初中数学北师大版九年级下册第三章 圆8 圆内接正多边形当堂检测题

这是一份初中数学北师大版九年级下册第三章 圆8 圆内接正多边形当堂检测题，共36页。
专训3.8 圆的内接正多边形
1．圆内接正三角形的边长是，则该圆的半径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出图形，作出相应的辅助线，利用正三角形的性质以及圆的性质构造特殊的直角三角形（如OAC），然后进行计算可求出圆的半径．
【详解】
解：如图，是边长为12的的内接正三角形．
连，，过点O作于点C，
是正三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝120°，
又∵＝，
∴∠OAC＝∠OBC＝30°，
∵，，
，，
∵∠OAC＝30°，，
∴设OA＝x，则，
在Rt，，
∴，
解得：（舍负），
∴的半径，
故选：B．

【点睛】
本题考查正多边形与圆，正三角形的性质、垂径定理，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是作出正确的辅助线，构造直角三角形解决问题．
2．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，然后由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【详解】
解：如图1，

∵ 为圆内接正三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
如图2，

∵四边形 是圆内接正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
如图3，

∵正六边形为圆内接正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 该三角形的三边长分别为 ，
∵ ，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积为
故选：C
【点睛】
本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．
3．的半径为2，则它的内接正四边形的边长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】
通过添加辅助线构造直角三角形，进而运用勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：根据题意可画出图形，连接BO、OC，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形，勾股定理，解题的关键是熟练运用圆内接正多边形解决问题．
4．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则（ ）
A．6 B． C． D．4
【答案】C
【分析】
因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角＝60°，构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴⊙O的两条半径与正n边形的一条边长构成等边三角形，
∵等边三角形的一个内角的度数是60°，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形与圆以及求代数式的值，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，正六边形ABCDEF内接于，已知的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）

A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB==60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH=30°，AH=AB=1，于是得到结论．
【详解】
解：过O作OH⊥AB于H，

在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH=AB=1，
∴OH=AH=，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要正确的作出辅助线和熟练掌握含30°角直角三角形的性质和勾股定理．
6．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）

A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
【答案】B
【分析】
连接OA，根据正多边形的性质得到∠AOH=30°，AH=2，根据勾股定理求出OH，根据规律解答．
【详解】
解：连接OA，

∠AOH=30°，AH=2，
∴OH=，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴点A的坐标为（-2，2），点F的坐标为（2，2），点E的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，-2），点C的坐标为（-2，-2），点B的坐标为（-4，0），
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6=336…4，
∴当n=2020时，顶点A与顶点C重合，
∴此时顶点A的坐标为（-2，-2），
故选：B．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBiCiDiEi，则正六边形OAiBiCiDiEi（i＝4）的顶点Ci的坐标是（ ）

A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【答案】A
【分析】
由于正六边形旋转4次，每次转45°，所以点C与C4关于原点对称，可以直接把的C4坐标写出来．
【详解】
解：∵正六边形旋转4次，即45°×4＝180°，
∴点C与C4关于原点对称，
∵C的坐标为（﹣1，），
∴C4的坐标为（1，﹣）．
故选：A．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，中心对称，解题的关键是读懂正六边形OABCDE绕点O每次顺时针旋转45°．
8．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【答案】A
【分析】
如图，连接，．首先确定点的坐标，再根据6次一个循环，由，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接，．
在正六边形中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，
故选：A．

【点睛】
本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
9．如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．
【详解】
解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
10．如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】
如下图所示，先求出正五边形的每个内角，进而得到∠O=36°，再用周角除以36°得到一圈所需要的正五边形的个数．
【详解】
解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每个内角为，如下图所示：

∴∠O=360°-3×108°=36°，
∵围成一圈，O处的周角为360°，
∴共需要正五边形的个数为：360°÷36°=10个，
故还需要10-3=7个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，掌握多边形的内角和定理，能求出每个正五边形每个内角是解此题的关键．
11．如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）

A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
【答案】B
【分析】
连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，根据矩形的性质求出，再求出正六边形面积即可．
【详解】
解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，
∵多边形是正六边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°，
∴∠BAC=30°，
∴∠FAC=90°，
同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
，，
，
故选：B．

