初中数学苏科版七年级下册第12章 证明12.2 证明当堂检测题

12.2  证明（1）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有12个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水瓶（  ）

A．2瓶    B．3瓶    C．4瓶    D．5瓶

【答案】C

【解析】

试题分析：4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，12个矿泉水空瓶可换3瓶矿泉水，喝完后借1个空矿泉水瓶又得4个空矿泉水瓶，又可换一瓶，喝完后得一空瓶归还．所以最多可以喝矿泉水4瓶．

解：12个空瓶可换12÷4=3瓶矿泉水；3瓶矿泉水喝完后借1个空矿泉水瓶又可得到4个空瓶子，可换4÷4=1瓶矿泉水，喝完后得一空瓶归还；

因此最多可以喝矿泉水3+1=4瓶．

故选C．

点评：考查了推理与论证，本题需注意喝完3瓶矿泉水后，借1个空矿泉水瓶又可得到4个空瓶即1瓶矿泉水．

2．如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（  ）

A．1个    B．2个    C．50个    D．100个

【答案】D

【解析】

试题分析：因为求得最多是多少人，且如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，我们可把这一百个小伙子用A1～A100来表示，然后根据体重和身高两个条件找出答案．

解：先退到两个小伙子的情形，如果
甲的身高数＞乙的身高数，且

乙的体重数＞甲的体重数

可知棒小伙子最多有2人．

再考虑三个小伙子的情形，如果

甲的身高数＞乙的身高数＞丙的身高数，且

丙的体重数＞乙的体重数＞甲的体重数

可知棒小伙子最多有3人．

这时就会体会出小伙子中的豆芽菜与胖墩现象．

由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为Ai，（i=1，2，…，100），其身高数为xi，体重数为yi，当

y100＞y99＞…＞yi＞yi﹣1＞…＞y1且

x1＞x2＞…＞xi＞xi+1＞…＞x100时，

由身高看，Ai不亚于Ai+1，Ai+2，…，A100；

由体重看，Ai不亚于Ai﹣1，Ai﹣2，…，A1

所以，Ai不亚于其他99人（i=1，2，…，100）

所以，Ai为棒小伙子（i=1，2，…，100）

因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有 100个．

故选D．

点评：本题考查推理和论证，关键注意本题有身高和体重两种情况，少有一项大，就称作不亚于，从而可求出解．

3．甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．”如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是（  ）

A．甲    B．乙    C．丙    D．丁

【答案】C

【解析】

试题分析：运用反证法的方法先分别假设甲说的是实话、乙说的是实话、丁说的是实话，然后推理都得出与题设相矛盾的结论，则只有丙只有一个人说了实话．

解：假设甲说的是实话，“是乙不小心闯的祸．”，则丁说的也应该是实说，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾；

假设乙说的是实话，则丁说的也应该是实说，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾；

假设丁说的是实话，乙说的是假话，则丙说：“乙说的不是实话．”应该是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾；

所以四个小朋友中只有一个人说了实话，这个小朋友是丙．

故选C．

点评：本题考查了运用反证法的方法进行推理与论证．

4．甲、乙、丙、丁与小亮五位同学一起比赛围棋，到现在为止，甲已经赛了四盘，乙赛了三盘，丙赛了两盘，丁赛了一盘，则小亮赛了的盘数是（  ）

A．1    B．2    C．4    D．0

【答案】B

【解析】

试题分析：甲已赛了四盘，所以甲已与乙、丙、丁、小亮各赛了一盘；又因为丁赛了一盘，故丁在这场比赛中，已不可能和其他选手比赛；而乙赛了三盘，因此乙与甲、丙，小亮各赛了一盘；丙赛了两盘，即丙与甲，乙赛过，故小亮赛了两盘，如图所示．

解：小亮赛了的盘数是2盘

故应选B．

点评：此题主要考查学生的逻辑推理能力．

5．一排有10个座位，其中某些座位已有人，若再来1人，他无论坐在何处，都与1人相邻，则原来最少就座的人有（  ）

A．3个    B．4个    C．5个    D．6个

【答案】B

【解析】

试题分析：先根据所给的条件再来1人，他无论坐在何处，都与1人相邻，分别进行判断，即可求出答案．

解：∵一排有10个座位，若再来1人，他无论坐在何处，都与1人相邻，

∴第一个座位可以没人坐，第二个必须有人坐，第三个、第四个可以无人坐，

第五个座位必须有人坐，第六个、第七个可以无人坐，

第八个座位必须有人坐，第九个可以无人坐，

第十个座位必须有人坐，

∴原来最少就座的人有4人，

或：第一、四、七、十个座位必须有人坐，

剩下的可以无人坐，共有4人．

故选B．

点评：此题考查了推理与论证；解题的关键是读懂题意，能够根据叙述进行分析求出答案．

6．在A，B，C三个盒子中分别装有红、黄、蓝颜色的小球中的一种，将它们分别给甲、乙、丙三个人．已知甲没有得到A盒；乙没有得到B盒，也没有得到黄球；A盒中没有装红球，B盒中装着蓝球．则丙得到的盒子编号和小球的颜色分别是（  ）

