5.2 等差、等比数列基本性质 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

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第2节  等差、等比数列基本性质知识与方法1．在等差数列中，设m、n、r、s为正整数，若，则；特别地，若，则，这是等差数列的常用基本性质，这一性质可以推广到项数更多的情形，例如，设p、q也是正整数，且，则.在等差数列中，像“”这样的等式，只要满足左右两侧项数相同，且所有项的下标之和相等，则该等式一定成立.2．等差数列的前n项和为，则.3．在等比数列中，设m、n、r、s为正整数，且，则，特别地，若，则，这是等比数列的常用基本性质，这一性质可以推广到项数更多的情形，例如，设u、v也是正整数，且，则.在等比数列中，像“”这样的等式，只要满足左右两侧项数相同，且所有项的下标之和相等，则该等式一定成立.典型例题【例1】在等差数列中，已知，则该数列的前11项和（    ）A.33 B.44 C.55 D.66【解析】解法1：，所以.解法2：，所以.解法3：本题属单条件等差数列问题，可设，则由可得，解得：，所以.【答案】A变式1  在等差数列中，已知，则该数列的前10项和_______.【解析】解法1：，所以.解法2：，所以.解法3：本题属单条件等差数列问题，可设，则由可得，解得：，所以.【答案】30【反思】在等差数列的小题中运用性质计算时，可以允许下标出现分数，结果不会出现，但大题之中不能这么写.变式2  等差数列的前n项和为，已知，，则_______.【解析】解法1：由题意，，解得：，，所以.解法2：，所以，故，从而.【答案】变式3  若两个等差数列和的前n项和分别是、，已知，则_______.【解析】.【答案】【例2】等比数列中，，则等于（    ）A.4 B.8 C.16 D.32【解析】.【答案】C变式1  已知数列1、、、9是等差数列，数列1、、、、9是等比数列，则________.【解析】由题意，，，又，所以，故.【答案】变式2  （2014·广东）若正项等比数列满足，则________.【解析】由题意，，所以.【答案】50 强化训练1.（★★）设是公差的等差数列的前n项和，若，则（    ）A.15 B.17 C.19 D.21【解析】解法1：，所以.解法2：，所以.【答案】A2.（★★）记为等差数列的前n项和，若，，则的公差为（    ）A.l B.2              C.4              D.8【解析】，，所以.【答案】C3.（★★）在正项等比数列中，，则的值是（    ）A.10000 B.1000 C.100 D.10【解析】.【答案】A4.（★★）等差数列的前n项和为，若，，则_______.【解析】，，所以，故.【答案】265．等比数列的各项为正数，且，则（    ）A.12 B.10 C.8 D.【解析】 【答案】B6.（★★★）已知数列的首项为1，数列为等比数列且，若，则_______.【解析】.【答案】10247.（★★）设等差数列的前n项和为，若，则_______.【解析】解法1：由题意，，所以，故.解法2：本题属单条件等差数列问题，可设，则，所以.【答案】78.（★★）设等差数列的前n项和为，若，，则_______.【解析】，又，所以.【答案】169.（★★★）已知为等比数列，，，则（    ）A.7 B.5 C. D.【解析】、是方程的两根，从而或，若，则，所以，若，则，所以.【答案】D10.（★★★）设是等差数列的前n项和，若，则（    ）A.l B. C.2 D.【解析】.【答案】A11.（★★★）已知等差数列满足，，，则k的值为（    ）A.10 B.9 C.8 D.7【解析】.【答案】A12.（★★★）设等差数列、的前n项和分别为、，若对任意正整数n都有，则的值为______.【解析】【答案】13.（★★★）已知是等差数列，是其前n项和，若，点，，O为原点，则的值为（    ）A.2023 B. C.0 D.1【解析】，所以，故，从而.【答案】A