【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．
12．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由正六边形的性质得∠COD＝60°，再证△OCD是等边三角形，得BC＝CD＝OC＝2，再由垂径定理和含30°角的直角三角形的性质求出OG即可．
【详解】
解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝360°÷6＝60°，

∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝1，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
13．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）
A．6， B．，3 C．6，3 D．，
【答案】A
【分析】
先根据正六边形的性质、等边三角形的判定与性质，再利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：如图，点为正六边形的外接圆和内切圆的圆心，

则为其外接圆半径，为内切圆半径，
正六边形的边长为6，
，
又，
是等边三角形，
，
由圆的切线的性质得：，
，
，
即正六边形的外接圆半径为6，内切圆半径为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正六边形的外接圆和内切圆，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．
14．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形的中心重合，且与边、相交于、（如图）．图中阴影部分的面积记为，三条线段、、的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，下列说法正确的是（ ）

A．变化，不变 B．不变，变化
C．变化，变化 D．与均不变
【答案】D
【分析】
如解析图，利用全等三角形的判定与性质，证明△AOG≌△COH，从而得到AG=CH，最终将所求问题转换到四边形OABC中进行判断即可．
【详解】
如图所示，连接OA，OC，
由正六边形的性质可知，
OA=OC，∠AOC=∠GOH=120°，∠OAG=∠OCH=60°，
∴∠AOG=∠COH，
在△AOG与△COH中，

∴△AOG≌△COH(ASA)，
∴，AG=CH，
∴，
，
∵正六边形ABCDEF的边长为定值，
∴l不改变，四边形OABC的面积不改变，即S不改变，
故选：D．

【点睛】
本题考查正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质，理解正六边形的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
15．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H为的八等分点，与的交点为I．若的半径为，则的长等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图，连接、，作于，于，在上截取一点，使得，连接．首先证明，推出，在中，，求出即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接、，作于，于，在上截取一点，使得，连接．

点，，，，，，，为的八等分点，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是正方形，设，
，
，
，
，
，
在中，，
，（负根舍去）
．
故选：B．
【点睛】
本题考查正多边形与圆、解直角三角形、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
16．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于（　　）

A．cm B．2cm C．2cm D．cm
【答案】A
【分析】
根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理，可得答案．
【详解】
解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，

由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∴∠BCD＝∠BAC＝30°，
由AC＝3，得CD＝1.5，
Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝a，
∴AD＝＝a，
即a＝1.5，
∴a＝（cm），
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键，又利用了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形．
17．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的周长为12，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（　　）

A．24 B．20 C．8 D．16
【答案】B
【分析】
由题可知，求解剩余部分拼成的五边形的面积，需要利用Rt△OBC，求解正六边形面积和两个直角三角形面积；最后正六边形面积减去两倍Rt△OBC的面积即可．
【详解】
依题意，如图，

根据题意得：∠BOC＝30°，设BC＝x，则OB＝2x，，
∴2（x+2x）＝12，
解得x＝2，
∴OC＝，
∴ ；
∴ 正六边形的面积＝；
∵ 拼成一个四边形的面积为：；
∴纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为：；
故选：B．
【点睛】
本题考查正六边形的性质及面积求法，重点在于利用正六边形分解成12个全等直角三角形的方法．
18．如图，把正六边形各边按一定方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点，可以得到一个新的正六边形，.....，重复上述过程，经过2018次后，所得的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【分析】
先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数，求出AB的长，进而可得出，经过2018次后，即可得出所得到的正六边形的边长．
【详解】
∵此六边形是正六边形，

∴∠1=180°-120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=AC，
∴△ABC是直角三角形
又∵BC=AC，
∴∠2=30°，
∴AB=BC=CD，
同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长（）2倍，
∴经过2018次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的（）2018，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，解答此题的关键是熟知正多边形内角的性质及直角三角形的判定定理，此题有一定的难度．
19．已知正六边形内接于，若的直径为，则该正六边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图，连接OA、OB，由正六边形内接于可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据直径可得OA的长，进而可得正六边形的周长．
【详解】
如图，连接OA、OB，
∵的直径为，
∴OA=1，
∵正六边形内接于，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∴该正六边形的周长是1×6=6，

