初中数学北师大版九年级下册1 圆一课一练

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 圆一课一练，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专训3.5.2 与三角形外接圆有关的证明和计算
一、单选题
1．已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（ ）．

A．(2,0) B．(2,1) C．(3,0) D．(3,1)
【答案】A
【分析】
利用坐标系结合网格得出线段AB以及线段BC的垂直平分线交点，即为△ABC对应的圆心．
【详解】
解：如图所示：△ABC对应的圆心坐标是（2，0）．
故选：A．

【点睛】
此题主要考查了垂径定理推论以及三角形外接圆圆心位置确定方法，正确掌握三角形外接圆作法是解题关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，，，，点P为的外接圆的圆心，将绕点O逆时针旋转，点P的对应点P’的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点作于点，根据点的坐标可得，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，得的外接圆的圆心在斜边的中点处，取的中点，可得，连接，将绕点逆时针旋转90至，作轴于点，轴于点，证明△，得，，进而可求得点的坐标．
【详解】
解：如图，

过点作于点，
，，，

，，

，


是直角三角形
的外接圆的圆心在斜边的中点处
如图，取的中点，
，
连接，将绕点逆时针旋转90至，
作轴于点，轴于点，

，

△
，
．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形变化—旋转，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心的位置．
3．如图，圆O的半径为R，正内接于圆O，将按逆时针方向旋转后得到，它的两边与AB相交于点D、E，则以下说法正确的个数是（ ）

①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据圆内接正三角形和旋转的性质得到，，则，于是可得到；在△中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，，再利用“”可证明△△，则，所以；根据对顶角相等可得到；在△中利用勾股定理可得到，而，则，把代入得到．
【详解】
解：连接，，，，如图，
是正角三角形，按逆时针方向旋转后得到△，
△为等边三角形，
，
而点为△的内心，
，
又，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，所以①正确；
，
而，
，
，，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，所以②错误；
，所以③正确；
在△中，，
，
，
而，
，
，所以④错误．
故选：B．

【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和圆内接正三角形的性质；会运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行几何运算．
4．如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用外心的性质，得到OA是∠BAC的平分线，OA=OC，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质计算即可．
【详解】
∵为的外心，，，
∴OA是∠BAC的平分线，
∴，
∵，∴，
∴，
∵为正三角形，
∴，
∴，
又∵为的外角，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形外心的意义，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质并灵活计算是解题的关键．
5．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心是各边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据三角形的外接圆及外心的性质分析判断即可求解．
【详解】
解：②③正确；不在同一直线上的三点确定一个圆，所以①错误；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以④错误；当等腰三角形是钝角三角形时，它的外心在这个三角形外；当等腰三角形是直角三角形时，它的外心在这个三角形的斜边上，所以⑤错误，
∴正确的有②③，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆及外心的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆及外心的性质有关知识点．
6．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）

A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE
【答案】C
【分析】
根据三角形的外心和等边三角形的性质解答；
【详解】
∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心．
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键．
7．如图，已知是的外接圆，的半径为5，，则为　　

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数．
【详解】
解：是的外接圆，的半径为5，，
是等边三角形，
，
，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
8．如图，O是的外心，则　　

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
如图，

，
，
同理，，，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
9．如果一个三角形的外心恰好在它一边的中线上，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】
因为一个三角形的外心恰好在它一边的中线上，又外心在这边的中垂线上，即可推出这个三角形是等腰三角形.
【详解】
解：∵一个三角形的外心恰好在它一边的中线上，
∴外心在这边的中垂线上，
∴这个三角形是等腰三角形，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理，由直径所对的圆周角是直角是解决问题的关键．
二、填空题
10．如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为___．

【答案】
【分析】
先根据点的坐标可得是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点即可得．
【详解】
解：，
，
是直角三角形，
则外接圆的圆心坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形的外接圆的圆心，熟练掌握直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点是解题关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．若点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，则符合条件的点有_______________________个．

【答案】3
【分析】
由勾股定理求出，由点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，得出，即可得出点的坐标．
【详解】
解：如图，

点、、的坐标分别为，，．
，
点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，
，
则点的坐标为或或，即：共3个．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为___________．

