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北师大版九年级下册9 弧长及扇形的面积精练
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这是一份北师大版九年级下册9 弧长及扇形的面积精练，共29页。试卷主要包含了如图，在中，， ，等内容，欢迎下载使用。
专训3.9.1 弧长和扇形面积计算
1．已知某扇形的半径为6，圆心角的度数为，则扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据弧长计算公式计算即可；
【详解】
∵扇形的半径为6，圆心角的度数为，
∴．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长计算，准确计算是解题的关键．
2．在半径为2的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C．2π D．3π
【答案】B
【分析】
根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：在半径为2的圆中，120°的圆心角所对的弧长是：
，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了扇形的弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键．
3．如图，四边形是半径为2的的内接四边形，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，则，，利用圆内接四边形的性质得，进而可求得，最后再结合弧长公式进行解答即可．
【详解】
解：∵，
∴设，则，
∴，
四边形ABCD内接于，
，
，
解得：，
∴，
又的半径为2，
的长为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧长的计算，熟练掌握圆周角定理以及圆的内接四边形的性质是解决本题的关键．
4．如图，的半径为3，为弦，若，则的长为（ ）
A． B．1 C．1.5 D．
【答案】A
【分析】
连接和，根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】
解：连接、，
∵，
∴，
∵的半径为3，
∴的长为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长的计算，注意：①如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么这个圆心角所对的弧长为，②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
5．如图，将边长为3的正六边形铁丝框（面积记为）变形为以点D为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由正六边形的性质出的长，根据扇形面积公式=×弧长×半径，可得结果
【详解】
解：由题意：
∴
∴
∴
故选：A
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．
6．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（ ）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
【答案】B
【分析】
设这条弧的半径为rcm，根据弧长公式和已知条件列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设这条弧的半径为rcm，
由题意得，
解得r=40，
∴这条弧的半径为40cm．
故选：B
【点睛】
本题考查了弧长公式，熟知弧长公式并根据题意列出方程是解题关键．
7．如图①，点A、B是上两定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数图像可知当时，取得最大值，即圆的直径为，求得运动速度，当时，，则，根据路程除以速度等于时间求值即可．
【详解】
根据函数图像可知当时，取得最大值，即圆的直径为，则半径为3，
圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动，
则的运动速度是，
当时，，即，
，
是等边三角形，
则，
的路程为，
．
故选C．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质与判定，函数图像的应用，从函数图像获得信息是解题的关键．
8．台州轻轨在紧张施工中，现在已开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件，如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个小组对相关数据进行测量，方案如表，利用数据能够估算隧道外径大小的小组是（ ）
小组
测量内容
甲
的长
乙
的长
A．甲小组 B．乙小组 C．两组都可以 D．两组测量数据都不足
【答案】C
【分析】
对于甲小组，连接OJ交弦MH于点I，利用垂径定理和勾股定理求解即可；对于乙小组，利用弧长公式列出方程组，求解即可．
【详解】
对于甲小组，已知HG、GN，
根据题意：四边形HGNM、HGJI是矩形，J为弧BC与GN的切点，
连接OJ交弦MH于点I，
则OI⊥MH，HI＝HM＝GN，IJ=HG，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OHI中，OH=R，OI=OJ-IJ=R- HG，
由勾股定理得：，
根据已知条件，通过计算即可求得R的值；
对于乙小组，已知、，AB，
设⊙O的半径为R，∠AOD=，
∴，
①②得：，
根据已知条件，通过计算即可求得R的值；
则甲、乙两个小组都能利用数据估算出隧道外径大小，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理以及弧长公式的应用，解答本题的关键是明确题意，作出适当的辅助线，找出所求问题需要的条件．
9．某扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．
【详解】
解：设扇形的半径为R，则由弧长公式得：
20π=，
解得：R=24，
则扇形的面积是×20π×24=240π，
故选C．
【点睛】
本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，注意：扇形的面积=×弧长×半径．
10．如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先在中利用的余弦计算出，再根据旋转的性质得 ，然后根据弧长公式计算点转过的路径长．
【详解】
解：在中，，，
，
，
绕直角顶点逆时针旋转得△，
，
弧的长．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，弧长公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
11．如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出一个周期圆心走的路程，即可求出圆心经过的路径长为时圆心的位置，故可求解．
【详解】
如图，圆心在，可得r=2
∴OA=，AB=2r=4，BC=，==
∴一个周期圆心经过的路径长为OA++BC=4，
∴C（4+2，0），
故当圆心经过的路径长为时，
÷4=505…1
∴圆心的横坐标是505×（4+2）+=
故选D．
【点睛】
此题主要考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径长．
12．圆P的半径为10，A、B是圆上任意两点，且，以为边向外作正三角形（点C、P在直线的两侧），若边绕点P旋转一周，则点C经过的路线长为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接PC，与AB交于点Q，首先判断出点C的运动路径，根据垂径定理求出PQ，根据等边三角形的性质求出CQ，得到PC，利用圆的周长公式计算．
