北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质随堂练习题

这是一份北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质随堂练习题，共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专训 2.2.3 y=ax²+bx+c的图象和性质
一、单选题
1．已知抛物线y＝ax2﹣4ax＋3（a＜0）经过点（m，y1），（m＋1，y2），若y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m＞2 D．m＜1
【答案】A
【分析】
先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数的性质，当点（m，y1）和（m+1，y2）在直线x=2的右侧时m≥2；当点（m，y1）和（m+1，y2）在直线x=2的左右两侧时2-m＜m+1-2，然后分别解两个不等式即可得到m的范围．
【详解】
解：抛物线的对称轴为直线x==2，
∵m＜m+1，y1>y2，a<0，
∴当点（m，y1）和（m+1，y2）在直线x=2的右侧时，有m≥2；
当点（m，y1）和（m+1，y2）在直线x=2的左右两侧时，有2-m＜m+1-2，
解得m＞；
综上所述，m的范围为m＞．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
2．已知二次函数，当时，，当时，，则当时，y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由当x=1时，-4≤y≤-2，当x=2时，-1≤y≤2，将y=ax2+c代入得到关于a、c的两个不等式组，再设x=3时y=9a+c=m(a+c)+n(4a+c)，求出m、n的值，代入计算即可．
【详解】
解：由x=1时，-4≤y≤-2得，-4≤a+c≤-2…①，
由x=2时，-1≤y≤2得，-1≤4a+c≤2…②，
当x=3时，y=9a+c=m(a+c)+n(4a+c)，
得 ，解得，
故 ，，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，以及二次函数性质的运用，熟练解不等式组是解答本题的关键．
3．如图，已如抛物线开口向上，与轴的一个交点为，对称轴为直线．下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．
【详解】
解：】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故A不符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；
∴即故B不符合题意；
当x=2时，，即，故C符合题意；
∵抛物线对称轴为直线
∴，即，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键．
4．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①点，，是该抛物线上的点，则﹔②；③；④；⑤（t为实数），其中正确的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
【答案】B
【分析】
根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断①，根据抛物线的对称轴可判断②，由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断③，由时可判断④，由时函数取得最大值可判断⑤．
【详解】
解：抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
，故①错误；
抛物线的对称轴为直线，
，故②正确；
与轴的一个交点在和之间，
由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即，故③正确；
由③知，时，且，
即，故④正确；
由函数图象知当时，函数取得最大值，
，
即为实数），故⑤错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
5．在平面直角坐标系中，设二次函数，已知点 P(p，m)和 Q(1， n)在二次函数的图象上，若 m＜n，则 p 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数解析式可知函数的对称轴为：，则点在二次函数对称轴的右侧，再求出点的对称点的横坐标，根据m＜n，结合图像即可确定p 的取值范围．
【详解】

设二次函数与轴的交点分别为，
则为二次函数与坐标轴的交点坐标
∴函数的对称轴为：
设关于对称的点为





在二次函数的图象上， m＜n
．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的性质，求出点的对称点的横坐标，数形结合是解题的关键．
6．已知二次函数，当时，，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，再结合已知条件和二次函数具有对称性，即可求解．
【详解】
∵
∴该函数的对称轴是直线x=3，函数图象开口向上，
当x=3时取得最小值-1，
又∵时，
当x=0时，y=8，当x=6时，y=8，
∴m=6
故答案选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质．
7．已知函数，当时，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【分析】
根据函数图象一次函数和二次函数图象，的直线上方部分的函数值大．
【详解】
如图

