初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式巩固练习

专题07 分母有理化问题

1.分母有理化的概念：

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2.常见类型：

常见类型一：．

常见类型二：．

其中，我们称是的“有理化因子”，是的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．

3.有理化因式的概念：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。

4.熟记一些常见的有理化因式：

的有理化因式是；

的有理化因式是；

的有理化因式是；

的有理化因式是；

的有理化因式是。

5.分母有理化十法

分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。

通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。

【例题1】下列各数中与的积是有理数的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平方差公式可知与的积是有理数的为；

【解析】；故选：D．

【点睛】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．

【例题2】“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，

除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.

设，且，∴，

∴，∴，∴，

∵，∴原式，故选D．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.

【例题3】计算 

【答案】见解析。

【解析】先通分，找准分子公因数。

原式

【例题4】计算

【答案】见解析。

【解析】设，则

1.将下列各式分母有理化

（1）；  （2）。

【答案】见解析。

【解析】分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．的有理化因子是，的有理化因子是，

（1）

（2）。

2.计算

【答案】见解析。

【解析】设，则

3.化简

【答案】4/3

【解析】因为

又因为

所以原式

4.用配方法化简

【答案】见解析。

【解析】原式

5.用拆解法化简

【答案】见解析。

【解析】原式

6.计算

【答案】见解析。

【解析】原式

7.计算

【答案】3/7

【解析】

原式

8.化简

【答案】见解析。

【解析】原式

9.化简

【答案】见解析。

【解析】因为

所以原式

注：应用的性质。

10.计算

【答案】见解析。

【解析】因为

所以原式

注：逆用法则进行转换，再应用“互为相反数的两数和为零”的性质。

11.已知，求的值。

【答案】见解析。

【解析】因为，

所以它的倒数

而

则