【详解】
解：如图，连接PC，与AB交于点Q，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，又圆P半径相等，
∴PC垂直平分AB，
则若AB绕圆P一周，点C也绕圆P一周，经过的路线为以P为圆心，PC长为半径的圆，
∵PA=10，AB=12，
∴AQ=6，
∴PQ==8，
在等边三角形ABC中，CQ==，
∴PC=PQ+CQ=8+，
∴点C的经过的路线长为，
故选C．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合AB边的旋转，找出C点旋转过程中的运动路径是关键．
13．如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为，点运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
取中点，连接、，根据直角三角形的性质可得，则可确定点Q的运动轨迹，再利用弧长的计算公式计算即可．
【详解】
解：取中点，连接、，
∵和中，，
∴在以为圆心，为直径的圆上，运动路径为，，
∴，
∴点运动路径长为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了弧长的计算问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，并确定点运动的路径．
14．如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）
A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为
B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为
C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
【答案】C
【分析】
圆心运动的路径等于圆上的点滚动的距离，利用弧长公式即可得到答案．
【详解】
圆心运动的路径即为圆滚动的距离．
当点P离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O运动的路径的长为，故A正确，不符合题意．
当点P再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O运动的路径的长为，故B正确，不符合题意．
当点P第一次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故C错误，符合题意．
当点P第二次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的弧长计算，解题的关键是：理解圆心运动的路径等于圆上的点滚动的距离且会使用弧长公式．
15．如图，在4×4的正方形网格中，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据图示知,所以根据弧长公式求得的长．
【详解】
解：根据图所示知，,
弧的长，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．
16．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】A
【分析】
根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可．
【详解】
依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，
,，
扇形AEF的面积．
故选A．
【点睛】
本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键．
17．已知一个扇形的半径长是，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据扇形的面积公式直接求解即可．
【详解】
解：由扇形的面积公式可得，这个扇形的面积为
故选B
【点睛】
此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
18．一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．
【详解】
解：如图1，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
由勾股定理得：，
扇形的面积是；
如图2，连接、，
四边形是的内接四边形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
的面积是，
扇形和圆形纸板的面积比是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
19．如图，以BC为直径的⊙O与ABC的另两边分别相交于D、E，若∠A=60°，BC=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3π
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，结合等腰三角形求出∠BOD+∠COE=120°，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
∵△ABC中,∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，
∵△OBD、△OCE是等腰三角形，
∴∠DBO=∠BDO，∠ECO=∠CEO，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°−(∠BDO+∠CEO)−(∠ABC+∠ACB)=360°−120°−120°=120°，
∵BC=6，
∴OB=OC=3，
∴S阴影=
故选D．
【点睛】
考查三角形的内角和以及扇形的面积公式，等腰三角形性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
20．如图，点O是半径为6的正六边形ABCDEF的中心，则扇形AOE的面积是（ ）
A．2π B．4π
C．12π D．24π
【答案】C
【分析】
先求出中心角，即可求得的度数，结合扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：连接，
∵O是半径为6的正六边形ABCDEF的中心，
∴，
∴，
∴扇形AOE的面积为：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的公式，熟知扇形的面积计算公式是解题的关键．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为（ ）
A．π B．2π C． D．3π
【答案】A
【分析】
连接BH，交BA1于E，解直角三角形求出AB和AC，求出CH和BO，根据勾股定理求出BH，分别求出扇形MBE和扇形OBO1的面积，再求出答案即可．
【详解】
解：连接BH，交BA1于E，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
由勾股定理得：
∵O、H分别为边AB、AC的中点，
∴BO＝AB＝2，CH＝AC＝，
由勾股定理得：
即BM＝BE＝BH＝，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴∠ABA1＝120°，
∴整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为
故选A．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，扇形面积公式，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，将阴影部分面积转化为两个扇形的差是解题的难点所在.