【答案】（6，6）
【分析】
如图：由题意可得M在AB、BC的垂直平分线上，则BN=CN；证得ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.
【详解】
解：如图∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）．
故答案为（6，6）．

【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，其中判定△OMN为等腰直角三角形是解答本题的关键．
13．在RtABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则它的外接圆的半径为___
【答案】7.5
【分析】
首先利用勾股定理得出AB的长，再利用直角三角形外接圆直径是斜边长度得出即可．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，
∴AB==15，
∴其外接圆的直径为15，半径为：7.5．
故答案为：7.5．

【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形外接圆的性质，得出直角三角形外接圆直径是斜边长度是解题关键．
14．已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝___．
【答案】cm
【分析】
首先根据勾股定理的逆定理发现该三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半进行计算．
【详解】
解：，
是直角三角形，
则外接圆半径是斜边的一半，即为cm；
故答案为：cm．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟记直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半．
15．如图，在中，为的外接圆，如果，那么的半径为______．

【答案】
【分析】
连接、，作，利用圆心角与圆周角的关系得出，再利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理解答即可．
【详解】
解：连接、，作，

，
，
又∵OB＝OC，，，
，
∴在中，，
故答案为：．
【点睛】
此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周角的关系得出．
16．如图，点C是以为直径的半圆上任意一点，，D、E分别是弧，弧的中点，交于点F，则_______度，的外接圆半径是________．

【答案】135°
【分析】
连接，，由、分别是、的中点，得到，，求得，，根据三角形的外角的性质即可得到结论，设的外接圆的圆心为，取弦所对的弧上的点与点在的两侧，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接，，
、分别是、的中点，
，，
，，
是的直径，
，
，
，
；
，
设的外接圆的圆心为，取弦所对的弧上的点与点在的两侧，
，
，
，
，
的外接圆半径是，
故答案为：45，．

【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．如图，点是的外心，且，则________．

【答案】
【分析】
根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解．
【详解】
解：∵点为的外心，
∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键．
18．已知直角三角形的两条直角边长分别是3厘米，4厘米，则此直角三角形的重心与外心之间的距离为__________厘米．
【答案】
【详解】
解：如图：设D为Rt△ABC的外心，G是重心，
∵直角三角形的两条直角边长分别是3 cm，4 cm，
∴由勾股定理可得斜边长AB=5cm，连接CD，
∴斜边AB的中线CD=2．5 cm，
∵D为Rt△ABC的外心，G是重心，
∴由重心的性质可得：GD=cm．

考点：1．重心的性质2．外心的性质3．勾股定理

三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　；
（2）这个圆的半径为　　；
（3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M　　（填内、外、上）．

【答案】（1）（2，0）；（2）；（3）内
【分析】
（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出即可；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【详解】
解：（1）如图，圆心的坐标为；
（2），，
，
即的半径为；
（3），，
，
，
点在内．

【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
20．在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（1，0），C（3，2），仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题

（1）在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形；
（2）在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）；
（3）△ABC外接圆的圆心M的坐标为　 　．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于点D的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；
（2）找出AB边和BC边的垂直平分线即可；
（3）分别求出直线AD和直线EF的解析式，联立即可求得M的坐标；
【详解】
解：（1）如图，△A'B'C′为所求；


（2）如图，取格点E、F、D，连接EF和AD相交于点M；
∵AE∥BF，
∴∠AEN=∠BFN，
∵AE=BF，∠ANE=∠BNF，
∴△AEN≌△BFN，
∴AN=BN，
∵，，
∴，，
∴，
∴∠BNF=90°，
∴EF垂直平分AB，
根据正方形的性质可得：AD垂直平分BC，
∴点M为△ABC的外接圆的圆心；

（3）设直线AD的解析式为y=kx+b，则有；
解得：；
∴直线AD的解析式为y=-x+3，
设直线EF的解析式为y=mx+n，则有；
解得：；
∴直线AD的解析式为，
∴；解得：
∴
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，中心对称，三角形的外心、一次函数与一元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．