故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形和圆，正确得出∠AOB=60°是解题关键．
20．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，⊙O的半径长为a，下列说法中不正确的是（　　）

A．正六边形ABCDEF的中心角等于60°
B．正六边形ABCDEF的周长等于6a
C．正六边形ABCDEF的边心距等于
D．正六边形ABCDEF的面积等于3
【答案】D
【分析】
正多边形每一边对应的圆心角等于中心角，判断出△OAB为正三角形，即可求得周长为6a，边心距即为正△OAB的高，正六边形的面积为6个正三角形的面积之和，计算出结果依次判断即可．
【详解】
∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴正六边形ABCDEF的中心角等于，
故A正确；
∵⊙O的半径长为a，正六边形ABCDEF的中心角等于60°，
∴△OAB为正三角形，
∴正六边形的边长为a，
∴正六边形ABCDEF的周长等于6a，
故B正确；
∵正六边形ABCDEF的边心距等于，
故C正确，
∵正六边形ABCDEF的面积等于六个正三角形OAB的面积，
∴，
故D错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是正多边形外接圆的性质，熟练掌握圆心角的计算，以及正三角形的性质是解答本题的关键．
21．尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③连结．则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据六等分点可得是的直径，，再根据圆周角定理、勾股定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：如图，连接，

是的六等分点，
是的直径，，
由圆周角定理得：，
在中，，
分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
，
又点是的中点，
（等腰三角形的三线合一），
在中，，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
22．如图，是上的5等分点，连接，得到一个五角星图形和五边形．有下列3个结论：①，②，③．其中正确的结论是（ ）

A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】
根据圆的性质得到AO⊥BE，故①正确；由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，得到弧CD的度数，求得∠COD=72°，根据圆周角定理得到∠CAD=36°；连接CD求得∠CGD=108°，于是得到∠CGD=∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：、、、、是上的5等分点，
，
，故①正确；
、、、、是上的5等分点，
的度数，
，
，
；
连接

、、、、是上的5等分点，
，
，
，
，故②正确；
连接，，
则，
，
，
，
，
，③错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．如图，在面积为135cm2的正六边形ABCDEF中有两个等边三角形组成的菱形AMDN．则剪掉这个菱形后剩余部分的面积为（　　）

A．75cm2 B．70cm2 C．65cm2 D．60cm2
【答案】A
【分析】
连接AD，设AD＝2h，则正六边形ABCDEF是有六个边长为h的等边三角形组成，求得h2＝30，设菱形的边长AM＝a，得到h＝a，求得a2＝h2，根据三角形的面积公式得到菱形AMDN的面积＝2a2＝×h2＝××30＝60（cm2），进而可求得结论．
【详解】
解：连接AD，
设AD＝2h，则正六边形ABCDEF是有六个边长为h的等边三角形组成，
∴边长为h的正△BOC的面积为h2，
∴S正六边形＝6×h2＝135，
∴h2＝30，
设菱形的边长AM＝a，
则h＝a，
∴a2＝h2，
∴菱形AMDN的面积＝2×a2＝×h2＝××30＝60（cm2），
∴剪掉这个菱形后剩余部分的面积为135﹣60＝75（cm2）．
故选：A．

【点睛】
本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的面积的求法，正确的理解题意，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
24．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）

A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
【答案】D
【分析】
甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等
【详解】

甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
25．如图，正方形和正三角形内接于，、交于、，若正方形的边长是4，则的长度为　　

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接交于，连接，根据正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：连接交于，连接，
四边形是正方形，
，
是的直径，
是等腰直角三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：．

【点睛】
本题考查正多边形与圆的关系，涉及到特殊锐角三角函数值、正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用所学知识．
26．如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB作正方形ABCD，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使AB与正八边形的另一边重合，则正方形ABCD与正方形重叠部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先计算出正八边形的内角∠ABC′=135°，再利用旋转的性质得∠ABC=∠A′BC′=90°，∠BA′D′=∠BAD=90°，所以∠ABA′=135°-90°=45°，则延长BA′过点D，如图，然后利用正方形ABCD与正方形A′BC′D′重叠部分的面积=S△BDC-S△DA′E进行计算．
【详解】
正八边形的内角，正方形绕点B顺时针旋转，使BC与正八边形的另一边重合，
．
．
如解图，延长至点D，DC与相交于点E，
．
．

