高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程习题，文件包含专题22与圆有关的最值问题特色专题卷人教A版选择性必修第一册解析版docx、专题22与圆有关的最值问题特色专题卷人教A版选择性必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
专题2.2 与圆有关的最值问题（特色专题卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021秋•东城区校级月考）已知⊙C：x2﹣2x+y2﹣1＝0，直线l：y＝x+3，P为l上一个动点，过点P作⊙C的切线PM，切点为M，则|PM|的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．2 D．6
【分析】根据已知条件，将圆化为标准方程，即可求得圆心与半径，结合勾股定理，将原问题转化为求|PC|最小值，即可求解．
【解答】解：∵⊙C：x2﹣2x+y2﹣1＝0，即（x﹣1）2+y2＝2，
∴圆心C（1，0），半径r=2，
∵PM为圆C的切线且M为切点，
∴PM⊥MC，
∴根据勾股定理知，|PM|2＝|PC|2﹣|CM|2＝|PC|2﹣r2＝|PC|2﹣2，
∴当|PC|最小时，|PM|最小，
∵|PC|≥d=|1+3|1+1=22，
∴|PM|2≥(22)2-2=6，
∴|PM|的最小值为6．
故选：D．
2．（2021春•利通区校级期末）已知圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1上一点P到直线3x﹣4y﹣3＝0的距离为d，则d的最小值与最大值的差为（　　）
A．35 B．45 C．1 D．﹣2
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，得到d的最值，作差得答案．
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的圆心坐标为（1，﹣2），半径为1，
圆心到直线3x﹣4y﹣3＝0的距离为|3+8-3|32+(-4)2=85＞1，
∴圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1上一点P到直线3x﹣4y﹣3＝0的距离d的最小值为35，最大值为135，
则d的最小值与最大值的差为35-135=-2．
故选：D．
3．（2021秋•南明区校级月考）若直线mx﹣ny+3＝0（m＞0，n＞0）截圆C：x2+y2+6x﹣4y+5＝0所得的弦长为42，则2m+1n的最小值为（　　）
A．8-433 B．8+433 C．8-43 D．8+43
【分析】利用已知条件求出m，n的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．
【解答】解：圆C：x2+y2+6x﹣4y+5＝0的标准方程为（x+3）2+（y﹣2）2＝8的半径为22，圆心（﹣3，2）
直线mx﹣ny+3＝0（m＞0，n＞0）截圆C所得的弦长为42，
可得直线经过圆的圆心．
可得﹣3m﹣2n+3＝0．即3m+2n＝3，
则2m+1n=13（2m+1n）（3m+2n）=13（6+2+4nm+3mn）≥13（8+24nm⋅3mn）=8+433，
当且仅当4nm=3mn，即m=3-32，n=33-34时取等号．
故选：B．
4．（2021春•五华区期末）已知M为直线y＝x+1上的动点，N为圆x2+y2+2x+4y+4＝0上的动点，则|MN|的最小值是（　　）
A．2 B．2-2 C．1 D．2-1
【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，减去半径得答案．
【解答】解：由圆x2+y2+2x+4y+4＝0，得（x+1）2+（y+2）2＝1，
可得圆心坐标为（﹣1，﹣2），半径为1，
圆心到直线x﹣y+1＝0的距离d=|-1+2+1|2=2，
而M为直线y＝x+1上的动点，N为圆x2+y2+2x+4y+4＝0上的动点，
则|MN|的最小值是2-1．
故选：D．
5．（2021•海淀区校级模拟）从点P（m，3）向圆（x+2）2+（y+2）2＝2引切线，则切线长的最小值为（　　）
A．26 B．5 C．26 D．23
【分析】设圆的圆心为C，切点为T，由切线长公式可得|PT|的解析式，结合二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：根据题意，设圆（x+2）2+（y+2）2＝2的圆心为C，
从点P（m，3）向圆（x+2）2+（y+2）2＝2引切线，切点为T，
圆C，（x+2）2+（y+2）2＝2，其圆心为（﹣2，﹣2），半径为2，
则|PT|=|PC|2-(2)2=(m+2)2+(3+2)2-(2)2=(m+2)2+23，
当m＝﹣2时，|PT|取得最小值，且其最小值为23．
故选：D．
6．（2021•唐山开学）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设直线l：x+2y﹣8＝0与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上存在点P满足|AP|＝|BP|，则r的最小值为（　　）
