初中数学第12章 证明12.2 证明精品ppt课件

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了解证明、定理与定理的推论的含义，认识九个基本事实
掌握证明的一般步骤与书写规范
左右两边处于中心位置的圆大小是否相等？
观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，通过观察、操作、实验，常常可以探索发现一些结论，但是这些结论不一定正确，数学中，探索发现的结论需要加以证实．
Q1：如图，两条线段AB与CD哪一条长一些？
通过度量线段AB、CD的长度，可以证实：线段CD比线段AB长，故以上结论不正确．
看上去线段AB比线段CD长
Q2：把图(1)长方形草坪中间1m宽的直道，改成图(2)中处处1m宽的“曲径”，这两条小道的面积相等吗？
看上去不相等，但其实相等
【分析】如果将图(2)中小道左边的草坪向右平移1m，并将其与右边的草坪拼在一起，那么得到一个长为(a-1)m、宽为bm的长方形．
于是，“曲径”的面积，即“原长方形的面积”-“现长方形的面积=ab-b(a-1)=ab-ab+b=b(m²)；而“直道”的面积=1×b=b(m²)；
∴通过图形的平移与计算可得：两条小道的面积相等．
Q3：当x=-5、-0.5、0、2、3时，分别计算代数式x²-2x+2的值，你发现了什么？
x取不同的值，x²-2x+2的值都是正数
【分析】x²-2x+2=(x²-2x+1)+1=(x-1)²+1,∵(x-1)²≥0，∴(x-1)²+1≥1．
∴通过将x²-2x+2变形为(x-1)²+1可证：不管x取何值，代数式的值都不小于1．
Q4：图(1)是一张8×8的正方形纸片，把它剪成4块，按图(2)重新拼合.这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？
看上去能，但其实不能，图(2)本身就画得不对
【分析】∵8×8的正方形的面积为64，而长为13、宽为5的长方形的面积为65，∴这4块纸片不能拼成一个长为13、宽为5的长方形．
2000多年前，古希腊数学家欧几里得对前人在数学上的成果进行了系统整理，他把人们公认的一些真命题作为公理，并以此为出发点，用推理的方法证实了一系列命题，编纂成了人类文明史上具有里程碑意义的数学巨著——《原本》．
这学期，我们也曾把一些真命题作为基本事实，并从基本事实出发证实了有关余角、补角、对顶角、平行线的一些结论．
【证明与定理】根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明．经过证明的真命题称为定理．
【探究1】填空完成推理过程：如图：已知∠CGD=∠CAB，∠ADE+∠CEF=180°，求证：∠1=∠2．证明：∵∠ADE+∠CEF=180°（__________________________）；∴EF∥AD（__________________________）；∴∠2=∠3（__________________________）；∵∠CGD=∠CAB（__________________________）；∴DG∥AB（__________________________）；∴∠1=∠3（__________________________）；∵∠2=∠3（__________________________）；∴∠1=∠2（__________________________）．
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
等量代换：一个量用与它相等的量代替
证明过程通常包含几个推理，每个推理应包括因、果和由因得果的依据．其中，（1）“因”是已知事项；（2）“果”是推得的结论；（3）“由因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质等．
证明过程必须做到言必有据~
【公理（九个基本事实）】（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（6）全等三角形的对应边、对应角分别相等；（7）边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等；（8）两直线平行，同位角相等；（9）不共线三点确定一个圆．
为了使证明过程表达得更加简明，前面推理所得的“果”作为下一个推理的“因”，通常可以省略不写．
eg： ∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）； ∵∠CGD=∠CAB（已知）； ∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行）； ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）； ∵∠2=∠3（已证）； ∴∠1=∠2（等量代换）．
【证明与图形有关的命题，一般有以下步骤】（1）根据题意，画出图形；（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）写出证明过程．
【探究2】证明：三角形的内角和定理（三角形三个内角的和等于180°）．
（1）根据题意，画出图形
（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证
∵CE // AB（辅助线画法），∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
【探究3】三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（已知），且∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），∴∠ACB=∠A+∠B（等量代换）．
由三角形内角和定理，可以推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【定理的推论】像这样，由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论，它和定理一样，可以作为进一步证明的依据．
例1、4个人进行游泳比赛，赛前A，B，C，D等4名选手进行预测，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最后一名”，C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是________．
【分析】如果A错，则B为第一，C为第二，D为最后一名，所以A是错的；如果B错，则B最后，D也错，出现矛盾；如果C错，则C是第一或最后一名，与A第一、D最后，矛盾；如果D错，其他都对的话，则没有最后一名．
例2、下列命题，不是基本事实的是（　　）A．过平面上两点，有且只有一条直线B．两点之间的连线中，线段最短C．在等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍为等式D．同角的补角相等
【分析】D、同角的补角相等，是由等量代换推理得出的，是定理不是基本事实．
例3、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，试说明：BE∥CF．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵∠3=∠4（已知）∴AE∥______（________________________）∴∠EDC=∠5（________________________）∵∠5=∠A（已知）∴∠EDC=______（等量代换）∴DC∥AB（________________________）∴∠5+∠ABC=180°（________________________），即∠5+∠2+∠3=180°∵∠1=∠2（已知）∴∠5+∠1+∠3=180°（________________________），即∠BCF+∠3=180°∴BE∥CF（________________________）．
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
例4、数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式：23×83=（2×8+3）×100+3×3=1909；38×78=（3×7+8）×100+8×8=2964；45×65=（4×6+5）×100+5×5=2925．（1）请你类比上面的等式，计算：①84×24；②562；（2）请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明．
（2）一般规律为：(10a+c)×[10×(10-a)+c]=[a×(10-a)+c]×100+c×c,证明如下：左边=10a×10×(10-a)+10a×c+c×10×(10-a)+c×c=100a×(10-a)+10ac+10c×(10-a)+c×c=100a×(10-a)+100c+c×c=[a×(10-a)+c]×100+c×c=右边．
【分析】（1）①84×24=(8×2+4)×100+4×4=2016；②562=56×56=(5×5+6)×100+6×6=3100+36=3136；
∠1+∠2=180°，∠3=∠C
【证明与定理】根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明．经过证明的真命题称为定理．【公理（九个基本事实）】（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（6）全等三角形的对应边、对应角分别相等；（7）边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等；（8）两直线平行，同位角相等；（9）不共线三点确定一个圆．
【证明与图形有关的命题，一般有以下步骤】（1）根据题意，画出图形；（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）写出证明过程．【定理的推论】由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论，它和定理一样，可以作为进一步证明的依据．