（1）在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ；
（2）最小覆盖圆的面积为 ；（用含π的代数式表示）
（3）若点E的坐标(6，0)，点E在外接圆 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）
【答案】（1）（5，5）；（2）；（3）内
【分析】
（1）根据网格的性质画出AB和BC的垂直平分线，交点即为点D；
（2）求出△ABC的外接圆的面积即可；
（3）求出DE的长，再与圆D的半径比较即可．
【详解】
解：（1）如图所示，
点D的坐标为（5，5），

（2）△ABC的最小覆盖圆的面积即为外接圆的面积，
∵D（5，5），A（0，7），
∴AD=，
∴△ABC的最小覆盖圆的面积为=；
（3）∵E（6，0）
则DE=＜，
∴点E在△ABC外接圆内，
故答案为：内．
【点睛】
此题主要考查了三角形外接圆，勾股定理，解题的关键是能根据网格的性质找到圆心D．
22．如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系．
（1）请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写：圆心的坐标：（______，______）
（2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出图形．

【答案】（1）点P的位置如图所示，点P坐标为（5，3）；（2）△ADE如图所示，见解析
【分析】
（1）分别作出BC、AB的中垂线，两直线的交点即为点P；
（2）分别找出点B、C绕点A逆时针旋转后的点的位置，然后顺次连接即可.
【详解】
解：（1）如图所示，点P即为所求，圆心P的坐标为P（5，3）；

（2）如图所示，△ADE为所画三角形.
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆，熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键．
23．（1）如图1，已知线段a，请用无刻度的直尺和圆规作Rt△ABC，使斜边AB＝a，∠A＝30°；
（2）如图2，已知矩形MNPQ中，MN＝6，若在边PQ上存在一点D，使∠MDN＝30°，则边NP长度的取值范围是 ．

【答案】（1）见解析；（2）（2）≤NP≤
【分析】
（1）作线段AB的垂直平分线EF交AB于D，以BD为边向上作等边三角形BDC，连接AC，△ABC即为所求作．
（2）如图2中，以MN为边向右作等边△MON，以O为圆心，OM为半径作⊙O，当⊙O与边PQ有交点时，满足条件，分别求出PN的最大值与最小值，可得结论．
【详解】
（1）如图1中，△ABC即为所求作．

①作线段AB的垂直平分线EF，交AB于D，
②分别以点B，D为圆心，BD为半径画弧，两弧相交于点C，
③连接AC，BC，
即△ABC即为所求作
（2）如图2中，以MN为边向右作等边△MON，以O为圆心，OM为半径作⊙O，
当⊙O与边PQ有交点时，满足条件，
当⊙O与PQ相切时，此时PN的值最大，
延长DO交MN于E，则OE垂直平分MN
∵MN=6
∴OE=3，OM=6
∴PN=DE=DO+OE=3+6

当⊙O经过P、Q时，矩形MNQP是⊙O的内接矩形，
此时OD=OE=3
∴PN=6，此时PN的值最小，
∴6≤NP≤3+6．
故答案为：6≤NP≤3+6．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，矩形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解决第二问的关键在于构造圆O，得出D在圆O与边PQ的交点上．
24．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，

（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
【答案】（1）证明见解析（2）4
【详解】
解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC．
又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等边三角形．
（2）连接OB，

∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心．
∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4．
（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于60°，从而得证．
（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×=4
25．如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC　 　∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．

【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°
【分析】
（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；
（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．
【详解】
解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，
而∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠PDC．
故答案是：＝；
（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD．
由（1）知：∠ABC＝∠PDC，
又∵BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AC＝CE．
又∵∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，
∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，
而45°＜α＜135°，
故：45°＜α＜90°．
【点睛】
本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．
26．如图，已知射线OC为∠AOB的平分线，且OA＝OB，点P是射线OC上的任意一点，连接AP、BP．
（1）求证：△AOP≌△BOP；
（2）若∠AOB＝50°，且点P是△AOB的外心，求∠APB的度数；
（3）若∠AOB＝50°，且△OAP为钝角三角形，直接写出∠OAP的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠APB＝100°；（3）0°＜∠OAP＜ 65°或90°