当时，在的上方，
∴
故选A
【点睛】
此题考查判断一次函数和二次函数函数值的大小，数形结合解题的关键．
8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0），（　　）
A．若c＞0，则对称轴在y轴右侧 B．若c＞0，则对称轴在y轴左侧
C．若c＜0，则对称轴在y轴右侧 D．若c＜0，则对称轴在y轴左侧
【答案】D
【分析】
将图象与x轴交代入函数关系式得出系数b与c的关系式，用含c的代数式表示出对称轴，再判断选项即可．
【详解】
解：将点（﹣1，0）代入函数关系式得，
0＝﹣1﹣b+c，
即b＝c﹣1，
又∵对称轴x（c﹣1），
当c＞0时，对称轴x（c﹣1），无法判断正负；
当c＜0时，对称轴x（c﹣1），
故对称轴在y轴的左侧，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
9．已知点，，都在二次函数的图像上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．
【详解】
解：对称轴为直线x＝，
∵a＝−1＜0，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，
又1-（-2）=3，1-（-1）=2，5-1=4
∴距离对称轴最近，距离对称轴最远
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．
10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中①；②；③；④：⑤当（为实数）时，，其中正确的有（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①错误；根据二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故②错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故③错误；当x=1时，y=a+b+c>0，故④正确；当x=-n2-2（n为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，于是得到y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确．
【详解】
解：①由图象与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x=-1，所以-=-1，所以b=2a，
∵
∴
∴abc＞0，故①错误；
②∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2-4ac＞0，
∴4ac-b2＜0，故②错误；
③∵-=-1，
∴b=2a，
∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a-2a+c＜0，
∴c-a＜0，故③错误；
④当x=1时，y=a+b+c>0，故④正确；
⑤当x=-n2-2（n为实数）时，y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确，
∴正确的结论有：④⑤，共2个
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
11．已知函数的对称轴为直线．若是方程的两个根，且，则下列说法正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．
【详解】
解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，
∵抛物线的对称轴为直线x=-4，x1＜x2，1＜x2＜2，
∴-10＜x1＜-9，故选项B正确；
x1x2＜0，故选项A错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故选项C错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-4，
∴，
∴b=8a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与x轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
12．王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2﹣6ax﹣2.5，则她所选择的x轴和y轴分别为（　　）

A．m1，m4 B．m2，m3 C．m3，m6 D．m4，m5
【答案】A
【分析】
根据抛物线的对称轴在y轴的位置即可判断得出正确答案．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴：，且与y轴的交点坐标为：
∴对称轴在y轴的右侧
:对称轴在ｙ轴右侧，且与ｙ轴交点在负半轴，符合题意；
:两条直线不能构成平面直角坐标系，故选项错误；
:对称轴在y轴左侧，且与y轴交点在正半轴，故选项错误；
:两条直线不能构成平面直角坐标系，故选项错误．
故选：A.
【点睛】
本题考查二次函数图象的特征分析，根据表达式确定相关的图象性质是解题的切入点．
13．已知二次函数（为常数，）当时，，则该函数图像的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
根据二次函数的解析式可求得该函数的对称轴为直线x=1，即可求解．
【详解】
解：∵==，
∴该二次函数的对称轴为直线x=1，
∵当时，，
∴该函数图象的顶点在第一象限，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
14．已知函数，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图像与轴只有一个交点，则
②方程至少有一个整数根
③若，则的函数值都是负数
④不存在实数，使得对任意实数都成立
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；
对于②：分情况讨论a＝0和a≠0时方程的根即可；
对于③：已知条件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情况讨论a＞1或a＜0时的函数值即可；
对于④：分情况讨论a＝0和a≠0时函数的最大值是否小于等于0即可．
【详解】
解：对于①：当a＝0时，函数变为，与只有一个交点，
当a≠0时，，∴，
故图像与轴只有一个交点时，或，①错误；
对于②：当a＝0时，方程变为，有一个整数根为，
当a≠0时，方程因式分解得到：，其中有一个根为，故此时方程至少有一个整数根，故②正确；
对于③：由已知条件得到a≠0，且a＞1或a＜0
当a＞1时，开口向上，对称轴为，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，
∵ ，
∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0；
当a＜0时，开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
∴时，函数取得最大值为，
∵a＜0，
∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故③错误；
对于④：a＝0时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故a＝0不符合；
a≠0时，对于函数，
当a＞0时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立；
当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为，
∵a＜0，
∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，
此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确；
综上所述，②④正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．
15．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个分析判断即可．
【详解】
解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故①正确；
令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴（-1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x=1，
∴当-1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确；
由图象可知（-1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x=-1或x=3时，函数最小值是0，故③正确；
由图象可知，当x＜-1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，
故当x=1时的函数值4并非最大值，故④错误．
综上，只有④错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）

A．若，是图象上的两点，则
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】
根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，a＜0，
∴点（-1，0）关于直线x=1的对称点为（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（-2，y1）与（4，y1）是对称点，
当x＞1时，函数y随x增大而减小，
故A选项不符合题意；
把点（-1，0），（3，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0①，9a+3b+c=0②，
①×3+②得：12a+4c=0，
∴3a+c=0，
故B选项不符合题意；
当y=-2时，y=ax2+bx+c=-2，
由图象得：纵坐标为-2的点有2个，
∴方程ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根，
故C选项不符合题意；
∵二次函数图象的对称轴为x=1，a＜0，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大；
当x≥1时，y随x的增大而减小；
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
17．二次函数，当时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为（ ）
A．-1或1 B．-1或1或3 C．1或3 D．-1或3
【答案】D
【分析】
按对称轴所在位置情况进行分别作图，由二次函数图像性质可知取到轴距离的最大值的点是图像顶点或两端点，分类讨论即可．
【详解】
解：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为直线．
当时，，记作顶点M）；
当时，；记作点P（1，）；
当时，，记作点Q（0，-3）；
当时，图象上的点到轴距离的最大值为4，
I．若图像位于抛物线对称轴右侧，即对称轴，如图1：

