人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率一课一练

【精挑】6.1.1 函数的平均变化率-3同步练习

一．填空题

1．曲线在点P）处的切线方程是________.

2．曲线在点处的切线方程为___________

3．函数的图象在点处切线的方程为______.

4．已知函数的导函数为，若曲线在处的切线为，则________.

5．已知函数，则函数在处的切线方程为______．

6．已知函数，则函数在区间上的平均变化率为_______

7．若函数（其中为实数，是自然对数的底数）的图象经过点，则曲线在点处的切线方程为__________．

8．已知曲线的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为_________．

9．已知函数f(x)=x2lnx+x，则f(x)在点处的切线方程为___________.

10．若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）

①直线：在点处“切过”曲线：.

②直线：在点处“切过”曲线：.

③直线：在点处“切过”曲线：.

④直线：在点处“切过”曲线：.

⑤直线：在点处“切过”曲线：.

11．曲线在点(0，f(0))处的切线方程为______________.

12．已知点，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过作，点为垂足，过作抛物线的切线，与交于点，则的最小值为______．

13．设函数在内可导，其导函数为，且，则在点处的切线方程为__________.

14．若曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为________.

15．若曲线上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数的值为____.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先利用导数求出斜率，再用点斜式写出切线方程.

详解：因为，所以，

所以切线斜率

所以切线方程为：，

故答案为：.

【点睛】

用导数求切线方程常见类型：

(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；

(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.

2．【答案】

【解析】分析：求出导函数，求得切线斜率，由点斜式得直线方程，整理即可．

详解：由已知，时，，又，

切线方程为，即．

故答案为：．

3．【答案】

【解析】分析：求出导函数，然后求出时的导数值，函数值，由点斜式写出直线方程并化简．

详解：

当时，.

又当时，，

函数的图象在点处切线的方程为，

即.

4．【答案】

【解析】分析：利用导数的几何意义即可得到答案.

详解：由导数的几何意义，知，，

所以.

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：利用导数的几何意义求切线方程在处的斜率，并求出，即可写出切线方程.

详解：由题意，，即，而，

∴切线方程为，整理得.

故答案为：.

6．【答案】12

【解析】分析：根据平均变化率的定义计算可得答案.

详解：由定义可知，平均变化率为.

7．【答案】

【解析】分析：先根据函数图像过点，求出，求出导数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程.

详解：由函数的图象经过点，则，得

所以，则

由，

所以曲线在点处的切线方程：

所以切线方程为：

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：先求导，利用切线斜率为1解得切点坐标，再利用点斜式写出切线方程，即得结果.

详解：已知曲线，则，

设斜率为1的切线的切点为，则，即，而，

故，即切点为，则切线方程为，即.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】分析：根据导数的几何意义，结合导数的运算性质进行求解即可.

详解：，∴，又f（1）=1，

∴f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为，

故答案为：

10．【答案】①③

【解析】分析：根据直线在点处“切过”曲线的定义，对5个函数逐个判断可得答案.

详解：对于①，由，得，所以，则直线：是曲线：在点处的的切线，

又当时，，当时，，满足曲线在附近位于直线的两侧，故直线：在点处“切过”曲线：，故①正确；

对于②，由，得，所以，而直线：的斜率不存在，在点处与曲线：不相切，故②不正确；

对于③，由，得，所以，则直线：是曲线：在点处的切线，

令，则，当时，，函数递增，所以当时，，当时，，函数递增，所以当时，，所以当时，，当时，，所以曲线在附近位于直线的两侧，

故直线：在点处“切过”曲线：，故③正确；

对于④，由，得，所以，则曲线：在点处的切线方程为，即，

令，则，当时，，函数递增，当时，，函数递减，则当时，函数取得极小值，同时也是最小值，则，即，

则曲线：不在切线：的两侧，故④不正确；

对于⑤，由，得，所以，所以曲线：在点处的切线方程为，即，

令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，

所以当时，函数取得极小值，也是最小值，所以，所以曲线：不在切线：的两侧，故⑤不正确.

故答案为：①③

【点睛】

关键点点睛：对直线在点处“切过”曲线的定义正确理解是解题关键.

11．【答案】

【解析】分析：求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．

详解：由已知求导得所以

所以曲线在点处切线方程为：即

故答案为：．

12．【答案】5

【解析】分析：根据导数的几何意义结合直线垂直的斜率关系得出为线段的垂直平分线，进而得出，从而得出.

详解：连接，由题意可得，由得，设，则，则切线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以，又，所以为线段的垂直平分线，所以，所以

故答案为：

【点睛】

关键点睛：过抛物线上一点作垂直准线于点，则抛物线在点处的切线为的平分线及线段的垂直平分线（为抛物 线的焦点）.

13．【答案】

【解析】分析：由求得，再求其在的导数值即切线的斜率和在处的函数值，代入直线的点斜式方程可得答案.

详解：令，则，所以，

因为，所以，得，

所以，

由点斜式方程得，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查了由导数的几何意义及求切线方程，属于基础题.

14．【答案】

【解析】分析：利用切线与直线平行可得切线斜率，利用导数的几何意义构造方程可求得切点坐标，验证是否与平行后即可得到结果.

详解：设，，，

在点处的切线平行于直线：，，即，解得：，

当时，，则切线方程为，即，与重合，不合题意；

当时，，则切线方程为，即，与平行；

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】

易错点点睛：本题容易忽视对所得直线是否与给定直线重合进行检验，从而导致增解．

15．【答案】1

【解析】分析：求出原函数的导函数，由切线的倾斜角都为锐角，知导函数大于0恒成立，转化为一元二次不等式大对应二次方程的判别式小于0，进一步求解关于的不等式得答案.

详解：由，求导得,

曲线上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,

对任意实数，恒成立，故，

即，解得：，整数的值为1.

故答案为：1

【点睛】

关键点点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，理解函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率时解题的关键，考查了数学转化思想方法，是中档题.