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    北师版高中数学必修第一册第7章§1 1-3随机事件1-4随机事件的运算学案
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    高中北师大版 (2019)1.3 随机事件学案及答案

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    这是一份高中北师大版 (2019)1.3 随机事件学案及答案,共9页。

    1.3 随机事件

    1.4 随机事件的运算

    学 习 目 标

    核 心 素 养

    1.理解随机事件与样本点的关系.(重点)

    2.了解随机事件的交、并与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的交、并运算.(难点、易混点)

    1.通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习,培养数学抽象素养.

    2.通过学习事件的运算法则,培养数学建模素养.

    1事件可分为哪几类?

    2事件的并()、事件的交()各是什么?

    3事件的互斥与对立是如何定义的?它们之间有什么关系?

    1三种事件的定义

    事件

    随机

    事件

    一般地,把试验E的样本空间Ω子集称为E的随机事件,简称事件,常用ABC等表示.在每次试验中,当一个事件发生时,这个子集中的样本点必出现一个;反之,当这个子集中的一个样本点出现时,这个事件必然发生

    必然

    事件

    样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω必然发生,因此称Ω为必然事件

    不可能

    事件

    空集也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称为不可能事件

    2随机事件的运算

    事件的运算

    定义

    图形表示

    符号表示

    交事件

    一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件)

    AB(

    AB)

    并事件

    一般地,由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件)

    AB

    (AB)

    3互斥事件与对立事件

    事件的运算

    定义

    图形表示

    符号表示

    互斥

    事件

    一般地,不能同时发生的两个事件AB(AB)称为互斥事件.它可以理解为AB同时发生这一事件是不可能事件

    AB

    对立

    事件

    AB互斥(AB),且ABΩ,则称事件A与事件B互为对立事件,事件A的对立事件记作

     AB

    ABΩ

    (1)一颗骰子投掷一次,记事件A{出现的点数为2},事件C{出现的点数为偶数},事件D{出现的点数小于3},则事件ACD有什么关系?

    (2)命题事件AB为互斥事件与命题事件AB为对立事件之间是什么关系?(指充分性与必要性)

    [提示] (1)ACD.

    (2)根据互斥事件和对立事件的概念可知,事件AB为互斥事事件AB为对立事件的必要不充分条件.

    类型1 事件类型的判断

    1】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.

    (1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元;

    (2)三角形的内角和为180°

    (3)没有空气和水,人类可以生存下去;

    (4)同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上;

    (5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到1号标签;

    (6)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的永动机将会出现.

    [] (1)购买一注彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件.

    (2)所有三角形的内角和均为180°,所以是必然事件.

    (3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是不可能事件.

    (4)同时抛掷两枚硬币一次,不一定都是正面向上,所以是随机事件.

    (5)任意抽取,可能得到1,2,3,4号标签中的任一张,所以是随机事件.

    (6)由能量守恒定律可知,不需任何能量的永动机不会出现,所以是不可能事件.

    判断一个事件是哪类事件要看两点:

    一看条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的;

    二看结果是否发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.

    1.下列事件不是随机事件的是(  )

    A.东边日出西边雨

    B.下雪不冷化雪冷

    C.清明时节雨纷纷     

     D.梅子黄时日日晴

    B [B是必然事件,其余都是随机事件.]

    类型2 事件关系的判断

    2】 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.

    (1)恰有1名男生恰有2名男生

    (2)至少有1名男生全是男生

    (3)至少有1名男生全是女生

    (4)至少有1名男生至少有1名女生”.

    [] 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,11女.

    (1)恰有一名男生11女,与恰有2名男生不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,两个事件都不发生,所以它们不是对立事件.

    (2)至少一名男生包括2名男生和11女两种结果,与事件全是男生可能同时发生,所以它们不是互斥事件.

    (3)至少一名男生全是女生不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.

    (4)至少有一名女生包括11女与2名女生两种结果,当选出的是11女时,至少有一名男生至少有一名女生同时发生,所以它们不是互斥事件.

    判断事件间关系的方法

    (1)要考虑试验的前提条件,无论是包含、相等,还是互斥、对立,其发生的条件都是一样的.

    (2)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析,对较难判断关系的,也可列出全部结果,再进行分析.

    2.从一堆产品(其中正品与次品都多于2)中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每个事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.

    (1)恰好有1件次品恰好有2件次品

    (2)至少有1件次品全是次品

    (3)至少有1件正品至少有1件次品”.

    [] 依据互斥事件的定义,即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知:(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们的和事件不是必然事件,所以它们不是对立事件;同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件;(3)中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件.

    类型3 事件的运算

    3】 在投掷骰子试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如:A{出现1}B{出现3点或4}C{出现的点数是奇数}D{出现的点数是偶数}

    (1)说明以上4个事件的关系;

    (2)ABABADBDBC.

    [思路点拨] (1)

    (2)

    [] 在投掷骰子的试验中,根据向上出现的点数有6种基本事件,记作Ai{出现的点数为i}(其中i1,26).则AA1BA3A4CA1A3A5DA2A4A6.

    (1)事件A与事件B互斥,但不对立,事件A包含于事件C,事件AD互斥,但不对立;

    事件BC不是互斥事件,事件BD也不是互斥事件;事件CD是互斥事件,也是对立事件.