A．655 B．65 C．25 D．3
【分析】先求出A，B两点的坐标，再结合|AP|＝|BP|，可得2x﹣y﹣6＝0，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：不妨设点A是直线l：x+2y﹣8＝0与x轴的交点，
令y＝0，解得x＝8，故A（8，0），
设点B是直线l：x+2y﹣8＝0与y轴的交点，
令x＝0，解得y＝4，故B（0，4），
设P（x，y），
若点P满足|AP|＝|BP|，则(x-8)2+(y-0)2=(x-0)2+(y-4)2，整理可得，2x﹣y﹣6＝0，即点P的轨迹为直线2x﹣y﹣6＝0，
依题意可得，圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与直线2x﹣y﹣6＝0有公共点P，
故圆O与直线2x﹣y﹣6＝0相交或相切，
故圆心O（0，0）到直线2x﹣y﹣6＝0的距离d≤r，即|2×0-0-6|22+(-1)2≤r，解得r≥655，
故r的最小值为655．
故选：A．
7．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M，N分别为圆C1，C2上的点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）
A．17 B．17-1 C．6-22 D．52-4
【分析】由题可求得C1和C2的圆心与半径，设点C1关于x轴的对称点为C3，则|PM|+|PN|≥|PC1|﹣1+|PC2|﹣3＝|PC3|﹣1+|PC2|﹣3≥|C2C3|﹣4，再利用两点间距离公式求出|C2C3|即可得解．
【解答】解：由C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1知C1的圆心为（2，3），半径为1；
由C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，知圆C2的圆心为（3，4），半径为3，
如图所示，设点C1关于x轴的对称点为C3，则C3（2，﹣3），且

则|PM|+|PN|≥|PC1|﹣1+|PC2|﹣3＝|PC3|﹣1+|PC2|﹣3≥|C2C3|﹣4，
而|C2C3|=(2-3)2+(-3-4)2=52，
所以|PM|+|PN|≥52-4，即|PM|+|PN|的最小值为52-4．
故选：D．
8．（2021•丙卷模拟）已知定直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2）（k＜0），点Q是直线l上的动点，过点Q作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线，M是切点，C是圆心，若△QMC面积的最小值为2，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为（　　）
A．13 B．2 C．43 D．52
【分析】由题意可得直线l的方程为kx﹣y+1﹣2k＝0，再求出圆C的圆心坐标与半径，由△QMC面积的最小值为2求得|CQ|＝3，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值．
【解答】解：由题意可得直线l的方程为kx﹣y+1﹣2k＝0，
圆C的圆心C（1，﹣2），半径为1，
如图：
S△QMC=12|QM|⋅|CM|=12|QM|，
又|QM|=|CQ|2-1，∴当|CQ|取最小值时，|QM|取最小值，
此时CQ⊥l，可得|QM|＝22，∴|CQ|＝3，
则3=|k+2+1-2k|k2+1，解得k=-34（k＜0），
则直线l的方程为3x+4y﹣10＝0，
则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为|1×3-2×4-10|32+42-1=2．
故选：B．


二． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021•江阴市开学）已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2+4x﹣2y+4＝0相交于A，B两点，则（　　）
A．直线AB的方程为y＝2x+2
B．两圆有两条公切线
C．线段AB的长为65
D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为5+3
【分析】联立两圆的方程，变形可得直线AB的方程，即可判断A选项，结合两圆相交的性质，即可判断B选项，结合垂径定理，即可判断C选项，由两圆相交可得，|EF|的最大值为|OM|+R+r，即可判断D选项．
【解答】解：对于A，圆O：x2+y2＝4和圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0作差得4x﹣2y+4＝﹣4，即y＝2x+4，故A错误，
对于B，∵两圆相交与A，B两点，
∴两圆有两条公切线，故B正确，
对于C，圆O：x2+y2＝4的圆心O（0，0），半径为2，
则圆心O到直线AB的距离d=44+1=455，故AB=222-(455)2=455，故C错误，
对于D，圆M：x2+y2+4x﹣2y+4＝0的圆心为M（﹣2，1），半径为2，圆O上点E，圆M上点F，
