△ADM≌△APN（ASA）.
（2）△BPM∽△CAP涂色
= 1 \* GB3 ①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可.
下一步 涂色
= 2 \* GB3 ②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得
，用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的
最小值.
下一步 小手描DG、GH、HE不同色 四边形ADPE是菱形涂色
= 3 \* GB3 ③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解.
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形.
用勾股定理逆定理证明.
答案：
（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600.
∴∠DAM=∠PAN.
∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN.
（2） = 1 \* GB3 ①易证△BPM∽△CAP，∴，
∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即.
解得x=或x=.
= 2 \* GB3 ②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积.
∵△ADM≌△APN，∴.
∴.
如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点.
在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，
∴PS=BPsin600=x，BS=BPcs600=x.∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x.
∴.∴.
∴.
∴当x=1时，S的最小值为.
= 3 \* GB3 ③连接PG，设DE交AP于点O.
若∠BAD=150，
∵∠DAP =600，∴∠PAG =450.
∵△APD和△APE都是等边三角形，∴AD=DP=AP=PE=EA.
∴四边形ADPE是菱形.∴DO垂直平分AP.
∴GP=AG.∴∠APG =∠PAG =450.∴∠PGA =900.
设BG=t，
在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=.∴AG=PG=.
∴，解得t=－1.∴BP=2t=2－2.
∴当BP=2－2时，∠BAD=150.
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形.
∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300.
∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450.
设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=a.∴DG=DO－GO=（－1）a.
又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750.
∵DH=AD=2a，
∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，
HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a.
∵，
，∴.
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形.