人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率练习题

【优编】6.1.1 函数的平均变化率-2同步练习

一．填空题

1．函数的图象在点处的切线方程为______．

2．设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，的面积的取值范围是________.

3．函数的图像在处的切线方程为______.

4．已知幂函数y= f(x)的图象过点，则曲线y= f(x)在点处的切线方程为___________

5．函数的图像在处的切线方程为__________．

6．设点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离为_______.

7．曲线在点处的切线方程为_____________

8．已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则________.

9．已知直线与曲线相切，则的最大值为______.

10．对于函数有下列命题：

①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为；

②函数f(x)的最小值为；

③该函数图象与x轴有4个交点；

④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.

其中正确命题的序号是_____.

11．函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数的值为__________.

12．函数的图象在处的切线方程________.

13．已知曲线，过点的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为______________.

14．已知直线与曲线相切，则_______.

15．若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求得的导数，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．

详解：因为，所以切线的斜率为，又，切点，

故切线方程为，即．

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，导数的求法，以及直线方程的应用，属于基础题．

2．【答案】

【解析】分析：因为，可确定分别在分段函数的两段上，设，且，通过导数可求得切线斜率；根据相互垂直可得到；通过的方程可求得两点坐标，从而得到；联立求得点横坐标，从而将面积表示为，根据可求得面积的取值范围.

详解：由题意可知，，且明显地，分别在分段函数的两段上

设，且   

，    ，即：

方程为：；方程为：

，   

联立可得点横坐标为：

且在上单调递减   

，即的面积的取值范围为：

本题正确结果：

【点睛】

关键点睛：解题的关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元，进而求解的问题；求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；难度属于困难

3．【答案】

【解析】分析：首先计算，得到切点为，求导将代入得到，再利用点斜式写出切线方程即可.

详解：，切点为.

，，切线为，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，属于简单题.

4．【答案】

【解析】分析：由题可得，求出在处的导数，即切线斜率，即可求出切线方程.

详解：设，将代入，，解得，

，则，，

则切线方程为，即.

故答案为：.

5．【答案】

【解析】分析：本题首先可以根据题意求出导函数以及的值，然后根据以及直线的点斜式方程即可得出结果.

详解：因为，所以，，

因为，

所以函数在处的切线方程为，即，

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数在某一点处的切线方程的求法，考查导数的几何意义，函数在某一点处的导数即函数在这点处的切线斜率，考查计算能力，是简单题.

6．【答案】

【解析】分析：设平行于的直线与曲线相切于点，得到，求得，结合点到直线的距离公式，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，

设平行于直线的直线与曲线相切于点，

可得，

令，解得，可得，即点，

则点到直线的距离为，

即点点P到直线的最小距离为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离的求解，其中解答中把曲线上的点到直线的距离之和为切点到直线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算能力.

7．【答案】

【解析】分析：求出导数，进而利用导数的几何意义求出所求切线的斜率，再求出即可写出切线的点斜式方程.

详解：，，

又，曲线在点处的切线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数求曲线的切线，属于基础题.

8．【答案】

【解析】分析：设公共点为，由，求出，从而求出，将点代入即可求解.

详解：，，

则，

设公共点为，且，由，

即，解得或（舍去），

所以，

所以，解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

9．【答案】

【解析】分析：设切点，利用和可得出，即，构造函数，求出导数，利用导数即可求出最值.

详解：设切点，

则 ，得，

又，得，

则，

所以，

令，

则，

故当时，；当时，，

故当时取得极大值即最大值.

故答案为：e.

【点睛】

本题考查导数与切线关系，考查利用导数求最值，属于中档题.

10．【答案】①②④

【解析】分析：求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.

详解：x≤0时，f(x)＝2xex，f′(x)＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝，①正确；

且f(x)在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f(x)有最小值f（﹣1）＝，

x＞0时，f(x)＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f(x)有最小值f（1）＝

故f(x)有最小值，②④正确；

令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；

故答案为：①②④

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性．求函数的最值一定注意定义域.

11．【答案】

【解析】分析：由导数的几何意义可得函数的图象在点处的切线斜率，再由直线平行的性质即可得解.

详解：对函数求导得，

所以，所以函数的图象在点处的切线斜率为，

又该切线与直线平行，所以即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数几何意义的应用，考查了直线平行的性质，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在处的切线斜率，进而可得切线方程.

详解：因为当时，，则，

所以，即函数的图象在处的切线为，

又，故所求切线方程为，即.

故答案为：.

13．【答案】0或或

【解析】分析：设切点的坐标，由求出切线方程，把代入切线方程可求得切点坐标．

详解：设的坐标为，，

过点的切线方程为，

代入点的坐标有，

整理为，

解得或或，

故答案为：0或或.

【点睛】

本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：

（1）函数图象在点处的切线方程，求出导函数，得出切线方程；

（2）函数图象过点处的切线方程：设切线坐标，求出切线方程为，代入求得，从而得切线方程．

14．【答案】

【解析】分析：设切点为，求出切线方程，利用切线方程就是可求得切点坐标和值．

详解：设切点为，，所以，又，解得，

故答案为：．

15．【答案】

【解析】分析：求出导函数，只需有正解，分离参数可得，利用基本不等式即可求解.

详解：函数定义域为，导函数为，

使得存在垂直于y轴的切线，即有正解，可得有解，

因为，所以，当且仅当““时等号成立，

所以实数a的取值范围是

故答案为：