则|EF|的最大值为|MO|+1+2=5+3，故D正确．
故选：BD．
10．（2021秋•罗湖区月考）已知圆C：x2+y2＝r2（r＞1），P为直线l：y＝x+b上的动点，则下列结论正确的为（　　）
A．当b＝2r时，l与C可能相交
B．若Q为C上的动点，且PQ的最小值为r，则|b|=22r
C．若b＝3r，则C上恰有2个点到l的距离为2r
D．若b=r+1r，且圆P的半径为r﹣1，则圆P与C不可能内切
【分析】由题意首先考查各个选项中圆心到直线的距离，从而确定直线与圆的位置关系，然后考查所给的选项是否正确即可．
【解答】解：对于选项A，圆心（0，0）到直线x﹣y+b＝0即x﹣y+2r＝0的距离为：d=2r2=2r＞r，则直线与圆相离，选项A错误；
对于选项B，很明显直线与圆相离，圆心（0，0）到直线x﹣y+b＝0的距离为：d=|b|2，
由题意可得：d-r=|b|2r-r=r，∴|b|=22r，选项B正确；
对于选项C，圆心（0，0）到直线x﹣y+b＝0即x﹣y+3r＝0的距离为：d=3r2＞r，则直线与圆相离，
圆上的点到直线的距离的取值范围为：[3r2-r，3r2+r]，
注意到2r∈(3r2-r，3r2+r)，故C上恰有2个点到l的距离为2r，
选项C正确；
对于选项D，圆心（0，0）到直线x﹣y+b＝0即x-y+r+1r=0 的距离为：d=r+1r2≥2r×1r2=2＞1，
则直线与圆相离，选项D正确；
故选：BCD．
11．（2021•邯郸开学）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝16，直线l：（2m﹣1）x+（m﹣1）y﹣3m+1＝0．下列说法正确的是（　　）
A．直线l恒过定点（2，1）
B．圆C被y轴截得的弦长为215
C．直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x+y﹣3＝0
D．直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为x﹣2y﹣4＝0
【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A；求出圆C被y轴截得的弦长判断B；由定点在圆内，求出过圆心的直线方程判断C；再求出与圆心和定点连线垂直的直线方程判断D．
【解答】解：由（2m﹣1）x+（m﹣1）y﹣3m+1＝0，
得m（2x+y﹣3）+（﹣x﹣y+1）＝0，
联立2x+y-3=0-x-y+1=0，解得x=2y=-1，
∴直线l恒过定点（2，﹣1），故A错误；
在（x﹣1）2+（y﹣1）2＝16中，取x＝0，
得（y﹣1）2＝15，则y＝1±15，∴圆C被y轴截得的弦长为215，故B正确；
∵点P（2，﹣1）在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝16内部，kPC=-1-12-1=-2，
∴当直线过圆心时，直线l被圆C截得弦长取最大值，
此时直线l的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0，而直线系方程（2m﹣1）x+（m﹣1）y﹣3m+1＝0中不含直线2x+y﹣3＝0，故C错误；
当直线l⊥PC时，直线l被圆C截得弦长取最小值，此时kl=12，
直线l的方程为y+1=12(x-2)，即x﹣2y﹣4＝0，故D正确．
故选：BD．
12．（2021•如皋市校级开学）过直线x+y＝4（0＜x＜4）上一点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x，y轴分别交于点M，N，则（　　）
A．点O恒在以线段AB为直径的圆上
B．四边形PAOB面积的最小值为4
C．|AB|的最小值为22
D．|OM|+|ON|的最小值为4
【分析】对A：由动点及圆的性质即可判断；
对B：连接PO，利用切线的性质将四边形的面积用|PO|表示，进而利用点到直线的距离公式求解；
对C：由点A，B在以OP为直径的圆上可求得直线AB的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可求解；
对D：先由直线AB的方程得到M，N的坐标，进而得到|OM|+|ON|=4a+4b，最后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：对A：在四边形PAOB中，∠AOB不一定是直角，故A错误；
对B：连接PO，由题可得Rt△PAO≌Rt△PBO，所以四边形PAOB的面积S＝2×12×PA•OA＝2PA＝2PO2-4，
又PO的最小值为点O到直线x+y＝4的距离，即22，所以四边形PAOB面积最小为28-4=4，故B正确；
对C：设P（a，b），则以线段OP为直径的圆的方程为x（x﹣a）+y（y﹣b）＝0，
与圆O的方程x²+y²＝4相减，得ax+by＝4，即直线AB的方程为ax+by＝4，
又点P在直线x+y＝4上，所以a+b＝4，即b＝4﹣a，代入直线AB中得a（x﹣y）+4y﹣4＝0，
即a（x﹣y）+4y﹣4＝0，令x＝y，则4y﹣4＝0，得x＝1，y＝1，所以直线AB过定点C（1，1），
则OC=2，故AB的最小值为24-2=22，故C正确；
