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北师大版 (2019)必修 第一册1.1 随机现象学案及答案
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第七章 概 率§1 随机现象与随机事件课前篇·自主梳理知识【主题1】 随机现象1.在自然界和人类社会中,普遍存在着两种现象.一类是在一定条件下必然出现的现象,称为________.另一类则是在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为________.2.随机现象有两个特点:(1)____________________________;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.答案:1.确定性现象 随机现象 2.(1)结果至少有2种【主题2】 样本空间一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的________,记作Ω.样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的________,记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.答案:样本空间 样本点【主题3】 随机事件一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的________,简称事件,常用A,B,C等表示.在每次试验中,当一个事件发生时,这一子集中的样本点必出现其中一个;反之,当这个子集中的一个样本点出现时,这个事件必然发生.样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为________.空集∅也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称∅为________.答案:随机事件 必然事件 不可能事件【主题4】 随机事件的运算1.交事件与并事件(1)交事件一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的________(或积事件),记作________(或________).事件A∩B是由事件A和事件B所共有的样本点构成的集合.(2)并事件一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的________(或和事件),记作________(或________).事件A与事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的样本点构成的集合.2.互斥事件与对立事件(1)互斥事件一般地,不能同时发生的两个事件A与B(________)称为________.它可以理解为A,B同时发生这一事件是不可能事件.(2)对立事件若A∩B=∅,且________,则称事件A与事件B互为________,事件A的对立事件记作________.答案:1.(1)交事件 A∩B AB (2)并事件 A∪B A+B2.(1)A∩B=∅ 互斥事件 (2)A∪B=Ω对立事件 [自我检测]1.思维辨析(对的打“√”,错的打“”)(1)奥运会上美国男子篮球队夺冠是确定性现象.( )(2)任一事件A是相应样本空间Ω的一个子集.( )(3)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )(4)设M,N是两个随机事件,若M∪N=Ω,则事件M与事件N不会同时发生.( )答案:(1) (2)√ (3)√ (4)2.下列现象是随机现象的是( )①标准大气压下,水加热到100°C沸腾;②李强射击一次中靶;③某人购买福利彩票7注,7注均未中奖.A.①② B.②③ C.② D.③答案:B 解析:①是确定性现象,②③是随机现象.3.从6个男生和2个女生中任选3人,则下列事件中必然事件是( )A.3个都是男生 B.至少有1个男生C.3个都是女生 D.至少有1个女生答案:B 解析:由于女生只有2人,而现在要选择3人,所以至少要有1个男生被选中.所以B选项为必然事件,故选B.4.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,①在这200件产品中任意抽取9件,全部是一级品;②在这200件产品中任意抽取9件,全部是二级品;③在这200件产品中任意抽取9件,不全是一级品;④在这200件产品中任意抽取9件,其中不是一级品的件数小于9.其中,__________是必然事件,__________是不可能事件,________是随机事件.答案:④ ② ①③ 解析:由必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知,④是必然事件,②是不可能事件,①③是随机事件.5.把红、黑、白、蓝四张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A.对立事件 B.不可能事件C.互斥但不对立事件 D.以上均不对答案:C课堂篇·重难要点突破研习1 事件类型的判断[典例1] (1)从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件事情( )A.可能发生 B.不可能发生C.很可能发生 D.必然发生(2)指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件.①我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭.②若a为实数,则|a|≥0.③抛掷硬币10次,至少有一次正面向上.④同一门炮向同一目标发射多枚炮弹,其中50%的炮弹击中目标.[审题路线图]事件类型的判断⇒根据事件的概念判断.(1)答案:D 解析:因为若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张,一定还有1张黑桃;若抽出了全部的梅花与黑桃共7张,则还会有3张红桃;若抽出了全部的红桃与黑桃共8张,则还会有2张梅花.所以这个事件一定发生,是必然事件.(2)解:①我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭,也可能不是3次,是随机事件.②对任意实数a,|a|≥0总成立,是必然事件.③抛掷硬币10次,也可能全是反面向上,也可能有正面向上,是随机事件.④同一门炮向同一目标发射,命中率不一定是50%,是随机事件.判断三种事件类型的思路首先一定要看条件,其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件),还是一定不会发生(不可能事件).[练习1]在下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?(1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张,得到4号签;(3)没有空气,种子发芽;(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话.解:由实数的运算性质知(1)恒成立,故(1)是必然事件.没有空气,种子不会发芽,故(3)是不可能事件.从6张号签中任取一张,可能取出4号签,也可能取不到4号签;电话总机在60秒内可能接到至少15个电话,也可能接不到15个电话,故(2)(4)是随机事件.研习2 试验结果的列举[典例2] 某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).写出这个试验的样本空间.[审题路线图]试验结果的列举⇒明确条件和结果,根据生活经验按一定顺序逐一列出全部结果.解:当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;当x=3时,y=1,2,4;当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的样本空间是{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.[延伸探究] 本例中条件不变,写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.解:记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.