22．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，AB=AC=2，再根据旋转的性质得∠BAB′=∠CAC′=45°，则点B′、C、A共线，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′-S扇形CAC′进行计算即可．
【详解】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，AB=AC=2，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积
=S扇形BAB′+S△AB′C′-S扇形CAC′-S△ABC
=S扇形BAB′-S扇形CAC′
=π．
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
23．如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，从而结合旋转的性质以及扇形的面积公式求解即可．
【详解】
如图，设的圆心为O，连接OP交AB于M，连接OA，AP，AB′，AP′，
∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，
根据垂径定理，得：
AM＝AB＝4，PO⊥AB，
OM＝＝3，
∴PM＝OP﹣OM＝5﹣3＝2，
∴AP＝＝2，
∵将绕点A逆时针旋转90°后得到，
根据旋转的性质可知，，即：，
∴线段PB扫过的面积=S扇形ABB＇－S扇形APP＇，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，扇形的面积计算，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕A点按逆时针方向旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．1+ D．1
【答案】B
【分析】
阴影部分的面积等于扇形DAB的面积，首先利用勾股定理即可求得AB的长，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
【详解】
解：在直角△ABC中，．
根据题意：Rt△ADERt△ABC，
则，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积等于扇形DAB的面积是关键．
25．如图，按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，边在x轴上，，，把绕点A按顺时针方向转到，使得点的坐标是，则在这次旋转过程中线段扫过部分（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过作于M，则，证得，从而得到旋转角为，再根据求解即可．
【详解】
过作于M，则，
∵点的坐标是，
∴，，
∵，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
∴，
∴，即旋转角为，
∴．
∵把绕点A按顺时针方向旋转到，
∴，
∴阴影部分的面积：
．
故选：B．
．
【点睛】
本题考查与扇形相关的阴影部分面积问题，理解旋转的性质，找准旋转角，并对所求图形面积进行转换是解题关键．
26．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．
【详解】
解：连接OD，如图：
在中，，，，
由勾股定理，则
，
设半径为r，则，
∴，
∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
∴阴影部分的面积为：；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
27．如图，在中，，，以的中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰在上，设，当由小到大变化时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．随的变化而变化
【答案】C
【分析】
连接CD，证明△BDH≌△CDG，利用扇形面积公式、正方形面积公式计算即可．
【详解】
如图，连接，作于点，于点，
∵，，∴，
，，∴，
∴四边形是正方形，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴四边形的面积正方形的面积，
∵正方形的面积，
∴四边形的面积，
∵扇形的面积，
∴阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积，恒为定值．
故选：C.
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算、全等三角形的判定和性质、掌握扇形面积公式是解题的关键．
28．如图，所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作弧BC，弧AC，弧AB，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为3π，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意和图形，可以计算出BC的长，然后根据扇形面积公式和三角形的面积，可以求得曲边三角形的面积．
【详解】
解：由题意可得，三段弧是等弧，
，∠BCA＝60°，
∴π＝，
解得CB＝3，
∵△ABC是等边三角形；
∴；
∴一个曲边三角形的面积是：[]×3+ ＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
29．如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：延长DC，CB交⊙O于M，N，连接OF，过点O作OH⊥AB于H．
在Rt△OFH中，FH=，
∵AH=BH=，
∴AF=，
∴S△DAF=•AD•AF=，
则图中阴影部分的面积=×（S圆OS正方形ABCD）S△ADF
=•[π•（）2]（2）
=2π；
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
30．如图，点是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心，则阴影部分的面积是面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作于点，连接，，，根据题意可得，含30度角的直角三角形的性质，即可求得，进而求得，根据圆的旋转对称性，即可求得阴影扇形．
【详解】
解：如图，作于点，连接，，，
∵折叠，
，
∴，
同理
∴，
∴，
扇形
∴由圆的对称性及旋转可得阴影扇形．
故选B
【点睛】
本题考查了折叠的性质，圆的旋转对称性，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握圆的旋转对称性是解题的关键．
专训3.9.1 弧长和扇形面积计算
1．已知某扇形的半径为6，圆心角的度数为，则扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据弧长计算公式计算即可；
【详解】
∵扇形的半径为6，圆心角的度数为，
∴．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长计算，准确计算是解题的关键．
2．在半径为2的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C．2π D．3π
