高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行课时训练

第六章　立体几何初步

§4　平行关系

4.1　直线与平面平行

基础过关练

题组一　直线与平面平行的性质

1.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论中正确的是(　　)

A.m∥α,m∥n⇒n∥α

B.m∥α,n∥α⇒m∥n

C.m∥α,m⊂β,α∩β=n⇒m∥n

D.m∥α,n⊂α⇒m∥n

2.(2020山东师范大学附中高一下期末)如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则(　　)

A.GH∥SA B.GH∥SD

C.GH∥SC D.以上均有可能

3.(2020辽宁东北育才实验学校高一下期中)如图,正方体A1B1C1D1-ABCD中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于　　　　. 

4.如图,P为▱ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,=　　　　. 

题组二　直线与平面平行的判定

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过A,C,E三点的平面的位置关系是　　　　. 

6.如图,在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,则MN与平面ADE的位置关系是　　　　. 

7.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相交.EF∥AC,AB=,EF=1.求证:AF∥平面BDE.

8.已知正方形ABCD,如图(1),E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图(2)所示.求证:BF∥平面ADE.

能力提升练

题组一　直线与平面平行的性质

1.()若直线a∥平面α,直线a∥平面β,α∩β=b,则(　　)

A.a∥b或a与b异面 B.a∥b

C.a与b异面 D.a与b相交

2.(2020辽宁大连二十四中高一下段考,)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,D是AA1上的动点,且=m,若AE∥平面DB1C,则m的值为(　　)

A. B.1

C. D.2

3.(多选)(2020山东东营垦利一中高一下期中,)在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是(　　)

A.E,F,G,H一定是各边的中点

B.G,H一定是CD,DA的中点

C.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC

D.四边形EFGH是平行四边形或梯形

4.(2020辽宁东北育才实验学校高一下期中,)如图,几何体A1B1C1D1-ABCD是正方体,若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的位置关系是　　　　. 

5.(2020北京四中高二上期末,)如图,四面体ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,AD上的点,它们共面,且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=　　　　. 

6.(2020四川广元高一下期末,)如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面,交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.

题组二　直线与平面平行的判定

7.(2020山西太原一中高二下期中,)能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)

A.b⊂α,a∥b

B.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c

C.b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD

D.a⊄α,b⊂α,a∥b

8.()已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和矩形ABEF不同在一个平面内,P,Q分别是两个矩形对角线AE,BD上的点,且AP=DQ.求证:PQ∥平面CBE.

9.(2020河北衡水中学高一下学期期末,)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2CD,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,设F是棱AB的中点.证明:直线EE1∥平面FCC1.

题组三　线面平行中的探究性问题

10.(2020北京顺义高三一模,)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在AD1上移动,点N在BD上移动,D1M=DN=a(0<a<),连接MN.

(1)证明:对任意a∈(0,),总有MN∥平面DCC1D1;

(2)当a为何值时,MN的长度最小?

11.(2020江苏淮安高一检测,)如图所示,已知ABCD为梯形,AB∥CD,CD=2AB,M为线段PC上一点.

(1)设平面PAB∩平面PDC=l,证明:AB∥l;

(2)在棱PC上是否存在点M,使得PA∥平面MBD?若存在,请确定点M的位置;若不存在,请说明理由.

12.(2020重庆巴蜀中学高一下期末,)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA=4,BC=6,与PA,BC都平行的截面四边形EFGH的周长为l,l的取值能否为10?如果能,请确定此时点E的位置;如果不能,请说明理由.

§4　平行关系

4.1　直线与平面平行

基础过关练

1.C　A中,n可能与α平行,也可能在平面α内;B中,m,n可能相交、平行或异面;C中,由线面平行的性质定理可知C正确;D中,m,n可能平行或异面.故选C.

2.B　因为GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD=SD,所以GH∥SD.显然GH与SA,SC均不平行.故选B.

3.答案　

解析　因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,且平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点,所以F是DC的中点.所以EF=AC.又因为在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AB=2,所以AC=2.所以EF=.

4.答案　

解析　如图,连接AC,交BE于点G,连接FG.

因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,

所以PA∥FG,所以=.

又因为AD∥BC,E为AD的中点,

所以==,所以=.

5.答案　平行

解析　如图所示,连接AE,CE,BD,AC,设BD与AC交于点O,连接OE.在正方体中容易得到点O为BD的中点,因为E为DD1的中点,所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE,所以BD1∥平面ACE.

6.答案　平行

解析　∵M,N分别是BF,BC的中点,

∴MN∥CF.又∵四边形CDEF为矩形,

∴CF∥DE,∴MN∥DE.

又MN⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,

∴MN∥平面ADE.

7.证明　设AC,BD交于点G,连接EG.因为四边形ABCD是正方形,AB=,所以AC=2,AG=AC=1.又EF=1,所以EF=AG.又EF∥AC,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG.又因为AF⊄平面BDE,EG⊂平面BDE,所以AF∥平面BDE.