A．A，黄    B．B，蓝    C．C，红    D．C，黄

【答案】A

【解析】

试题分析：乙没有得到B盒，也没有得到黄球；A盒中没有装红球，B盒中装着蓝球．那么A盒中是黄球，C盒中是红球．乙没有得到B盒，也没有得到黄球可得到乙得到是C盒红球；甲没有得到A盒，那么他得到的B盒蓝球，因此丙得到的盒子编号和小球的颜色分别是A，黄．

解：已知A盒中没有装红球，而B盒中装着蓝球，则A盒装的是黄球，C盒装的是红球；

由于乙没有得到B盒，也没有得到黄球，因此乙得到的是C盒；

由于甲没有得到A盒，因此丙得到的是A盒，装的是黄球．故选A．

点评：本题需先判断出盒里所装的球的颜色，然后再“按球找人”．

二、填空题

7．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：

小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；

小王说：“丁团队获得一等奖”；

小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；

小赵说：“甲团队获得一等奖”．

若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_____．

【答案】丁

【分析】

先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可．

【详解】

解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，

②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，

③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，

④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，

即获得一等奖的团队是：丁；

故答案为：丁．

【点睛】

本题考查了推理与论证，正确进行简单的合情推理是解题关键．

8．在△ABC中，AB≠AC，若用反证法证明∠B≠∠C，应先假设 _____

【答案】∠B=∠C

【解析】

【分析】

根据反证法的一般步骤解答即可．

【详解】

用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C”，第一步应是假设∠B=∠C，

故答案为∠B=∠C.

【点睛】

本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

9．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：

已知：_______________________________

求证：_______________ ．

【答案】已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线    求证：AD平分∠BAC.   

【分析】

结合几何图形写出已知条件和结论．

【详解】

已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；

求证：AD平分∠BAC．

故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．

【点睛】

本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．

三、解答题

10．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．

【答案】答案见解析

【分析】

先从①②③中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，然后根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明即可．

【详解】

已知：，

求证：

证明：如图：

又

又

．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质以及命题与定理的证明问题，证明的一般步骤包括写出已知、求证、画出图形和证明．

11．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半

（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“己知”和“求证”．

已知：在锐角中，，______

求证：______

（2）证明上述命题

【答案】（1 ）BD⊥AC于点D，∠DBC＝∠A；（2）见解析

【分析】

（1）先根据命题内容确定命题的题设和结论，画出符合条件的图形，并写出已知，根据结论写出求证内容；

（2）根据等腰三角形的性质，可得出底角与顶角的数量关系，再由内角和定理证明出结论．

【详解】

（1）解：已知：如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．

求证：∠DBC＝∠A．

故答案为：BD⊥AC于点D，∠DBC＝∠A．

（2）证明：∵AB＝AC，

∴ ∠ABC＝∠C．

∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，

∴2∠C＝180°－∠A．

即∠C＝（180°－∠A）．

∵BD⊥AC，

∴∠DBC＋∠C＝90°．

∴∠DBC＝90°－∠C＝90°－（180°－∠A）＝∠A．

即等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．

【点睛】

本题考查了命题与证明，掌握命题的证明方法和基本步骤，并结合题设和结论画出符合条件的图形是解题的关键．

12．如图，现有以下3个论断：；；．

（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？

（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】

（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；

（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．

【详解】

解：（1）由，，得到；

由，，得到；

由，，得到；

故能组成3个命题．

（2）由，，得到，是真命题．理由如下：

，．

，∴，

，．

由，，得到，是真命题．理由如下：

，．

，，

．

由，，得到，是真命题．理由如下：

∵，，．

，，

．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．

13．（1）求证：三角形三个内角的和等于180°． 

（2）阅读材料并回答问题： 

如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的“外角”，在每个顶点处取这个三角形的一个外角，它们的和叫做这个三角形的“外角和”．补全图形并求△ABC的“外角和”．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【分析】

（1）过A点作MN∥BC，根据平行线的性质及平角的定义解答.

（2）结合三角形的内角和与平角的定义求解即可.

【详解】

（1）过A点作MN∥BC，

∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C (同位角相等)

∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°

∴∠B+∠BAC+∠C=180°

∴三角形的内角和为180°

（2）如图：

∵∠ACD+∠ACB=180°，∠EAF+∠BAC=180°，∠FBC+∠ABC=180°

∴∠ACD+∠ACB+∠EAF+∠BAC+∠FBC+∠ABC=540°

∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°

∴∠ACD+∠EAF+∠FBC=360°

即三角形的外角和等于360°

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和及外角和的证明，熟练的掌握平行线的性质及平角的定义是关键.

14．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？

【答案】正确

【解析】

【分析】

两位数的十位数字与个位数字分别为a，b，表示出原两位数与新两位数，即可作出判断．

【详解】

解：正确，上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下证明：

∵原两位数的十位数字为a，个位数字为b（），

∴原两位数为，新两位数为.

∵，是11的整数倍，

∴这两个两位数的和能被11整除.

∵，一定不是11的整数倍，

∴这两个两位数的差不能被11整除，

∴上述说法正确.

【点睛】

此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．