【答案】B
【分析】
根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：在半径为2的圆中，120°的圆心角所对的弧长是：
，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了扇形的弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键．
3．如图，四边形是半径为2的的内接四边形，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，则，，利用圆内接四边形的性质得，进而可求得，最后再结合弧长公式进行解答即可．
【详解】
解：∵，
∴设，则，
∴，
四边形ABCD内接于，
，
，
解得：，
∴，
又的半径为2，
的长为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧长的计算，熟练掌握圆周角定理以及圆的内接四边形的性质是解决本题的关键．
4．如图，的半径为3，为弦，若，则的长为（ ）
A． B．1 C．1.5 D．
【答案】A
【分析】
连接和，根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】
解：连接、，
∵，
∴，
∵的半径为3，
∴的长为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长的计算，注意：①如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么这个圆心角所对的弧长为，②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
5．如图，将边长为3的正六边形铁丝框（面积记为）变形为以点D为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由正六边形的性质出的长，根据扇形面积公式=×弧长×半径，可得结果
【详解】
解：由题意：
∴
∴
∴
故选：A
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．
6．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（ ）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
【答案】B
【分析】
设这条弧的半径为rcm，根据弧长公式和已知条件列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设这条弧的半径为rcm，
由题意得，
解得r=40，
∴这条弧的半径为40cm．
故选：B
【点睛】
本题考查了弧长公式，熟知弧长公式并根据题意列出方程是解题关键．
7．如图①，点A、B是上两定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数图像可知当时，取得最大值，即圆的直径为，求得运动速度，当时，，则，根据路程除以速度等于时间求值即可．
【详解】
根据函数图像可知当时，取得最大值，即圆的直径为，则半径为3，
圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动，
则的运动速度是，
当时，，即，
，
是等边三角形，
则，
的路程为，
．
故选C．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质与判定，函数图像的应用，从函数图像获得信息是解题的关键．
8．台州轻轨在紧张施工中，现在已开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件，如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个小组对相关数据进行测量，方案如表，利用数据能够估算隧道外径大小的小组是（ ）
小组
测量内容
甲
的长
乙
的长
A．甲小组 B．乙小组 C．两组都可以 D．两组测量数据都不足
【答案】C
【分析】
对于甲小组，连接OJ交弦MH于点I，利用垂径定理和勾股定理求解即可；对于乙小组，利用弧长公式列出方程组，求解即可．
【详解】
对于甲小组，已知HG、GN，
根据题意：四边形HGNM、HGJI是矩形，J为弧BC与GN的切点，
连接OJ交弦MH于点I，
则OI⊥MH，HI＝HM＝GN，IJ=HG，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OHI中，OH=R，OI=OJ-IJ=R- HG，
由勾股定理得：，
根据已知条件，通过计算即可求得R的值；
对于乙小组，已知、，AB，
设⊙O的半径为R，∠AOD=，
∴，
①②得：，
根据已知条件，通过计算即可求得R的值；
则甲、乙两个小组都能利用数据估算出隧道外径大小，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理以及弧长公式的应用，解答本题的关键是明确题意，作出适当的辅助线，找出所求问题需要的条件．
9．某扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．
【详解】
解：设扇形的半径为R，则由弧长公式得：
20π=，
解得：R=24，
则扇形的面积是×20π×24=240π，
故选C．
【点睛】
本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，注意：扇形的面积=×弧长×半径．
10．如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先在中利用的余弦计算出，再根据旋转的性质得 ，然后根据弧长公式计算点转过的路径长．
【详解】
解：在中，，，
，
，
绕直角顶点逆时针旋转得△，
，
弧的长．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，弧长公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
11．如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出一个周期圆心走的路程，即可求出圆心经过的路径长为时圆心的位置，故可求解．
【详解】
如图，圆心在，可得r=2
∴OA=，AB=2r=4，BC=，==
∴一个周期圆心经过的路径长为OA++BC=4，
∴C（4+2，0），
故当圆心经过的路径长为时，
÷4=505…1
∴圆心的横坐标是505×（4+2）+=
故选D．
【点睛】
此题主要考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径长．
12．圆P的半径为10，A、B是圆上任意两点，且，以为边向外作正三角形（点C、P在直线的两侧），若边绕点P旋转一周，则点C经过的路线长为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接PC，与AB交于点Q，首先判断出点C的运动路径，根据垂径定理求出PQ，根据等边三角形的性质求出CQ，得到PC，利用圆的周长公式计算．
【详解】
解：如图，连接PC，与AB交于点Q，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，又圆P半径相等，
∴PC垂直平分AB，
则若AB绕圆P一周，点C也绕圆P一周，经过的路线为以P为圆心，PC长为半径的圆，
∵PA=10，AB=12，
∴AQ=6，
