4.8 三角形的“四心”及其向量性质 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第8节  三角形的“四心”及其向量性质知识与方法1.【重心的概念及向量性质】如图1所示，G为的重心，则：（1）概念：三边中线的交点，即图1中D、E、F分别为所在边的中点；（2）重心分中线的比例性质：；（3）坐标：设，，，则的重心G的坐标为；（4），其中；（5）与奔驰定理结合：设G为的重心，则.2.【外心的概念及向量性质】如图2所示，O为的外心，则：（1）概念：外接圆的圆心，三角形的三边的中垂线的交点，；（2）；（3）与奔驰定理结合：若是锐角或直角三角形，则.3.【内心的概念及向量性质】如图3所示，I为的内心，则：（1）概念：内切圆的圆心，三角形的三个内角的角平分线的交点；（2），其中；（3）与奔驰定理结合：4.【垂心的概念及向量性质】如图4所示，H为的垂心，则：（1）概念：三角形的三边上的高的交点；（2）若不是直角三角形，则（3）；（4）与奔驰定理结合：若不是直角三角形，则.提醒：三角形“四心”的结论较多，我们在学习的时候，最好能抓住各心的规律，例如，心的关键特征是1:1:1，内心需重点关注，外心则抓住点乘和投影，而垂心往往要分析余弦投影.典型例题【例1】已知点O是所在平面内的一点，且，则O一定是的（    ）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【解析】如图，，设D为的中点，则，由重心分中线比例性质知，所以O为的重心.【答案】A变式1  已知O、A、B、C是平面上的4个定点，A、B、C不共线，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定经过的（    ）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【解析】，当时，，P为的重心，所以点P的轨迹一定经过的重心.【答案】A变式2  已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【解析】由正弦定理，，所以，从而，设，则，所以，设D为中点，如图，则，显然，又，所以，故点P的轨迹是射线，而射线必定经过的重心，故选A.【答案】A【例2】已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【解析】，故选C.【答案】C【例3】设G为的重心，若，，，则_______【解析】解法1：不难发现，是以B为直角顶点的直角三角形，如图，因为G为的重心，所以，故，又，所以，设D、E分别为、的中点，则，，由重心分中线的比例性质，，，从而.解法2：如图，D、E、F分别为所在边的中点，作于K，则，所以，从而，故在上的投影为，所以.【答案】4变式1  设I为的内心，若，，，则_______【解析】解法1：不难发现，是以B为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I与、、分别相切于点D、E、F，设圆I的半径为r，则，显然四边形是正方形，所以，从而，，易证，，所以，，故，从而，，解法2：按解法1求得的内切圆半径，由图可知在上的投影即为，所以.【答案】变式2  设O为的外心，若，，则_______.【解析】如图，设D、E分别为、中点，则，，所以【答案】【例4】在中，，，，O为的内心，若，则（    ）A. B. C. D.【解析】，因为O为的内心，所以，从而，解得：，，所以.【答案】C【例5】若P为锐角的外心，，若，则（    ）A. B. C. D.【解析】：，因为P为的外心，所以，从而，故，因为是锐角三角形，所以，故，从而或，若，则，所以，矛盾，故，即，所以，由题意，，所以，故，，从而，又，所以，从而，故.【答案】A 强化训练1.（★★★）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若点O满足，则O一定是的（    ）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【解析】由内心的向量性质知O为的内心，选C.【答案】C2.（★★★）已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【解析】，所以，由垂心的向量性质知选C.【答案】D3.（★★★）已知O为所在平面内一点，若，且，，则（    ）A. B. C.10 D.5【解析】如图，设、、的中点分别为D、E、F，因为，所以，从而，，故O是的外心，所以，从而.【答案】B4.（★★★）M是所在平面上一点，若，则M是的（    ）A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心【解析】同理可得，，所以M是的垂心.【答案】D5.（★★★）设G为所在平面内一点，若，且，则实数（    ）A. B.3 C. D.2【解析】 G为的重心，如图，设D为中点，则，所以.【答案】B6.（★★★）已知O为内一点，且，若，且，则的最小值为（    ）A. B. C.1 D.【解析】 O为的重心，因为，所以，又，所以，从而，当且仅当时取等号，此时是正三角形，所以的最小值为.【答案】B7.（★★★★）设I为的内心，若，，，且，则______.【解析】由题意，，，由奔驰定理的内心形式，，本题中，，，，所以，解得：，，所以.【答案】8.（★★★★）已知O为的垂心，且，则角A=_______.【解析】由奔驰定理的垂心形式，，所以，可设，则，，显然，否则A、B、C全为钝角，因为，所以，从而，结合可解得：，所以.【反思】本题也可用三角形中的正切恒等式来建立关于x的方程.【答案】9.（★★★★）在中，M是的中点，，，，若，则的面积为______.【解析】因为，所以A、M、P三点共线，且，从而，又，所以，由垂心的向量形式知，因为A、M、P三点共线，所以，从而，故，.【答案】10.（★★★★）已知O是的内心，，，，且，则_____.【解析】，因为O是的内心，所以，从而，由题意，，，所以，故，又，所以，，代入可得，从而，即.【答案】14