不重不漏地列举试验的样本点的方法(1)结果是相对于条件而言的,要弄清试验的结果,必须首先明确试验中的条件.(2)根据日常生活经验,按照一定的顺序列举出所有样本点,可应用画树状图、列表等方法解决.[练习2]袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.(1)从中任取1球.(2)从中任取2球.解:(1)条件为从袋中任取1球,结果为:红、白、黄、黑4种.(2)条件为从袋中任取2球,若记(红,白)表示一次试验中,取出的是红球与白球,结果为(红,白)、(红,黄)、(红,黑)、(白,黄)、(白,黑)、(黄,黑)6种.研习3 事件的运算[典例3] 掷一枚骰子,下列事件:A={出现奇数点),B={出现偶数点),C={点数小于3},D={点数大于2},E={点数是3的倍数}.求:(1)A∩B,BC;(2)A∪B,B∪C;(3)记H是事件D的对立事件,求H,AC,H∪E.[审题路线图]事件的运算⇒利用事件间运算的定义,借助集合间运算的思想求解.解:(1)A∩B=∅,BC={出现2点}.(2)A∪B={出现1,2,3,4,5或6点},B∪C={出现1,2,4或6点}.(3)H={点数小于或等于2}={出现1或2点},AC={出现1点},H∪E={出现1,2,3或6点}.事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义,列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.提醒:在一些比较简单的题目中,可以根据常识来判断事件之间的关系,但对于比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.[练习3]盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取三个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球,或2个红球1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个红球,故C∩A=A.研习4 事件关系的判断[典例4] (1)从1,2,3,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是( )A.① B.②④ C.③ D.①③(2)一位射击手进行一次射击.事件A:命中的环数大于7环;事件B:命中环数为10环;事件C:命中的环数小于6环;事件D:命中的环数为6,7,8,9,10环.判断下列各对事件是否是互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.①事件A与B;②事件A与C;③事件C与D.[审题路线图]事件关系的判断⇒抓住互斥与对立事件的定义来判断.(1)答案:C 解析:根据题意,从1,2,3,…,9中任取两数,其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况.依次分析所给的4个事件可得:①:恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况,不是对立事件;②:至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,与两个都是奇数不是对立事件;③:至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,和“两个都是偶数”是对立事件;④:至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,不是对立事件.(2)解:①不是互斥事件,更不可能是对立事件.理由:事件A:命中的环数大于7环,包含事件B:命中环数为10环,二者能够同时发生,即A∩B={命中环数为10环}.②是互斥事件,但不是对立事件.理由:事件A:命中的环数大于7环,与事件C:命中的环数小于6环不可能同时发生,但A∪C={命中环数为1,2,3,4,5,8,9,10环}≠I(I为全集).③是互斥事件,也是对立事件.理由:事件C:命中的环数小于6环,与事件D:命中的环数为6,7,8,9,10环不可能同时发生,且C∪D={命中环数为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10环}=I(I为全集).互斥事件与对立事件的判断方法(1)利用基本定义:判断两个事件是否为互斥事件,注意看它们能否同时发生.若不同时发生,则这两个事件是互斥事件;若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件.(2)利用集合的观点:设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B.①若集合A∩B=∅,则事件A与B互斥;②若集合A∩B=∅,且A∪B=U(U为全集),也即A=∁UB或B=∁UA,则事件A与B对立.提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.[练习4]某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.解:(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B发生会导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E还是对立事件.(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况,所以事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.课后篇·演练提升方案1.下面的事件:①掷一枚硬币,出现反面;②异性电荷相互吸引;③3+5>10,是随机事件的有( )A.② B.③ C.① D.②③答案:C 解析:①为随机事件,②为必然事件,③为不可能事件.2.下面的事件:①在标准大气压下,水加热到90 ℃时会沸腾;②从标有1,2,3的小球中任取一球,得2号球;③a>1,则y=ax是增函数,是必然事件的有( )A.③ B.① C.①③ D.②③答案:A 解析:①为不可能事件,②为随机事件,③为必然事件.3.下列事件中,不可能事件为( )A.三角形内角和为180°B.三角形中大边对大角,大角对大边C.锐角三角形中两个内角和小于90°D.三角形中任意两边的和大于第三边答案:C 解析:若两内角的和小于90°,则第三个内角必大于90°,故不是锐角三角形,所以C为不可能事件,而A,B,D均为必然事件.4.如果事件A,B互斥,记,分别为事件A,B的对立事件,那么( )A.A∪B是必然事件 B.∪是必然事件C.与一定互斥 D.与一定不互斥答案:B 解析:用集合的Venn图解决此类问题较为直观,如图所示,∪是必然事件.5.从一批产品中取出三件产品,设A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品至少有一件是次品},则下列结论正确的是( )A.A与C互斥 B.任何两个均互斥C.B与C互斥 D.任何两个均不互斥答案:A 解析:因为从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件.D1={没有次品},D2={1件次品},D3={2件次品},D4={3件次品},所以A=D1,B=D4,C=D2∪D3∪D4,故A与C互斥,A与B互斥,B与C不互斥.6.下面给出了5个事件:(1)抛掷一枚硬币,反面朝上;(2)没有空气和水,人也可以生存下去;(3)圆内接四边形对角互补;(4)一批产品的合格率为80%;(5)直线y=k(x+1)过定点(-1,0).其中,必然事件是____________;不可能事件是________;随机事件是________.答案:(3)(5) (2) (1)(4) 解析:(1)为随机事件.(2)为不可能事件.(3)为必然事件.(4)为随机事件.(5)为必然事件.7.掷一枚质地均匀的色子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“大于2的点数出现”,则A∩B表示“________”.答案:点数4出现 解析:A={2,4},B={3,4,5,6},故A∩B表示“点数4出现”.
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