人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率练习题

【精选】6.1.1 函数的平均变化率-2作业练习

一．填空题

1．函数在点处的切线方程为______________；

2．已知直线是曲线的切线，则_________.

3．已知直线与曲线相切，则_______.

4．曲线在点处的切线的方程为__________.

5．函数的图象在点处的切线方程为____

6．曲线在处的切线方程是________.

7．若曲线在点处的切线的斜率为，则_________.

8．已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是______.

9．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为_______．

10．曲线在处的切线方程为______.

11．函数的图象在处的切线方程为，则________.

12．函数的图象在点处的切线方程是______．

13．曲线在点处的切线斜率为_____________.

14．曲线在点处的切线方程为_______．

15．定义两条曲线的“正交点”：曲线与曲线交于点，且在处的切线互相垂直．下列各组曲线存在“正交点”的是________（填序号）．

①与；②与，；③与，

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由题意，求得，得到，进而得到切线的斜率，在利用直线的点斜式，即可得到切线的方程．

详解：由题意，函数，可得，则，

即切线的斜率为，又，

所以函数在点处的切线方程为，

即．

【点睛】

本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，利用导数的几何意义解题时的注意点：①首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出；②切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组；③在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．

2．【答案】2

【解析】分析：设出切点坐标，根据切点的纵坐标等于曲线在处的函数值以及导数的几何意义求解出的值，从而的值可求.

详解：设切点为，则，

由得，

所以，解得，所以,

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：已知曲线的切线方程求解参数值的步骤：

（1）设出切点坐标，根据切点的纵坐标的值等于曲线在处的函数值，得到第一个方程；

（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率，得到第二个方程；

（3）两个方程联立求解出其中参数的值.

3．【答案】

【解析】分析：设切点为，求出切线方程，利用切线方程就是可求得切点坐标和值．

详解：设切点为，，所以，又，解得，

故答案为：．

4．【答案】

【解析】分析：求出导函数，得切线斜率后可得切线方程．

详解：，∴切线斜率为，

切线方程为．

故答案为：．

5．【答案】

【解析】分析：求出导函数，计算得切线斜率，写出切线方程．

详解：由题意，∴，又，

∴切线方程为，即．

故答案为：．

6．【答案】

【解析】分析：求出函数的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可.

详解：解：由函数知，

把代入得到切线的斜率

则切线方程为：，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题．

7．【答案】5

【解析】分析：先对函数求导，根据导数的几何意义，列出等式，即可得出结果.

详解：因为，所以，

又曲线在点处的切线的斜率为，

∴，∴.

故答案为：5.

8．【答案】（或）

【解析】分析：由题意可知，直线的斜率为，对函数求导，由求得切点的坐标，再利用点斜式可求得直线的方程.

详解：直线的斜率为，由于直线与直线平行，则直线的斜率为，

对函数求导得，令，解得或（舍去），

所以切点的坐标为.

故直线的方程为，即

故答案为：（或）.

9．【答案】

【解析】分析：利用换元法令，求出的表达式，再利用切线方程即可求出.

详解：令，则，所以，即，

，，，

所以切线方程为，即，

故答案为：.

【点晴】

此题考换元法求函数解析式和曲线的切线方程的求法，属于简单题.

10．【答案】

【解析】分析：由题意知切点为，根据导数的几何意义求切线的斜率，即可得切线方程；

详解：，.又曲线过点，故切线方程为.

故答案为：；

【点睛】

本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，首先由切点在曲线上求点坐标，进而由该点导数的几何意义求斜率，写出切线方程，属于简单题；

11．【答案】

【解析】分析：根据导数的几何意义可得，根据切点在且线上可得.

详解：因为切线的斜率为，所以，

又切点在切线上，所以，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：先由函数求导，再计算和，然后由直线的点斜式写出切线方程．

详解：由题意知，，，

所以函数的图象在点处的切线方程是，

即．

故答案为：.

13．【答案】9

【解析】分析：求出函数的导数，将代入即可

详解：由题意可得

所以曲线在点处的切线斜率为

故答案为：9

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14．【答案】

【解析】分析：对求导可得，可得，再计算

，利用点斜式可写出直线的方程.

详解：因为，所以，所以切点为

因为，

所以，

所以在点处的切线方程为，

即，

故答案为：

15．【答案】③

【解析】分析：分别对各选项利用导数研究函数的切线，即可得解；

详解：解：①联立得方程组解得或或，设，，则，，当时，，此时两切线不垂直，当时，，此时两切线不垂直，当时，，此时两切线不垂直，综上与不存在“正交点”；

②与，，所以，因为直线的斜率为，所以解得，故切点坐标为，又因为，所以点不在直线上，故不存在“正交点”

③与，，假设两曲线存在“正交点”，如图设为正交点，直线为圆的切线，直线为抛物线的切线，由题意，得直线需过原点，对求导，得，所以，解得（负值舍去），所以，将点坐标代入，得，因为方程在上有解，所以两曲线存在“正交点”；

故答案为：③

【点睛】

本题以新定义“正交点”为载体，考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.