8.证明　∵E,F分别为AB,CD的中点,

∴EB=FD.又∵EB∥FD,

∴四边形EBFD为平行四边形.

∴BF∥ED.

∵DE⊂平面ADE,BF⊄平面ADE,

∴BF∥平面ADE.

能力提升练

1.B　如图,过a作平面γ交平面α于c,过a作平面ε交平面β于d,

因为a∥α,所以a∥c.

因为a∥β,所以a∥d,所以c∥d.

又c⊄β,d⊂β,所以c∥β,

又c⊂α,α∩β=b,

所以c∥b,所以a∥b.

2.B　如图,取CB1的中点G,连接GE,DG,

∵AD∥BB1,GE∥BB1,

∴AD∥GE,∴AD与GE共面,且平面AEGD∩平面DB1C=DG,若AE∥平面DB1C,则AE∥DG,

∴四边形ADGE为平行四边形,

∴AD=GE=BB1=AA1,

∴=1,∴m=1.

3.CD　由于BD∥平面EFGH,所以由线面平行的性质定理,得BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC,且EH∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形或梯形.故选CD.

4.答案　平行

解析　连接A1C1,∵AC∥A1C1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,AC⊄平面A1B1C1D1,

∴AC∥平面A1B1C1D1,

又AC⊂平面AB1C,平面AB1C∩平面A1B1C1D1=l,∴AC∥l.

5.答案　m∶n

解析　∵AC∥平面EFGH,AC⊂平面ABC,AC⊂平面ADC,平面ABC∩平面EFGH=EF,平面ADC∩平面EFGH=GH,

∴EF∥AC,HG∥AC.

又四边形EFGH是菱形,∴EF=HG=m.

同理,EH=FG=n,∴m=n,

∴AE∶EB=m∶n.

6.证明　如图,连接AC,交BD于点O,连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴点O是AC的中点.

又∵点M是PC的中点,∴OM∥AP.

又∵AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,

∴AP∥平面BDM.∵平面PAHG∩平面BDM=GH,AP⊂平面PAHG,∴AP∥GH.

7.D　若b⊂α,a∥b,则a∥α或a⊂α,故A错误;

若b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c,则a∥α或a⊂α,故B错误;

若b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD,则a∥α或a⊂α或a与α相交,故C错误;

D项是线面平行的判定定理不可缺少的三个条件.

8.证明　如图,作PM∥AB交BE于点M,作QN∥AB交BC于点N,连接MN,则PM∥QN,=,=.

易知EA=BD,∵AP=DQ,∴EP=BQ.

又∵AB=CD,∴PM=QN,

∴四边形PMNQ是平行四边形,

∴PQ∥MN.

又∵PQ⊄平面CBE,MN⊂平面CBE,

∴PQ∥平面CBE.

9.证明　如图,取A1B1的中点为F1.连接FF1,C1F1.

易知FF1∥CC1,所以F1∈平面FCC1,因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D,F1C,由题意得A1F1?D1C1?DC,所以四边形A1DCF1为平行四边形,所以A1D∥F1C.又易知EE1∥A1D,所以EE1∥F1C.又EE1⊄平面FCC1,F1C⊂平面FCC1,所以EE1∥平面FCC1.

10.解析　(1)证明:如图,作MP∥AD,交DD1于点P,作NQ∥BC,交DC于点Q,连接PQ.

易得MP∥NQ,且MP=NQ,则四边形MNQP为平行四边形,∴MN∥PQ.

又PQ⊂平面DCC1D1,

MN⊄平面DCC1D1,

∴MN∥平面DCC1D1.

(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形,∴MN=PQ.

∵DD1=AD=DC=BC=1,∴AD1=BD=.

∵D1M=DN=a,∴=,=,

即D1P=DQ=,

∴MN=PQ=

=

=(0<a<),

故当a=时,MN的长度最小,最小为.

11.解析　(1)证明:因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,

所以AB∥平面PCD.又因为平面PAB∩平面PDC=l,且AB⊂平面PAB,所以AB∥l.

(2)存在点M,使得PA∥平面MBD,此时=.理由如下:

连接AC交BD于点O,连接OM.

因为AB∥CD,所以△AOB∽△COD.

又CD=2AB,所以==.

又因为=,PC∩AC=C,

所以PA∥MO.又因为PA⊄平面MBD,MO⊂平面MBD,所以PA∥平面MBD.

12.解析　l的取值能为10.

理由如下:

∵PA∥平面EFGH,PA⊂平面PAB,平面PAB∩平面EFGH=EH,∴PA∥EH,

同理,PA∥FG,BC∥EF,BC∥HG.

∴EH∥FG,EF∥HG.

∴四边形EFGH为平行四边形.

∵EF∥BC,∴=,

∴EF=.

又EH∥PA,∴=,

∴EH=.

∴四边形EFGH的周长l=2(EF+EH)====8+.

由题意知0<<1,∴8<l<12.

因此l的取值能为10.

当=,即E是线段AB的中点时,四边形EFGH的周长l为10.