则点Q为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，
此时有 ，解得：，
II．若对称轴在PQ两点之间（包含PQ两点）时，即：对称轴满足，如图2，

①若P为为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则
，此时无解，
②若M为为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，
，解得：，

III．若图像位于抛物线对称轴左侧，即对称轴，如图3：
此时P为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，
，此时没有符合的解，
综上，或3，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数图像的性质找到到轴距离的最大值是解题关键．
18．已知函数，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或
【答案】D
【分析】
先求得其对称轴为x＝a，再分a＜0、0≤a≤1和a＞1根据二次函数的单调性分别求得其最大值，由最大值为2，可求得a的值．
【详解】
∵，
∴其对称轴为x＝a，开口向下，
当a＜0即a＜0时，在0≤x≤1上y随x的增大而减小，
∴当x＝0时有最大值，最大值＝﹣a+＝2，
解得a＝﹣6＜0，符合题意；
当0≤a≤1即0≤a≤2时，y的最大值＝﹣a2+a2﹣a+＝2，
∴a＝3（不合题意，舍去），或a＝﹣2（舍去）；
当a＞1即a＞2时，在0≤x≤1上y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，有最大值＝﹣1+a﹣a+＝2，
∴a＝，
综上可知a的值为﹣6或．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像与性质，分类讨论是解题的关键.
19．二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）

A． B．函数的最大值为
C．当时， D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为，故B正确；
由于开口向上，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），
即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当时，，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即，故D错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．


二、填空题
20．定义[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则，正确的结论是________．（填写序号）
【答案】①②④
【分析】
根据函数特征数确定二次函数解析式为，当m≠0时，把=1代入函数，求得可判断①，当m＞0时，,求出作差可判断②；当m＜0时， ，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，对称轴为可判断③；当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，根据两交点关于对称轴对称构造方程，解得，可判断④．
【详解】
解：由题意得：二次函数解析式为
当m≠0时，=1，
∴点(1，0)一定在函数的图象上；
故①正确；
当m＞0时，,
因式分解得
解得
函数图象截x轴所得的线段长度=1+
故②正确；
当m＜0时，
∴，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
对称轴为
函数在时，可能x在对称轴左侧，y随x的增大而增大；
故③不正确；
④当m＞0， 抛物线顶点的纵坐标为，
由②知抛物线与x轴的两个交点坐标为解得，
∴两交点的距离为
∵抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，
列方程得
解得，
∵m＞0，
则，
经检验符合题意，是原方程的根，
故④正确；
∴正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查抛物线的特征数，利用特征数研究抛物线的性质过定点，交点间弦长，增减性，等腰直角三角形性质等知识，掌握以上知识，灵活应用数形结合的思想是解题关键．
21．小明在研究抛物线（为常数）时，得到如下结论：
①无论取何实数，的值都小于0；
②该抛物线的顶点始终在直线上；
③当时，随的增大而增大，则；
④该抛物线上有两点，，若，，则．其中一定正确的是______（填序号即可）．
【答案】②④
【分析】
根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质判断即可．
【详解】
解：①∵，
∵=-10，
∴当时，函数的最大值为，当h=-1时，y=2＞0，故①不正确；
②∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点始终在直线上，故②正确；
③∵抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
∴抛物线对称轴x=，故③错误；
④∵抛物线上有两点，，若，，
∴，
∴点A到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，故④正确，
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握知识点，灵活运用是解题关键．
22．已知二次函数若，是该二次函数图象上的两点，且，则实数n的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
将，代入二次函数解析式，解不等式即可．
【详解】
解：∵，是二次函数图象上的两点，且，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标，将，代入二次函数解析式是解题的关键．
23．已知抛物线过点，与轴和直线分别相交于点A、B，点为抛物线上A，B两点之间（包含A，B两点）的一个动点，若，则b的取值范围为____________．
【答案】
【分析】
先将点代入抛物线解析式求出的值，再求出点的坐标，然后根据点的位置、建立不等式，解不等式即可得．
【详解】
解：将点代入得：
，
整理得：，
，
，解得，
则抛物线的解析式为，
当时，，即，
当时，，即，
点为抛物线上A，B两点之间（包含A，B两点）的一个动点，且，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求出是解题关键．
24．已知函数的部分图像如图所示，那么当x________时，y随x的增大而增大．