∴正方形与正方形重叠部分的面积
故选：A．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，把一个圆分成n等分，依次连接各点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，也考查了正方形和正八边形的性质．
27．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是 ．

A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点 D．EF＝AF
【答案】D
【分析】
证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断A；．证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF=AF，可判断D．
【详解】
解：如图，

在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段EF的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，
故答案为：D．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．
28．如图，正方形的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，六边形对角线EH与正方形对角线AC重合就可解决问题．
【详解】
解：如图所示，

当时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，此时正六边形的边长最大，再当与正方形对角线重合时，最小；
正方形的边长为1；
，
，
，
则的最小值为．
故选：．
【点睛】
本题考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六边形的边长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得最小．
29．如图在正六边形中，有两点同时、同速从中点出发，P沿方向运动，Q点沿方向指向运动，10秒后，两点与多边形中心连线及多边形（延长线）所围成图形的面积如图（阴影部分的面积）有两部分为，则之间的数量关系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图，连接OB，OC，作OW⊥BC于W，OT⊥CD于T．因为点P，Q同时，同速从AB中点M出发，所以MQ＝MB＋BC＋PC，推出•MQ•OM＝•（BM＋BC＋PC）•OM及BC= BG+CG推出S△OMQ＝S△OBM＋S△OBG＋S△OGC＋S△OCP=S△OBM＋S△OBG＋S2，再根据S1＝S△OGC＋S△OCP，推出S1＝S2．
【详解】
如图，连接OB，OC，作OW⊥BC于W，OT⊥CD于T．
在正六边形ABCDEF中，
∵AM＝BM，
∴OM⊥AB，
∵OW⊥BC，OT⊥CD，
∴OM＝OW＝OT，
∵点P，Q同时，同速从AB中点M出发，
∴MQ＝MB＋BC＋PC，
∴•MQ•OM＝•（BM＋BC＋PC）•OM，
又BC=BG+CG
∴S△OMQ＝S△OBM＋S△OBG＋S△OGC＋S△OCP=S△OBM＋S△OBG＋S2，
∵S1＝S△OGC＋S△OCP，
∴S1＝S2．
故选：C．

【点睛】
本题考查正多边形与圆，多边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
30．弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，（晓观数学）其边长为半径画弧得到的三角形.在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为“麦田怪圈”.图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形.如图2，成员甲先借绳子绕行一周画出，再将三等分，得到，，三点.接着，成员乙分别以，，为圆心画出图中的弧三角形.研究小组在，，，四点中的某一点放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为，成员乙所在的位置为，若将射线绕着点逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量（单位：°，），甲、乙两人到检测仪器的距离分别记为和（单位：），绘制出两个函数的图象（如图3）.
结合以上信息判断，下列说法中错误的是（）

A．的半径为 B．图3中的值为270
C．当时，1取得最大值12 D．检测仪器放置在点处
【答案】B
【分析】
如图，根据题意，找到甲、乙对应的图像，然后求得，以及，，进而求出圆半径，再对选项逐一分析即可.
【详解】
解：∵将射线绕着点逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量，且成员乙所在的位置为，
∴根据如图3所示，实线部分图像距离先保持不变，再下降至0，然后上升可判断则实线部分为应为乙的图象，（点Q在以A点为圆心画的上，则AQ距离不变），
∴当Q点从B点逆时针运动时，图像如图中实线所示，检测仪器应该在A点，
∵Q从B点到A点时，运动的角度为个圆周，
∴ ，
结合图可得，，
如图，连接AB、OA、OB，过O作OD⊥AB于点D，
∵OA=OB,OD⊥AB，
∴
∴
∴，
∴的半径为
如图，当射线OB转至中点位置时，即P在OA所在直线上，y1取最大值，长度为的直径12m，此时转过的圆心角为60°，即.
∴A、C、D正确，
故选B.

【点睛】
此题考查正多边形和圆、等腰三角形三线合一及弧三角形的相关问题，根据题意找到正确的函数的图象是解本题的关键.