高中北师大版 (2019)5.1 直线与平面垂直集体备课课件ppt

§5　垂直关系

5.1　直线与平面垂直

课后篇巩固提升

基础达标练

1.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)

A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定

解析由于直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,而这两边相交于点C,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因三角形的第三边AB在这个平面内,所以l⊥AB.

答案B

2.给出下列三个命题:

①一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线和这个平面垂直;

②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等,则这条直线和这个平面垂直;

③一条直线在平面内的投影是一点,则这条直线和这个平面垂直.

其中正确的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析①错,②③对.

答案C

3.直线a⊥直线b,直线b⊥平面β,则a与β的关系是 (　　)

A.a⊥β B.a∥β

C.a⊂β D.a⊂β或a∥β

解析若a⊂β,b⊥平面β,可证得a⊥b;

若a∥β,过a作平面α,α∩β=c,b⊥平面β,c⊂β,

则b⊥c,a∥c,于是b⊥a.故选D.

答案D

4.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为　　　　　. 

解析由题意知,△PAC,△PAB,△ACB是直角三角形.

因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.

又AC⊥BC,PA∩AC=A,得BC⊥平面PAC,即BC⊥PC.

所以△PCB是直角三角形.所以共有4个直角三角形.

答案4

5.已知直线l,a,b,平面α,若要得到结论l⊥α,则需要在条件a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b中另外添加的一个条件是　　　　　. 

答案a与b相交

6.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.

(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;

(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

(1)证明直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,

所以BB1⊥AD,因为AB=AC,D是BC的中点,

所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,

所以AD⊥平面BCC1B1.

(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.

在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin∠AC1D=,

即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.

能力提升练

1.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是(　　)

A. B.2 C.3 D.4

解析如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD.

因为PA⊥平面ABC,

所以PA⊥BC.

又PA∩PD=P,

所以BC⊥平面PAD,

所以AD⊥BC.

在△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4.

在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,

所以PD==4.

答案D

2.(多选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上或其内部运动,且使MN⊥AC.下列命题中为正确命题的是(　　)

A.点M可以与点H重合

B.点M可以与点F重合

C.点M可以在线段FH上

D.点M可以与点E重合

解析由题意知HN⊥AC,FN⊥AC,猜想:M在FH上时,均能满足要求.事实上,若M为FH上异于F,H的任意一点,

因为FH⊥底面ABCD,所以HN是斜线MN在底面ABCD上的射影,而HN⊥AC,所以MN⊥AC.

由题意知,当M为H或F时,MN⊥AC,

所以点M可以与点H重合,A正确;

点M可以与点F重合,B正确;

点M可以在线段FH上,C正确.

因为NE∥BC1,且BC1与AC不垂直,

所以点M不能与点E重合,故D错误.

答案ABC

3.已知P为△ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列命题:

①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.

其中正确的是　　　　　. 

解析由PA,PB,PC两两垂直,可得PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC,PC⊥平面PAB,所以PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB,故①②③正确.

若AB⊥BC,则由PA⊥平面PBC,得PA⊥BC,

又PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,又PC⊥平面PAB,

这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾,故④错误.

答案①②③

4.如图,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:

(1)DF∥平面ABC;

(2)AF⊥BD.

证明(1)取AB的中点G,连接FG,CG,可得FG∥AE,FG=AE.

因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,

所以CD∥AE,且CD=AE,

所以FG∥CD,FG=CD.

所以FG⊥平面ABC,

即四边形CDFG是矩形,所以DF∥CG.

又因为CG⊂平面ABC,DF⊄平面ABC,

所以DF∥平面ABC.

(2)在Rt△ABE中,因为AE=AB,F为BE的中点,

所以AF⊥BE.

因为△ABC是正三角形,所以CG⊥AB,

所以DF⊥AB.

因为AE⊥平面ABC,CG⊂平面ABC,

所以AE⊥CG,所以AE⊥DF,

且AE∩AB=A,所以DF⊥平面ABE,

因为AF⊂平面ABE,所以AF⊥DF.

因为BE∩DF=F,BE⊂平面BDE,DF⊂平面BDE,

所以AF⊥平面BDE,所以AF⊥BD.

素养培优练

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.

(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;

(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?证明你的结论.

证明(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,

所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.

又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1.

因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,

所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,

所以C1D⊥平面AA1B1B.

(2)作DE⊥AB1交AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F为所求.

因为C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.

又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,

所以AB1⊥平面C1DF.

因为AA1=A1B1=,

所以四边形AA1B1B为正方形.

又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,所以F为BB1的中点,

即当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.