【中考一轮复习】2023年中考数学复习训练——第15讲 二次函数A（含解析）

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1．抛物线的顶点坐标是 （ ）
A．B．C．D．
2．将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是 （ ）
A．B．C．D．
3．抛物线的一部分如图所示，该抛物线在轴右侧部分与轴交点的坐标是 （ ）
A．（，0）B．（1，0）
C．（2，0）D．（3，0）
4．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是 （ ）
A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2
5．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为 （ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
6．在函数中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”）
7．二次函数的图像开口方向是_______（填“向上”或“向下”）．
8．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
9．若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．
10．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．
三、解答题
11．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
12．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
13．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积．
14．已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．
（1）求a，b的值；
（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
15．如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S．
(1)求的长；
(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
16．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．
参考答案：
1．B
【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．
【解析】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
2．A
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解析】解：∵抛物线向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：．
故选：A．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
3．B
【解析】由解析式可知顶点坐标为（-1,2），
抛物线在轴左侧部分与轴交点的坐标是（-3,0），所以在轴右侧部分与轴交点的坐标是（1，0），故选B
4．B
【分析】结合图象和解析式，利用二次函数的性质解决问题．
【解析】∵二次函数y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，对称轴x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大.
∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
5．A
【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解．
【解析】解：∵二次函数的图象经过P（1，3），
∴，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过Q（m，n），
∴即，
∴
，
∵，
∴的最小值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
6．增大
【分析】根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为 ，在对称轴右侧y随x的增大而增大，可得到答案．
【解析】由题意可知: 函数,开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为，
∴当时，y随的增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键．
7．向上
【分析】根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向．
【解析】解：∵二次函数，a=1＞0，
∴二次函数的图象开口方向向上，
故答案是：向上．
【点睛】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．
8．2
【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【解析】根据题意，有，
当时，有最大值．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．
9．4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．
【解析】解：∵，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
10．
【分析】由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
【解析】解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是根据题意进行代入消元，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
11．(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
【解析】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m1=1，m2=−3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
12．(1)
(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元
【分析】（1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案；
（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．
【解析】（1）解：设，把，和，代入可得
，
解得，
则；
（2）解：每月获得利润


．
∵，
∴当时，P有最大值，最大值为3630．
答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．
【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．
13．（1）抛物线的解析式为；（2）
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得，进而可得，然后问题可求解．
【解析】解：（1）把点和点代入抛物线可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
14．（1）；（2）
【分析】（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值；
（2）将(5，)，(m，)代入解析式，联立即可求得m的值.
【解析】（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13），
∴，解得，
∴a的值为1，b的值为-4；
（2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，
∴，解得或（舍去）
∴m的值为-1.
【点睛】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键.
15．(1)8
(2)
【分析】（1）根据勾股定理可求出BD的长，进而求得AD的长；
（2）利用相似可求出QP的长，然后利用三角形面积公式可求出关系式,注意分在线段和在线段上分别讨论．
（1）
解：∵，，，
∴，
∵，
∴=5，
∴AC=AD+DC=5+3=8；
（2）
解：由（1）得AD=5，
∵AP=x，
∴PD=5-x，
∵过点P作的垂线，与相交于点Q，
∴，
∵，
∴即，
在和中
，
∴，
∴
∴
∵与重叠部分的面积为S
∴的面积为S
即，
∵点P不与点A，D，C重合，
∴，
即．
当在上运动时，如图，设交于点，
则
即
综上所述，
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形，三角形的面积公式，解题的关键是能找到各个边长的关系．
16．(1)，，t=3，
(2)点
(3)
【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；
（2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解；
（3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解．
（1）
解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
（2）
解：如图，作轴于点，
对于，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵∠CAP=90°，
∴，
∵，
∴，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
（3）
解：如图，作轴交于点，过点作轴于点，
∵，
∴点，
∴，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．