对D：在ax+by＝4中，令x＝0，得y=4b，令y＝0，得x=4a，即M（4a，0），N（0，4b），
所以|OM|+|ON|=4a+4b，
因为P（a，b）在x+y＝4（0＜x＜4）上，所以a+b＝4且0＜a＜4，
则4a+4b=（a+b）（4a+4b）＝2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，所以|OM|+|ON|的最小值为4，故D正确；
故选：BCD．


三． 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021秋•青浦区校级月考）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆截得的弦的长度的最小值为 　2　．
【分析】由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过D（1，2）的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．
【解答】】解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；
设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2 r2-d2，
当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|=(3-1)2+(0-2)2=22，
所以最小的弦长|AB|＝232-(22)2=2，
故答案为：2．
14．（2021•5月份模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是y＝x+2上的动点，过点P作圆C：x2﹣4x+y2＝0的切线，切点为A，B，当直线AB的斜率为正时，直线AB在x轴和y轴上的截距之和的最大值为 　0　．
【分析】设P（a，a+2），求出切点所在直线的方程（a﹣2）（x﹣2）+（a+2）y＝4，所以直线AB恒过定点（1，1），利用点斜式方程写出过（1，1）的直线方程，表示出截距，利用基本不等式求最值．
【解答】解：设P（a，a+2），已知圆的方程为（x﹣2）²+y²＝4，
所以直线AB的方程为（a﹣2）（x﹣2）+（a+2）y＝4，
即a（x+y﹣2）+2（y﹣x）＝0，所以直线AB过定点（1，1），
令直线AB斜率为k（k＞0），所以直线AB方程为y﹣1＝k（x﹣1），
所以直线与x轴交点坐标为(k-1k，0)，与y轴交点坐标为（0，1﹣k），
所以截距之和为1-k+k-1k=2-(k+1k)≤2-2k⋅1k=0，当且仅当k＝1时成立．
故答案为：0．
15．（2021•北京开学）已知圆 C：x2+y2＝r2.若直线x﹣y+4＝0上存在一点P，使得经过点P与圆C相切的两条切线互相垂直，则r的最小值为 　2　．
【分析】由题意确定点P和圆心以及两个切点构成一个正方形，从而PO=2r，由OP垂直于直线x﹣y+4＝0时，OP取得最小值，列出不等关系，求出r的取值范围，即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，两条切线互相垂直，
所以点P和圆心以及两个切点构成一个正方形，
则PO=2r，
当OP垂直于直线x﹣y+4＝0时，OP取得最小值，
所以OP≥|4|1+1=22，
即2r≥22，
解得r≥2，
所以r的最小值为2．
故答案为：2．
16．（2021秋•贵阳月考）已知点M为圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1上的动点，过圆心作直线l垂直于x轴交点为A，点B为A关于y轴的对称点，动点N满足到B点与到l的距离始终相等，记动点N到y轴距离为m，则m+|MN|的最小值为 　22-1　．
【分析】由已知画出图形，由抛物线定义可得N的轨迹方程，求出|BC|，数形结合可得m+|MN|的最小值．
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心坐标为C（1，2），半径r＝1，
∵CA⊥x轴，∴A（1，0），
又点B为A关于y轴的对称点，∴B（﹣1，0），
∵N到B与直线l：x＝1的距离相等，∴点N的轨迹方程为y2＝﹣4x，
如图，由抛物线定义可知，|BN|＝m+1，则m＝|BN|﹣1，
∴m+|MN|＝|BM|+|MN|﹣1≥|BM|﹣1，
当且仅当B、M、N三点共线时取等号，
而|BM|min=|BC|-1=22-1，
∴m+|MN|的最小值为22-2．
故答案为：22-2．


四． 解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021•仁寿县校级开学）实数x，y满足x2+y2+2x﹣4y+1＝0，求：
（1）yx-4的最大值和最小值；
（2）2x+y的最大值和最小值．
【分析】（1）yx-4表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，当过点A的直线与圆相切时，斜率取到最值．
（2）令2x+y＝t，即y＝﹣2x+t，故t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，截距取到最值．
