数学1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系随堂练习题

课时作业(四)　空间向量的坐标及运算

一、选择题

1．已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是(　　)

A.＝

B．a1·b1＝a2·b2＝a3·b3

C．a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

D．存在非零实数k，使a＝kb

答案：D

2．已知a＝(x,3,1)，b＝(2，y,4)，若a＝zb且c＝(x，y，z)，则c等于(　　)

A.  B.

C.   D.

答案：C

3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：D

4．(2022浙江宁波诺丁汉附中月考)与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是(　　)

A.和

B.

C.和

D.

答案：A

5．(2022天津武清杨村第三中学月考)已知空间向量a＝(t,1，t)，b＝(t－2，t,1)，则|a－b|的最小值为(　　)

A.  B.  C．2  D．4

答案：C

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x等于(　　)

A．4  B．－4  C.  D．－6

答案：B

解析：由(a＋b)·c＝(－2,1,3＋x)·(1，－x,2)＝x＋4＝0，∴x＝－4.

7．(多选题)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一组基底，则实数λ的值可为(　　)

A．0  B．5  C．9  D.

答案：ABC

8．(多选题)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是(　　)

A．cos〈a，b〉＝－　   B．a⊥b

C．a∥b　   D．|a|＝|b|

答案：AD

解析：∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，

cos〈a，b〉＝＝＝－.由上知A正确，B不正确，D正确．C显然也不正确．

二、填空题

9．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．

答案：90°

10．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝________.

答案：(－4,2，－4)

解析：∵z与a共线，设z＝(2λ，－λ，2λ)．又a·z＝4λ＋λ＋4λ＝－18，∴λ＝－2，∴z＝(－4,2，－4)．

三、解答题

11．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．

解：∵〈a，b〉为钝角，

∴cos〈a，b〉<0且〈a，b〉≠π.

若cos〈a，b〉<0，则a·b<0，

即3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，

解得x>－2.

若〈a，b〉＝π，则a与b反向，则b＝λa(λ<0)，

∴，解得λ＝－3，x＝.

∵〈a，b〉≠π，∴x≠，即x>－2且x≠，

故x的取值范围是∪.

12．(2022北京平谷第五中学月考)已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．

(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；

(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．

解：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，

a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．

(1)方法一：因为(ka＋b)∥(a－3b)，

所以＝＝，解得k＝－.

方法二：因为a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，

所以a≠0，b≠0.

因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝，解得k＝－.

方法三：因为(ka＋b)∥(a－3b)，

所以ka＋b＝λ(a－3b)(λ∈R)，

即(k－2,5k＋3，－k＋5)＝(7λ，－4λ，－16λ)．

所以解得所以k＝－.

(2)方法一：因为(ka＋b)⊥(a－3b)，

所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，

解得k＝.

方法二：因为a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，

所以a2＝12＋52＋(－1)2＝27，b2＝(－2)2＋32＋52＝38，

a·b＝1×(－2)＋5×3＋(－1)×5＝8.

因为(ka＋b)⊥(a－3b)，

所以(ka＋b)(a－3b)＝ka2－3b2＋(1－3k)a·b＝27k－114＋8(1－3k)＝3k－106＝0，

解得k＝.