高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率练习题

【优选】6.1.1 函数的平均变化率-2课时练习

一．填空题

1．已知函数（为自然对数的底数），则在处的切线方程为_______.

2．若直线与曲线相切，则实数的值为______.

3．函数的图象在处的切线方程________.

4．设曲线在点处的切线方程为，则______.

5．曲线在点处的切线方程为_______.

6．设，当取得最小值时，函数的最小值为___________.

7．已知函数的图象在点，（1）处的切线方程为__．

8．函数在处的切线方程为_________

9．函数在点处的切线方程是_____．

10．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是______．

11．曲线在处的切线方程为_________．

12．已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为______

13．若直线为函数图象的切线，则它们的切点的坐标为______

14．曲线在点处的切线方程是________.

15．若曲线的一条切线是，则的最小值是______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：首先对函数求导，求得，，之后利用点斜式求得直线的方程，得到结果.

详解：∵，

∴；

知，，

故可得切线方程为.

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求函数图象在某个点处的切线方程，属于简单题目.

2．【答案】

【解析】分析：先求函数的导数，则，写出切线方程与结合条件可得，从而得出答案.

详解：,设切点为，

则切线的斜率为

曲线在切点处的切线方程为，

所以解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查根据切线方程求参数的值，属于基础题.

3．【答案】

【解析】分析：先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在处的切线斜率，进而可得切线方程.

详解：因为当时，，则，

所以，即函数的图象在处的切线为，

又，故所求切线方程为，即.

故答案为：.

4．【答案】3

【解析】分析：利用导数的几何意义即可求解.

详解：由，

则，

根据题意可得，即，

解得.

故答案为：3

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】分析：先根据曲线的方程求切点坐标与导函数，再求切线的斜率，最后求切线方程.

详解：解：因为，所以，且切点为，

所以切线的斜率为

所以切线方程为：，整理得

故答案为：.

【点睛】

本题考查求在曲线上一点处的切线方程，是基础题.

6．【答案】10

【解析】分析：表示点与点距离的平方，而点是直线上任一点，点（）是反比例函数在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得，从而得，再利用绝对值三角不等式可求出函数的最小值

详解：解：表示点与点距离的平方，

而点是直线上任一点，

点是反比例函数在第四象限上的点，

当是斜率为的直线与相切的切点时，

点到直线的距离即为的最小值，

由，

，

所以，

当且仅当取等号，

所以函数的最小值为10，

故答案为：10

【点睛】

此题考查两点间的距离公式以及导数几何意义的应用，考查绝对值三角不等式的应用，考查分段函数，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题

7．【答案】

【解析】分析：求得的导数，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．

详解：函数的导数为，

可得在点，（1）处的切线的斜率为，

又（1），则切线的方程为，

即为．

故答案为：．

【点评】

本题考查导数的几何意义，以及直线方程的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

8．【答案】

【解析】分析：首先求函数的导数，然后利用导数的几何意义求切线方程.

详解：求导得，得，切点为，

所以切线方程为:，化简为：.

故答案为:.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，重点考查计算能力，属于基础题型.

9．【答案】

【解析】分析：求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，则且，

所以在点处切线方程是，即．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

10．【答案】

【解析】分析：首先求出导函数，求出，利用导数的几何意义即可求解.

详解：由，则，

所以，

设切线的倾斜角为，

所以，

因为，

所以.

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：先求导数，求得的值，并利用导数求得的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

详解：，，

根据导数的几何意义可知曲线在点处的切线斜率为，

∴切线方程为，即．

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：函数有三个零点，可转化为与直线有三个交点，对 分类讨论，当时不满足条件，当时求出过原点与函数在上的切线，数形结合即可求解.

详解：如图，函数恰有三个零点，等价于方程，有三个解，

即函数与函数的图象有三个交点，又有为过原点的直线

由图可知，当时，函数的图象与函数的图象没有有三个交点，不满足条件.

当时, 当且仅当为的切线的时候，方程恰有两个解，

故而，令为的切线，设切点为，

则切线的方程为，

由于切线过原点，所以，即，此时直线的斜率为，

由题意知，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，函数切线的求法，函数的零点个数的判定，数形结合的思想，属于中档题.

13．【答案】或

【解析】分析：设切点坐标为，对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，求出切点横坐标，进而可求出结果.

详解：设直线与函数图象切于点，

由得，则在点处的切线斜率为，解得，

所以，

即切点坐标为或.

故答案为：或.

【点睛】

本题主要考查由曲线的切线方程求切点坐标，属于基础题型.

14．【答案】

【解析】分析：根据导数的几何意义先求解出切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程.

详解：，.又，所以切点坐标为.

所以曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查曲线在某点处的切线方程的求法，主要考查导数的几何意义，难度较易.

15．【答案】4

【解析】分析：设切点为，利用导数的几何意义，可得出切线方程的表达式，进而可求出，从而可得，利用基本不等式求最值即可.

详解：求导得，，设切点为，则切线斜率为，

故切线方程为，即，

所以，则，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.