【解答】解：在直角坐标系中，方程x2+y2+2x﹣4y+1＝0代表圆心为（﹣1，2），半径为2的圆．
（1）yx-4表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，
设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为y﹣0＝k（x﹣4），
即kx﹣y﹣4k＝0，由2=|-k-2-4k|k2+1，k＝0或-2021，
结合图形知，yx-4的最大值为0，最小值为-2021．
（2）令2x+y＝t，即y＝﹣2x+t，故t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，
当直线2x+y＝t和圆相切时，有2=|-2+2-t|5，∴t＝±25，
故2x+y的最大值为25，最小值为-25．

18．（2021秋•重庆月考）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4．
（1）若直线l过点A（2，3）且被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程；
（2）若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，
【分析】（1）求出圆C的圆心坐标为C（3，4），半径R＝2，推出圆心C到直线l的距离d＝1，①当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，判断是否满足题意；②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣3＝k（x﹣2），利用点到直线的距离公式求解即可．
（2）设直线l方程：y＝k（x﹣1），利用点到直线的距离公式以及三角形面积公式，通过二次函数的最值求解即可．
【解答】解：（1）圆C的圆心坐标为C（3，4），半径R＝2，
∵直线l被圆C截得的弦长为23，
∴圆心C到直线l的距离d＝1．
①当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程：x＝2，显然满足d＝1；
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程：y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k＝0，
由圆心C到直线l的距离d＝1得：|k-1|1+k2=1，解得k＝0，
故直线l的方程：y＝3；
综上所述，直线l的方程为x＝2或y＝3．
（2）∵直线与圆相交于P、Q两点，
∴l的斜率一定存在且不为0，
设直线l方程：y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，
则圆心C到直线l的距离为d=|2k-4|1+k2，
又∵△CPQ的面积S=12×d×24-d2=d4-d2=d2(4-d2)=-(d2-2)2+4，
∴当d=2时，S取最大值2，
由d=|2k-4|1+k2=2，得k＝1或k＝7，
∴△CPQ的面积的最大值为2．
19．（2021春•赤峰期末）已知点C到点A（2，0）的距离与到点B（﹣2，0）的距离的比为3．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）当A、B、C构成三角形时，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）设点C（x，y），由已知条件可得ACBC=3，利用两点间距离公式代入化简，即可得到答案；
（2）由（1）可知，点C的轨迹是以（﹣4，0）为圆心，半径为23的圆，将问题转化为求解点C的纵坐标的绝对值的最大值，由三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）设点C（x，y），
因为点C到点A（2，0）的距离与到点B（﹣2，0）的距离的比为3，
则ACBC=3，即(x-2)2+y2(x+2)2+y2=3，
化简整理可得，（x+4）2+y2＝12，
故点C的轨迹方程为（x+4）2+y2＝12；
（2）由（1）可知，点C的轨迹是以（﹣4，0）为圆心，半径为23的圆，
又△ABC的边长AB＝4，
故要使得△ABC的面积最大，即点C到AB的距离最大，即点C的纵坐标的绝对值最大，
由圆的性质可知，圆上的点到x轴的最大距离为23，
故△ABC面积的最大值为12×4×23=43．
20．（2021春•万载县校级期末）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0与直线l：3x﹣4y﹣7＝0相交于M，N两点且|MN|=23；
（1）求m的值；
（2）过点P作圆C的切线，切点为Q，再过P作圆C'：（x+2）2+（y+2）2＝1的切线，切点为R，若|PQ|＝|PR|，求|OP|的最小值（其中O为坐标原点）．
【分析】（1）化圆C的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，写出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式即可求解m值；
