高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率一课一练

【优编】6.1.1 函数的平均变化率-1作业练习

一．填空题

1．直线与曲线相切于点，则b的值为__________.

2．函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______________.

3．设函数，若无最大值，则实数的取值范围为______.

4．已知函数的导函数是偶函数，若则的取值范围是____________

5．曲线在点处的切线方程为____________．

6．曲线在点处的切线方程是______.

7．若函数的图象在点处的切线平行于x轴，则______．

8．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是______．

9．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t．

10．曲线在点处的切线方程为____________．

11．设曲线在处的切线方程为，则实数的值为________.

12．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则_____.

13．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是______.

14．已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______．

15．曲线在点处的切线方程是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由题意可得曲线过点可得，利用导数的几何意义可得曲线在点处的切线斜率，再求切线方程即可得解.

详解：解：因为曲线过点，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以曲线在点处的切线斜率.

因此，曲线在点处的切线方程为，

即，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了曲线在某点处切线方程的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

2．【答案】

【解析】分析：利用导数求出切线的斜率得切线方程，再求得切线在坐标轴上的截距后可得面积．

详解：由

，在点处的切线的斜率为

∴切线方程为，即，在轴上的截距为，轴上的截距为，

切线与两坐标轴围成的三角形面积为.

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，解题关键是正确求出导数．

3．【答案】

【解析】分析：画出函数和的图象，利用导数分析函数的图象的特征和关系，得到的图象，利用数形结合思想考察图象，得到无最大值的条件，解得的取值范围.

详解：解：画出函数和的图象，,, 函数和的图象在处相切，由三次函数和一次函数的性质可知，在时,当时，,

令=0，得,

当时，取得极大值为,

结合图象观察可知，当且仅当时函数f(x)没有最大值，

解得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导函数研究函数的图象和图象间的关系，涉及分段函数，三次函数的性质，关键是数形结合思想的运用，属中高档题.

4．【答案】

【解析】分析：求函数的导数，利用函数的奇偶性求出a的值，求函数的导数，判断函数导数的最小值，数形结合进行求解.

详解：，

因为是偶函数，所以，即，

可得，所以，则，

因为，当且仅当即时取等号，

所以当时，函数为增函数，且过原点的切线斜率最小为2，

要使成立，则.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数奇偶性的应用．导数的求解．利用导数研究函数的单调性．导数的几何意义，属于较难题.

5．【答案】.

【解析】分析：求出，利用点斜式即可写出直线．

详解：，，，

∴切线的方程，，即，

故答案为．

【点睛】

本题考查函数的切线方程，属于基础题．

6．【答案】2x？y？1=0.

【解析】分析：求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到曲线在点P（1，1）处的切线方程．

详解：的导数为，

则曲线在点P(1,1)处的切线斜率为2，

即有曲线在点P(1,1)处的切线方程为y？1=2(x？1).

即2x？y？1=0.

故答案为：2x？y？1=0.

【点睛】

本题考查导数的应用，利用导数研究曲线上某点切线方程，对函数求导代入点的坐标可得切线斜率，即可求出点斜式方程，进而求得直线一般方程，属于简单题.

7．【答案】-2

【解析】分析：本题可以先求出函数的导函数，再通过函数在点处的切线平行于轴得出的值，最后得出结果．

详解：因为函数，所以

因为函数在点处的切线平行于轴，

所以所以

【点睛】

曲线在曲线上的某一点的切线方程的斜率就是曲线在这一点处的导数．

8．【答案】1

【解析】分析：求出切点，将切点代入切线方程即可求解.

详解：直线是曲线的一条切线，

设切点为

由，则，

解得，所以，

切点满足切线方程可得，解得.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了导数的几何意义．由切线方程求参数值，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

9．【答案】40.15

【解析】分析：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，求出水净化到纯净度为时所需费用函数的导数，即可算出结果．

详解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，

因为．

所以，

又因为，

所以净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是40.15元，

故答案为：40.15.

【点睛】

本题考查函数的导数的实际意义，考查学生的计算能力，比较基础．

10．【答案】

【解析】分析：求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．

详解：由，则

由题意，则

所以曲线在点处的切线的斜率为

所以所求切线方程为：，即

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是．属于基础题.

11．【答案】2

【解析】分析：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，则答案可求．

详解：解：由，得，

．

又曲线在处的切线方程为，

．

故答案为：2.

【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数，属于基础题．

12．【答案】

【解析】分析：设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，根据题意列出等式组，消元可得出关于实数的方程，即可求得实数的值.

详解：设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，

对于函数，求导得，由题意可得，则；

对于函数，求导得，由题意可得，可得.

所以，，即，

由于函数的定义域为，则，可得，，.

，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用两函数图象的公切线方程求参数，考查计算能力，属于中等题.

13．【答案】

【解析】分析：首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率

详解：解：因为，

所以，所以，

所以，

所以曲线在点处的切线的斜率为，

故答案为：

【点睛】

此题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，属于基础题

14．【答案】3

【解析】分析：根据导数的几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案.

详解：由导数的几何意义可得，，

又在切线上，

所以，则=3，

故答案为：3

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.

15．【答案】

【解析】分析：先求出函数的导数，再求出，再根据直线方程的点斜式即可求出结果.

详解：设，所以

所以，

所以点处的切线方程为，即，整理可得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础题.