    (2)ABABA1A3A4{出现点数1,34}

    ADA1A2A4A6{出现点数1,2,46}

    BDA4{出现点数4}

    BCA1A3A4A5{出现点数1,3,45}

    1.在3的条件下,求ACACBC.

    [] ACA{出现1}ACC{出现点数1,35}BCA3{出现点数3}

    2用事件Ai{出现的点数为i}(其中i1,26)表示下列事件:

    (1)BD(2)CD.

    [] (1)BD{出现点数2,3,46}A2A3A4A6.

    (2)CD{出现点数1,2,3,4,5,6}A1A2A3A4A5A6.

    进行事件运算应注意的问题

    (1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.

    (2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.

    3(多选)一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品;事件B:至少有两件次品;事件C:至少有一件次品;事件D:至多有一件次品.则以下结论正确的是(  )

    AABC BDB是必然事件

    CABC DADC

    AB [事件AB:至少有一件次品,即事件C,所以A正确;事件DB:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以B正确;事件ABC不正确;事件AD:恰有一件次品,即事件A,所以D不正确.]

    事件关系的判断与集合形式表示

    2019423日,作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市,河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆23日相继发布了本省份高考综合改革实施方案,明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施.

    根据公布的实施方案,8个省市将采用312模式:3为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;1为首选科目,考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科;2为再选科目,考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科.

     

    [问题探究]

    1.小李从物理、历史中选择1门,再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门,请写出试验的样本空间,并说出样本点的个数.

    [提示] 试验的样本点可用(xyz)表示,其中从物理、历史中选择1门,结果用x表示;从思想政治、地理、化学、生物中选择2门,结果用yz表示.

    该试验的样本空间Ω{(物理,思想政治,地理)(物理,思想政治,化学)(物理,思想政治,生物)(物理,地理,化学)(物理,地理,生物)(物理,化学,生物)(历史,思想政治,地理)(历史,思想政治,化学)(历史,思想政治,生物)(历史,地理,化学)(历史,地理,生物)(历史,化学,生物)},样本点的个数为12.

    2.小李从物理、历史中选择1门,再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门,若记事件A小李物理必选;事件B小李生物必选,用集合表示这两个事件,并判断事件A与事件B是不是互斥事件,是不是对立事件;

    [提示] A{(物理,思想政治,地理)(物理,思想政治,化学)(物理,思想政治,生物)(物理,地理,化学)(物理,地理,生物)(物理,化学,生物)}

    B{(物理,思想政治,生物)(物理,地理,生物)(物理,化学,生物)(历史,思想政治,生物)(历史,地理,生物)(历史,化学,生物)}

    则事件AB中含有相同的样本点(物理,思想政治,生物)(物理,地理,生物)(物理,化学,生物)

    所以事件A与事件B不是互斥事件,也不是对立事件.

    3.在第2小题的条件下,用集合的形式表示事件AB和事件,并说明事件AB和事件的关系.

    [提示] 由第2问可知,事件AB{(物理,思想政治,地理)(物理,思想政治,化学)(物理,思想政治,生物)(物理,地理,化学)(物理,地理,生物)(物理,化学,生物)(历史,思想政治,生物)(历史,地理,生物)(历史,化学,生物)}

    事件{(历史,思想政治,地理)(历史,思想政治,化学)(历史,地理,化学)}

    所以事件AB和事件既是互斥事件,也是对立事件.

    1思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)

    (1)  若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件.(  )

    (2)  若事件AB是互斥事件,则AB是不可能事件.(  )

    (3)  事件AB是必然事件,则事件AB是对立事件.(  )

    [提示] (1)错误.对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.

    (2)正确.因为事件AB是互斥事件,所以AB为空集,所以AB是不可能事件.

    (3)错误.反例:抛掷一枚骰子,事件A为:向上的点数小于5,事件B为:向上的点数大于2,则事件AB是必然事件,但事件AB不是对立事件.

    [答案] (1)× (2) (3)×

    2.从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球,则下列选项中两个事件是互斥事件的为(  )

    A都是红球至少一个红球

    B恰有两个红球至少一个白球

    C至少一个白球至多一个红球

    D两个红球,一个白球两个白球,一个红球

    D [ABC中两个事件都可以同时发生,只有D项,两个事件不可能同时发生,是互斥事件.]

    3.从1,29中任取两数,其中:恰有一个偶数和恰有一个奇数;至少有一个奇数和两个数都是奇数;至少有一个奇数和两个数都是偶数;至少有一个奇数和至少有一个偶数.

    在上述事件中,为对立事件的是(  )

    A B②④

    C D①③

    C [1,29中任取两数,包括一奇一偶、两奇、两偶,共三种互斥事件,所以只有中的两个事件才是对立事件.]

    4.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件:

    在这200件产品中任意选9件,全部是一级品;

    在这200件产品中任意选9件,全部都是二级品;

    在这200件产品中任意选9件,不全是一级品.

    其中_______是随机事件;_______是不可能事件.(填序号)

    ①③  [因为二级品只有8件,故9件产品不可能全是二级品,所以是不可能事件.]

    5.从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个.

    三个正品;两个正品,一个次品;一个正品,两个次品;三个次品;至少一个次品;至少一个正品.其中必然事件是________,不可能事件是________,随机事件是________

      ①②③⑤ [100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是:三个全是正品”“二个正品一个次品”“一个正品二个次品]

     

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