（2）设P（x，y），分别求出两切线PQ、PR的长度，由长度相等可得P的轨迹方程，再由点到直线的距离公式求解．
【解答】解：（1）化圆C为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m＞0，
圆心到直线距离l的距离d=|6-4-7|32+42=1，
由题意，|MN|=25-m-1=23，
解得：m＝1；
（2）设P（x，y），由（1）得C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
切线|PQ|=|PC|2-4=(x-2)2+(y-1)2-4，
同理，切线|PR|=|PC'|2-1=(x+2)2+(y+2)2-1，
由(x-2)2+(y-1)2-4=(x+2)2+(y+2)2-1，
化简得到：4x+3y+3＝0．
可知直线4x+3y+3＝0与两圆都无公共点，故P为直线上任意点都符合题意．
因此|OP|最小值即为原点到直线4x+3y+3＝0距离，则|OP|min=d=|4⋅0+3⋅0+3|42+32=35．
21．（2021春•赣州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝3，过点P（﹣3，0）的直线与圆O相交于不同的两点A，B．
（1）求△OAB面积的最大值；
（2）若|AB|＝22，求直线AB的方程．

【分析】（1）设∠AOB＝θ，则θ∈（0，π），则S△AOB=12|OA||OB|sinθ，由于0＜sinθ≤1，进而可得△OAB的面积的最大值．
（2）设圆心O到直线AB的距离为d，由弦长公式可得|AB|＝d＝2r2-d2，解得d＝1=3|k|k2+1=1，解得k，即可得出答案．
【解答】解：（1）设∠AOB＝θ，则θ∈（0，π），
且S△AOB=12|OA||OB|sinθ=12r2sinθ=32sinθ，
因为θ∈（0，π），所以0＜sinθ≤1，
所以△OAB的面积的最大值为32．
（2）设圆心O到直线AB的距离为d，
则|AB|＝d＝2r2-d2=23-d2=22，
解得d＝1，
根据题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k（x+3），
所以d=3|k|k2+1=1，解得k＝±24，
所以直线AB的方程为y＝±24（x+3）．
22．（2021春•瑶海区月考）已知线段AB的端点B的坐标是（6，5），端点A在圆C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4上运动．
（Ⅰ）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；
（Ⅱ）设圆C1与曲线C2的两交点为M、N，求线段MN的长；
（Ⅲ）若点C在曲线C2上运动，点Q在x轴上运动，求|AQ|+|CQ|的最小值．

【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），根据B点坐标，和点P是线段AB的中点，得x0＝2x﹣6，y0＝2y﹣5，再由点A在圆C1上运动，求得点A的轨迹方程，进而可求得点P的轨迹C2的方程；
（Ⅱ）由两圆的方程，相减得到直线MN的方程，根据圆的弦长公式，即可求解|MN|的长；
（Ⅲ）根据圆的性质得|QA|+|QC|≥|QC1|+|QC2|﹣3，由C3为C1关于x轴的对称点，进而可求得|QA|+|QC|的最小值，即可得到|AQ|+|CQ|的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），由于点B的坐标为（6，5），
且点P是线段AB的中点，所以x=x0+62，y=y0+52，
于是有x0＝2x﹣6，y0＝2y﹣5 ①，
因为点A在圆C1：(x-4)2+(y-3)2=4上运动，所以点A的坐标满足方程（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4
即：(x0-4)2+(y0-3)2=4②，
把①代入②得（2x﹣6﹣4）2+（2y﹣5﹣3）2＝4，
整理，得（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1
所以点P的轨迹C2的方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1．
（Ⅱ）圆C1：(x-4)2+(y-3)2=4与圆C2：(x-5)2+(y-4)2=1的方程，
相减得：2x+2y﹣19＝0，
由圆C2：(x-5)2+(y-4)2=1 的圆心为（5，4），半径为 1，
且点（5，4）到直线2x+2y﹣19＝0的距离d=|10+8-19|22+22=24，
则公共弦长|MN|=2r2-d2=21-18=142．
（Ⅲ）C1是以C1（4，3）为圆心，半径r1＝2的圆，
所以|QA|+|QC|≥|QC1|﹣r1+|QC2|﹣r2＝|QC1|+|QC2|﹣3 ③
当且仅当A在线段QC1且C 在线段QC2上时，取等号．
设C3（4，﹣3）为C1（4，3）关于x轴的对称点，
则|QC1|＝|QC3|代入③式得：
|QA|+|QC|≥|QC3|+|QC2|-3≥|C2C3|-3=52-3．
当且仅当C2、Q、C3共线时，取等号．
所以|AQ|+|CQ|的最小值为52-3．