专题25 一次函数中数学思想方法-2022-2023学年八年级数学下册专题提优及章节测试卷（人教版）

专题25 一次函数中数学思想方法（原卷版）

类型一 数形结合思想

1．（2022春•高邑县期中）如图是变量y与x之间的函数图象，则函数y的取值范围是（　　）

A．﹣3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．0≤y≤3 D．1≤y≤3

2．（2022•博望区校级一模）函数y的图象如图所示：其中a、b为常数．由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（　　）

A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0

3．（2022•天津模拟）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点E，点E的横坐标为3．

（1）求点A的坐标；

（2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线交于点C，与直线y＝x交于点D．若CD＝4，求m的值．

4．（2021•罗湖区校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．

（1）求出a值；

（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；

（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？

类型二 方程思想

5．（2021•海淀区校级模拟）定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．

（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是　 　；

（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是　   ；

（3）若（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．

6．（2022春•河东区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．

（1）点D的坐标为　 　；

（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB＝2，求出满足条件的所有点P的坐标　  　．

7．（2019春•上杭县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0）和（3，0）现将线段AB平移得到线段CD，且点A的对应点C的坐标为（0，2），连接AD．

（1）直接写出点D的坐标为　 　，△ABD的面积为　 　；

（2）平移线段AD得线段EF，点A的对应点E的坐标为E（a，b），如果x＝a，y＝b是方程2x+y＝﹣3的解，且点F在第一象限的角平分线上，求a，b的值．

（3）点P（t，0）是x轴上位于点A右侧的动点连接PC，将线段PC向右平移得线段QD，其中点P的对应点为Q，点C的对应点为D，H是DQ的中点，如果△BDH和△PBD面积相等，求t的值．

类型三 分类讨论思想

8．（2021秋•和平区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤6，则kb的值为（　　）

A．8 B．﹣24 C．8或24 D．﹣8或﹣24

9．（2022秋•裕华区校级月考）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，（如图：而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．

（1）求直线l的解析式；

（2）请在图上画出直线l′（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；

（2）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

10．（2020秋•南海区月考）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；

（2）模型应用，如图2：

①已知直线yx+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；

②在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

类型四 函数与建模思想

11．（2022•方城县三模）某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元．

（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？

（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售，已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．设运往甲地的A商品为x（件），总运费为y（元）．

①请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②设投资的总费用为w元，怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费）

12．（2022春•固始县期末）某校计划购买A、B两种防疫物资共200套，要求A种物资的数量不低于B种物资数量的，且不高于B种物资数量的，A、B两种物资的单价分别是150元/套、100元/套，设购买A种物资x套，购买这两种物资所需的总费用为y元．

（1）直接写出y关于x的函数关系式．

（2）求总费用y的最小值．

13．（2022•河西区二模）假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，游轮从甲地到达丙地共用了23小时．

若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．

（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长 　 　；游轮在乙地停留的时长 　 　；

（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；

（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？

14．（2022秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：

【模型运用】

（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；

（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；

（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．