∴PQ==8，
在等边三角形ABC中，CQ==，
∴PC=PQ+CQ=8+，
∴点C的经过的路线长为，
故选C．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合AB边的旋转，找出C点旋转过程中的运动路径是关键．
13．如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为，点运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
取中点，连接、，根据直角三角形的性质可得，则可确定点Q的运动轨迹，再利用弧长的计算公式计算即可．
【详解】
解：取中点，连接、，
∵和中，，
∴在以为圆心，为直径的圆上，运动路径为，，
∴，
∴点运动路径长为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了弧长的计算问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，并确定点运动的路径．
14．如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）
A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为
B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为
C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
【答案】C
【分析】
圆心运动的路径等于圆上的点滚动的距离，利用弧长公式即可得到答案．
【详解】
圆心运动的路径即为圆滚动的距离．
当点P离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O运动的路径的长为，故A正确，不符合题意．
当点P再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O运动的路径的长为，故B正确，不符合题意．
当点P第一次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故C错误，符合题意．
当点P第二次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的弧长计算，解题的关键是：理解圆心运动的路径等于圆上的点滚动的距离且会使用弧长公式．
15．如图，在4×4的正方形网格中，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据图示知,所以根据弧长公式求得的长．
【详解】
解：根据图所示知，,
弧的长，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．
16．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】A
【分析】
根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可．
【详解】
依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，
,，
扇形AEF的面积．
故选A．
【点睛】
本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键．
17．已知一个扇形的半径长是，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据扇形的面积公式直接求解即可．
【详解】
解：由扇形的面积公式可得，这个扇形的面积为
故选B
【点睛】
此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
18．一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．
【详解】
解：如图1，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
由勾股定理得：，
扇形的面积是；
如图2，连接、，
四边形是的内接四边形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
的面积是，
扇形和圆形纸板的面积比是．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
19．如图，以BC为直径的⊙O与ABC的另两边分别相交于D、E，若∠A=60°，BC=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3π
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，结合等腰三角形求出∠BOD+∠COE=120°，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
∵△ABC中,∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，
∵△OBD、△OCE是等腰三角形，
∴∠DBO=∠BDO，∠ECO=∠CEO，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°−(∠BDO+∠CEO)−(∠ABC+∠ACB)=360°−120°−120°=120°，
∵BC=6，
∴OB=OC=3，
∴S阴影=
故选D．
【点睛】
考查三角形的内角和以及扇形的面积公式，等腰三角形性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
20．如图，点O是半径为6的正六边形ABCDEF的中心，则扇形AOE的面积是（ ）
A．2π B．4π
C．12π D．24π
【答案】C
【分析】
先求出中心角，即可求得的度数，结合扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：连接，
∵O是半径为6的正六边形ABCDEF的中心，
∴，
∴，
∴扇形AOE的面积为：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的公式，熟知扇形的面积计算公式是解题的关键．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为（ ）
A．π B．2π C． D．3π
【答案】A
【分析】
连接BH，交BA1于E，解直角三角形求出AB和AC，求出CH和BO，根据勾股定理求出BH，分别求出扇形MBE和扇形OBO1的面积，再求出答案即可．
【详解】
解：连接BH，交BA1于E，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
由勾股定理得：
∵O、H分别为边AB、AC的中点，
∴BO＝AB＝2，CH＝AC＝，
由勾股定理得：
即BM＝BE＝BH＝，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴∠ABA1＝120°，
∴整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为
故选A．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，扇形面积公式，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，将阴影部分面积转化为两个扇形的差是解题的难点所在.
