中考数学三轮冲刺《解答题》强化练习06（含答案）

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如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
(1)求前8次的指针所指数字的平均数．
(2)小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．)
某校组织学生到生态园春游，某班学生9：00从樱花园出发，匀速前往距樱花园2 km的桃花园.在桃花园停留1 h后，按原路返回樱花园，返程中先按原来的速度行走了6 min，随后接到通知，要尽快回到樱花园，故速度提高到原来的2倍，于10：48回到了樱花园，求这班学生原来的行走速度.
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．
如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0，4)和点B(3，0)，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°.
(1)求一次函数的解析式；
(2)求出点C的坐标；
(3)点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标.
如图，大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在北偏东60°处，前进20km后到达点B，测得C在北偏东45°处．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
如图，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P，以斜边AB为直径做⊙O.
(1)判断PC与⊙O的位置关系并证明；
(2)若AB＝5，AC＝4，AD＝eq \f(1,2)OA，求PC的长
已知抛物线y=﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A(﹣4，0)，B(1，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
(4)已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
\s 0 参考答案
解：x=5,y=7.
解：(1)前8次的指针所指数字的平均数为×(3+5+2+3+3+4+3+5)=3.5；
(2)∵这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，
∴后两次指正所指数字和要满足不小于5且不大于7，
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中符合条件的有8种结果，
所以此结果的概率为=．
解：设这班学生原来的行走速度为x km/h.易知从9：00到10：48共1.8 h，
故可列方程为eq \f(2,x)＋eq \f(6,60)＋eq \f(2－\f(6,60)x,2x)＋1=1.8，解得x=4.
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意.
答：这班学生原来的行走速度为4 km/h.
(1)证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，
∴DA=eq \f(1,2)AC，DB=eq \f(1,2)OB，AC=OB，AB=OC=2，
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
(2)解：连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF=eq \f(1,2)OA=eq \f(3,2)，AF=eq \f(1,2)AB=1，3+eq \f(3,2)=eq \f(9,2)，
∴点E坐标为：(eq \f(9,2)，1)，
设经过点E的反比例函数解析式为：y=eq \f(k,x)，把点E(eq \f(9,2)，1)代入得：k=eq \f(9,2)，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y=4.5x－1．
解：(1)设AB直线的解析式为：y=kx+b，
把(0，4)(3，0)代入可得：
，解得：，
所以一次函数的解析式为：y=﹣x+4；
(2)如图，作CD⊥y轴于点D.
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO.
在△ABO与△CAD中，
∵，
∴△ABO≌△CAD(AAS)，
∴OB=AD=3，OA=CD=4，OD=OA+AD=7.
则C的坐标是(4，7).
(3)如图2中，作点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交x轴于P，此时PB+PC的值最小.
∵B(3，0)，C(4，7)
∴B′(﹣3，0)，
把(﹣3，0)(4，7)代入y=mx+n中，
可得：，解得：，
∴直线CB′的解析式为y=x+3，
令x=0，得到y=3，
∴P(0，3).

解：(1)PC是⊙O的切线，
证明：如图，连接OC，
∵PD⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ECP＝∠AED，
又∵OA＝OC
∴∠EAD＝∠ACO，
∴∠PCO＝∠ECP＋∠ACO＝∠AED＋∠EAD＝90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是⊙O切线.
(2)∵AB是⊙O的直径，AB＝5，
∴AO＝eq \f(5,2)，∴AD＝eq \f(1,2)OA＝eq \f(5,4)，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴，∴，∴AE＝，
∴CE＝4﹣＝，
过P作PG⊥CE于G，
∵∠ECP＝∠PEC，
∴PE＝PC，
∴EG＝CG＝CE＝，
同理得△CGP∽△BCA，
∴，∴，
∴PC＝.
解：(1)抛物线的解析式为y=﹣eq \f(1,2)(x＋4)(x﹣1)，即y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2；
(2)存在．当x=0，y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2=2，则C(0，2)，∴OC=2，
∵A(﹣4，0)，B(1，0)，
∴OA=4，OB=1，AB=5，
当∠PCB=90°时，∵AC2=42＋22=20，BC2=22＋12=5，AB2=52=25
∴AC2＋BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为(﹣4，0)；
当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，设直线AC的解析式为y=mx＋n，
把A(﹣4，0)，C(0，2)代入得
，解得，
∴直线AC的解析式为y=eq \f(1,2)x＋2，
∵BP∥AC，∴直线BP的解析式为y=eq \f(1,2)x＋p，
把B(1，0)代入得eq \f(1,2)＋p=0，解得p=﹣eq \f(1,2)，
∴直线BP的解析式为y=eq \f(1,2)x﹣eq \f(1,2)，
解方程组得或，
此时P点坐标为(﹣5，﹣3)；
综上所述，满足条件的P点坐标为(﹣4，0)，P2(﹣5，﹣3)；
(3)存在点E，设点E坐标为(m，0)，F(n，﹣eq \f(1,2)n2﹣eq \f(3,2)n＋2)
①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标(﹣7，0)，
②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，
∴﹣eq \f(1,2)n2﹣eq \f(3,2)n＋2=﹣2，解得n=，
得到F2(，﹣2)，F3(，﹣2)，
根据中点坐标公式得到： =或=，
解得m=或，此时E2(，0)，E3(，0)，
③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4(﹣1，0)，
综上所述满足条件的点E为(﹣7，0)或(﹣1，0)或(，﹣2)或(，﹣2)．