【答案】＜1
【分析】
由开口方向和对称轴可以判断函数的增减性．
【详解】
解：根据图象得：
函数图像开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
故答案为：＜1．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，注意数形结合思想，解题的关键是认真识图．
25．抛物线交轴于点、．下列结论：①；②；③当时，无论取何值都有；④若时，抛物线交轴于点，且是等腰三角形，或；⑤抛物线交轴于正半轴，抛物线上的两点、且，，则；则其中正确的是______．
【答案】①③⑤
【分析】
根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴交于点、，可知二次函数的对称轴为直线，即，可得与的关系，可判断①；根据对称轴公式，将点代入可得、的关系，即可判断②；函数开口向下，时取得最大值，可判断③；由图象知时，当时，两种情况利用勾股定理即可求得的值，可以判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征即可判断⑤．
【详解】
解：①二次函数与轴交于点、．
二次函数的对称轴为，即，
．故①正确；
②二次函数与轴交于点、．
，，
又．
，
．故②错误；
③，
抛物线开口向下．
时，二次函数有最大值．
．
即．故③正确；
④由图象可得，．
当时，则，解得，
当时，则，解得
故是等腰三角形时，或，故④错误；
⑤∵抛物线交轴于点、，交y轴于正半轴，
∴开口向下，
∵，，
∴点E在点F左侧，EF中点横坐标为，
则EF中点在对称轴右侧，
∴点，比，更接近对称轴，
，故⑤正确；
故答案为①③⑤．

【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．
26．二次函数（、均为常数）的图象经过、、三点．若，则的取值范围是_________________
【答案】
【分析】
由二次函数可知，开口向上，对称轴为，再根据，，三点横纵坐标的大小关系进行判断求解．
【详解】
解：由二次函数可知，开口向上，对称轴为
在对称轴左侧函数值随的增加而减小，在对称轴右侧随的增大而增大．
注意到，两点的横坐标之和正好是横坐标的二倍，又∵
∴（若，，不符合题意）
又∵
∴（若，，不符合题意）
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．

三、解答题
27．设二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是实数．
（1）若函数的图象经过点（﹣2，8），求此函数的表达式；
（2）若x＞0时，y随x的增大而增大，求m的最大值．
（3）已知A（﹣1，3），B（2，3），若该二次函数的图象与线段AB只有一个交点（不包括A，B两个端点），求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】
（1）把点（﹣2，8）代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，转化为方程求解即可．
（2）由题意，对称轴x＝−≤0，由此构建不等式解决问题即可．
（3）根据不等式确定m的取值范围即可．
【详解】
解：（1）把点（﹣2，8）代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，
得到，8＝4+4（m+1）+3﹣m，
m＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝x2+4．
（2）∵对称轴x＝﹣＝m+1，
又∵x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m+1≤0，
∴m≤﹣1，
∴m的最大值为﹣1．
（3）∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
∵二次函数的图象与线段AB只有一个交点（不包括A，B两个端点），
∴满足条件：或，
解得m＞0或m＜﹣3．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，待定系数法等知识，解题的关键是学会构建方程或不等式或不等式组解决问题，属于中考常考题型．
28．已知抛物线的对称轴为直线．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【分析】
（1）根据对称轴，代值计算即可
（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果
（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论
【详解】
解：（1）由题意得：

（2）抛物线对称轴为直线，且
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大．
当时，y1随x1的增大而减小，
时，，时，

同理：时，y2随x2的增大而增大
时，．
时，



（3）令







令




AB与CD的比值为
【点睛】
本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点
29．已知抛物线经过点．
（1）求的值．
（2）若，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点，且，求此抛物线的表达式．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）把点代入抛物线解析式即可求解；
（2）对称轴为直线可知点在对称轴左侧，根据题意可得到，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过点，
∴，可得．
（2）由题可知，对称轴为直线
∵，
∴，即点在对称轴左侧；
∵，
∴，
∴，
解得，
由（1）得，
∴，
∴抛物线表达式为．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
30．如图，抛物线y＝mx2﹣3mx﹣2交y轴于点G，C为y轴正半轴上一动点，过点C作AB∥x轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧），当OC＝3时，AB＝7．
（1）求抛物线的对称轴及函数表达式．
（2）若CG＝AB，求点C的坐标．