22．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，AB=AC=2，再根据旋转的性质得∠BAB′=∠CAC′=45°，则点B′、C、A共线，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′-S扇形CAC′进行计算即可．
【详解】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，AB=AC=2，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积
=S扇形BAB′+S△AB′C′-S扇形CAC′-S△ABC
=S扇形BAB′-S扇形CAC′
=π．
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
23．如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，从而结合旋转的性质以及扇形的面积公式求解即可．
【详解】
如图，设的圆心为O，连接OP交AB于M，连接OA，AP，AB′，AP′，
∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，
根据垂径定理，得：
AM＝AB＝4，PO⊥AB，
OM＝＝3，
∴PM＝OP﹣OM＝5﹣3＝2，
∴AP＝＝2，
∵将绕点A逆时针旋转90°后得到，
根据旋转的性质可知，，即：，
∴线段PB扫过的面积=S扇形ABB＇－S扇形APP＇，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，扇形的面积计算，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕A点按逆时针方向旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．1+ D．1
【答案】B
【分析】
阴影部分的面积等于扇形DAB的面积，首先利用勾股定理即可求得AB的长，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
【详解】
解：在直角△ABC中，．
根据题意：Rt△ADERt△ABC，
则，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积等于扇形DAB的面积是关键．
25．如图，按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，边在x轴上，，，把绕点A按顺时针方向转到，使得点的坐标是，则在这次旋转过程中线段扫过部分（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过作于M，则，证得，从而得到旋转角为，再根据求解即可．
【详解】
过作于M，则，
∵点的坐标是，
∴，，
∵，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
∴，
∴，即旋转角为，
∴．
∵把绕点A按顺时针方向旋转到，
∴，
∴阴影部分的面积：
．
故选：B．
．
【点睛】
本题考查与扇形相关的阴影部分面积问题，理解旋转的性质，找准旋转角，并对所求图形面积进行转换是解题关键．
26．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．
【详解】
解：连接OD，如图：
在中，，，，
由勾股定理，则
，
设半径为r，则，
∴，
∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
∴阴影部分的面积为：；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
27．如图，在中，，，以的中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰在上，设，当由小到大变化时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．随的变化而变化
【答案】C
【分析】
连接CD，证明△BDH≌△CDG，利用扇形面积公式、正方形面积公式计算即可．
【详解】
如图，连接，作于点，于点，
∵，，∴，
，，∴，
∴四边形是正方形，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴四边形的面积正方形的面积，
∵正方形的面积，
∴四边形的面积，
∵扇形的面积，
∴阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积，恒为定值．
故选：C.
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算、全等三角形的判定和性质、掌握扇形面积公式是解题的关键．
28．如图，所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作弧BC，弧AC，弧AB，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为3π，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意和图形，可以计算出BC的长，然后根据扇形面积公式和三角形的面积，可以求得曲边三角形的面积．
【详解】
解：由题意可得，三段弧是等弧，
，∠BCA＝60°，
∴π＝，
解得CB＝3，
∵△ABC是等边三角形；
∴；
∴一个曲边三角形的面积是：[]×3+ ＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
29．如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：延长DC，CB交⊙O于M，N，连接OF，过点O作OH⊥AB于H．
在Rt△OFH中，FH=，
∵AH=BH=，
∴AF=，
∴S△DAF=•AD•AF=，
则图中阴影部分的面积=×（S圆OS正方形ABCD）S△ADF
=•[π•（）2]（2）
=2π；
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
30．如图，点是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心，则阴影部分的面积是面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作于点，连接，，，根据题意可得，含30度角的直角三角形的性质，即可求得，进而求得，根据圆的旋转对称性，即可求得阴影扇形．
【详解】
解：如图，作于点，连接，，，
∵折叠，
，
∴，
同理
∴，
∴，
扇形
∴由圆的对称性及旋转可得阴影扇形．
故选B
【点睛】
本题考查了折叠的性质，圆的旋转对称性，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握圆的旋转对称性是解题的关键．
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