【中考一轮复习】2023年中考数学复习训练——第10讲 方程与不等式综合（含解析）

这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学复习训练——第10讲 方程与不等式综合（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．方程的解是 （ ）
A．B．C．D．
2．方程组的解是 （ ）
A．B．C．D．
3．与2的差不大于0，用不等式表示为 （ ）
A．B．C．D．
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是 （ ）
A．B．C．D．
6．若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过 （ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
8．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为 （ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
二、填空题
9．若关于x的方程的解是，则a的值为__________．
10．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______．
11．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________．
12．不等式组的解集是_____．
13．某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件______元．
14．对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．
15．已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____．
16．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
三、解答题
17．解方程：
18．已知方程组的解满足，求k的取值范围．
19．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
20．解方程：
21．某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为元，销售价格为元，B产品每件成本为元，销售价格为元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为元，销售总利润为元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共件，且使总利润不低于元，则B产品至少要生产多少件？
22．某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
(2)该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
23．某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．
(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？
24．今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动．
①若直线交直线OC于点E，则线段的长为________（用含有m的代数式表示）；
②当时，S与m的关系式为________；
③当时，m的值为________．
参考答案：
1．D
【分析】通过移项、合并同类项、系数化为1三个步骤即可完成求解．
【解析】解：,
,
；
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是牢记解一元一次方程的基本步骤，即“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”，并能灵活运用；本题较基础，考查了学生的基本功．
2．B
【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可．
【解析】，
②-①得：，即，
∴．
将代入①得：，
∴．
故原二元一次方程组的解为．
故选B．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解答本题的关键．
3．D
【分析】根据差运算、不大于的定义列出不等式即可．
【解析】解：由题意，用不等式表示为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握“不大于是指小于或等于”是解题关键．
4．B
【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可．
【解析】解：
移项合并得：，
系数化1得：，
表示在数轴上为∶
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键．
5．C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解析】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．
【解析】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，
∴,
∴一次函数表达式为，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．
7．D
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解．
【解析】解：根据题意得：a≠0且，即
，
解得：且，
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8．D
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9．3
【分析】将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．
【解析】解：根据题意，知
，
解得a=3．
故答案是：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
10．
【分析】将代入方程，结合，进行求解即可．
【解析】解：将代入方程，得：
，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0．
11．4
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可．
【解析】解：根据题意得，
解得m=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．
12．x＞2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【解析】解：
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．
13．15
【分析】设该商品的标价为每件x元，根据八折出售可获利2元，可得出方程：80%x-10=2，再解答即可．
【解析】解：设该商品的标价为每件x元，
由题意得：80%x-10=2，
解得：x=15．
所以该商品的标价为每件15元．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难度一般．
14．
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【解析】解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
15．1
【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即可．
【解析】解：把代入ax+by＝3可得：
，
2a+4b﹣5

．
故答案为：1
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键．
16．
【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．
【解析】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
17．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【解析】解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
18．
【分析】先求出二元一次方程组的解，代入中即可求k；
【解析】解：令①+②得，，
解得：，
将代入①中得，，
解得：，
将，代入得，，
解得：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】（1）解：，
，
∴，
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
20．
【分析】先方程两边同时乘以，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．
【解析】解：方程两边同时乘以得到：，
解出：，
当时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．
21．(1)这个月生产产品件，产品件
(2)140件
【分析】（1）设生产产品件，产品件，根据题意列出方程组，求出即可；
（2）设产品生产件，则产品生产件，根据题意列出不等式组，求出即可．
【解析】（1）解：设生产产品件，产品件，
根据题意，得
解得，
∴这个月生产产品件，产品件，
答：这个月生产产品件，产品件；
（2）解：设产品生产件，则产品生产件，
根据题意，得，
解这个不等式，得．
∴产品至少生产件，
答：产品至少生产件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题的关键．
22．(1)每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元
(2)5
【分析】（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．”列出方程组，即可求解；
（2）设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据“总费用不超过1100元，”列出不等式，即可求解．
【解析】（1）解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据题意得：
，解得：，
答：每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）解：设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据题意得：
120m+100（10-m）≤1100，
解得m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读憧题意，列出方程组和不等式．
23．(1)z＝﹣+12x﹣320，当x＝60时，z最大，最大利润为40
(2)45≤x≤75，x＝45时，销售量最大
【分析】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣40，可得 z 与x的函数解析式，再求出时，z最大，代入即可．
（2）当 z =17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出 x的范围，结合 y 与 x的函数关系式，从而解决问题．
（1）
由题可知：
z＝y（x﹣30）﹣50
＝（﹣）（x﹣30）﹣50
＝﹣+12x﹣320，
∴当时，z最大，
∴最大利润为：﹣＝40；
（2）
当z＝17.5时，17.5＝﹣+12x﹣320，
∴x1＝45，x2＝75，
∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0，
∴45≤x≤75，
∵y＝﹣x+9．y随x的增大而减小，
∴x＝45时，销售量最大．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出 z 关于x的函数的解析式是解题的关键．
24．(1)去年每吨土豆的平均价格是2200元
(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元
【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
【解析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，
由题意得， ，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）由（1）得，今年的土豆数为：(吨)，
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，
由题意得，，
解得：，
总利润为：，
当时，利润最大，最大利润为：（元）．
答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
25．(1)y＝﹣x+9；
(2)①m；②m2；③或15﹣2．
【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；
（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；
②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC，利用三角形面积公式可得出本题结果；
③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可．
【解析】（1）解：将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，
∴，
解得．
∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；
（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，
令y＝0，则x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝12，OB＝9，
∴AB＝15；
如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，
∴CF∥OA，
∴∠OAB＝∠FCC′，
∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，
∴△CFC′∽△AOB，
∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，
∵CC′＝m，
∴CF＝m，C′F＝m，
∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），
∵C（8，3），
∴直线OC的解析式为：y＝x，
∴E（8﹣m，3﹣m）.
∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．
故答案为：m．
②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），
解得m＝ ，
∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，
此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；
故答案为：m2．
③分情况讨论，
当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；
令S＝m2＝ ，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；
当≤m＜5时，如图2，
设线段A′D′与直线OC交于点M，
∴M（m，m），
∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，
D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；
∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）
＝﹣m2+m﹣12，
令﹣m2+m﹣12＝；
整理得，3m2﹣30m+70＝0，
解得m＝ 或m＝＞5（舍）；
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；
当10≤m＜15时，如图4，
此时A′B＝15﹣m，
∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），
∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，
令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．
故答案为：或15﹣2．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积、相似三角形的性质与判定、一元二次方程、分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．