【答案】（1）对称轴是直线x＝，函数表达式是y＝x2﹣x﹣2；（2）（0，7）．
【分析】
（1）根据题目中的函数解析式，可以得到该抛物线的对称轴，再根据OC＝3，AB＝7，可以得到点B的坐标，再代入抛物线解析式，即可得到m的值，从而可以解答本题；
（2）根据题意设OC＝2n，然后即可用含n的代数式表示出点C的坐标，再代入抛物线解析式，即可得到n的值，从而可以求得点C的坐标．
【详解】
解：（1）设对称轴与AB交于点D，

∵抛物线y＝mx2﹣3mx﹣2，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∵OC＝3时，AB＝7，
∴BD＝，BC＝＝5，
∴点B的坐标为（5，3），
∴3＝m×52﹣3m×5﹣2，
解得m＝，
∴y＝x2﹣x﹣2，
由上可得，该抛物线的对称轴是直线x＝，函数表达式是y＝x2﹣x﹣2；
（2）设OC＝2n，
∵抛物线y＝mx2﹣3mx﹣2交y轴于点G，
∴点G的坐标为（0，﹣2），
∵CG＝AB，
∴AB＝2n+2，
∴BD＝n+1，BC＝n+，
∴点B的坐标为（n+，2n），
∴2n＝（n+）2﹣（n+）﹣2，
解得n1＝，n2＝﹣（舍去），
∴点C的坐标为（0，7）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
31．已知抛物线．
（1）求此抛物线的对称轴；
（2）若此抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式；
（3）若点与点在此抛物线上，且，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）当＜时，＞或＜ 当＞时，＜＜
【分析】
（1）把代入抛物线的对称轴方程：，可得答案；
（2）先求解抛物线的顶点坐标为： 再代入，求解的值即可得到答案；
（3）先求解关于抛物线对称轴对称的点的坐标为： 再分两种情况讨论，当＜时，当＞时， 再分别画出符合题意的图形，结合图像可得答案．
【详解】
解：（1）
抛物线的对称轴为：
（2） 的对称轴为直线
顶点的横坐标为-1，
纵坐标为：，
又顶点在上，



解得：
所以抛物线的解析式为：或
（3）关于抛物线对称轴对称的点的坐标为：
当＜时，抛物线的开口向下，
点与点在此抛物线上，且，如图，

＞或＜
当＞时，抛物线的开口向上，如图，

同理可得：点与点在此抛物线上，且，
此时：＜＜
【点睛】
本题考查的是一次函数的坐标特点，抛物线的对称轴方程，顶点坐标，一元二次方程的解法，二次函数的增减性，掌握利用数形结合解决实际问题是解题的关键．
32．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A（2，0）和B（-8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，请求出点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点P，使得的周长最小，请求出点P的坐标．

【答案】（1），（2），（3）
【分析】
（1）利用待定系数法将A（2，0）、B（-8，0）代入抛物线解析式：，解方程组即可；
（2）求出抛物线与y轴交点C（0，-8），利用待定系数法求BC解析式为：，设F（n, ）,作FG⊥x轴交BC于G，可求G（），求出FG=，三角形面积S△BCF=，由，抛物线开口向下，抛物线有最大值 S△BCF最大=，可求F（-4，-12）即可；
（3）先求抛物线对称轴为，找到点F关于的对称点F′（-2，-12），当F′，P，B共线时PB+PF′最短，由BF为定值，C△BPF=PB+PF+BF=PB+PF′+BF，利用待定系数法求BF′解析式为，当x=-3时，即可
【详解】
解：（1）将A（2，0）、B（-8，0）代入解析式：，
解得，
∴；
（2）令x=0，y=-8,
∴C（0，-8），
设BC解析式为：，
则，
解得
BC解析式为：，
设F（n, ）,作FG⊥x轴交BC于G，
则G（），
∴FG=
∵S△BCF=
∵，抛物线开口向下，抛物线有最大值
∴ S△BCF最大=
∴
∴F（-4，-12）
（3）抛物线对称轴为
∵F（-4，-12），
∴点F关于的对称点F′（-2，-12），
当F′，P，B共线时PB+PF′最短，
∵BF为定值，C△BPF=PB+PF+BF=PB+PF′+BF，
∴PB+PF′最短，C△BPF最小，
设BF′解析式为，
则
解得
BF′解析式为，
当x=-3时，
P ．

【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，两点距离公式，二次函数性质，三角形面积最值问题，三角形周长最短问题，轴对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，两点距离公式，二次函数性质，三角形面积最值问题，三角形周长最短问题，轴对称性质是解题关键．