数学选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系第1课时学案设计

第1课时空间向量的坐标及运算

 自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一空间向量的正交分解与坐标表示

一般地，如果空间向量的基底中，都是① 单位向量，而且这三个向量② 两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且如果，则称有序实数组③ 为向量的坐标，记作，其中都称为的坐标分量.

要点二空间向量的坐标运算

1.向量的线性运算

. 类似地，可以得出，如果，是两个④ 实数，那么 .

2.向量的数量积

.

3.向量的模

.

4.向量的夹角

当且时，由向量数量积的定义可知 .

要点三空间向量的平行与垂直的坐标表示

当时， ⑤

更进一步，当的每一个坐标分量都不为零时，有 .

而且 .

自主思考

1.单位正交基底唯一吗？

答案：提示不唯一，只要都是单位向量，并且两两垂直，就是单位正交基底.

2.若是单位正交基底，向量，则的坐标是什么？

答案：提示  (2,-1,3).

3.已知向量，，则的坐标是什么？

答案：提示(-1,7,9).

4.已知，则是什么？

答案：提示 .

5.已知向量，，则与的夹角是多少？

答案：提示 .

6.已知，，若，则的值是什么？若呢？

答案：提示时，；时， .

名师点睛

1.单位正交基底的特点

（1）位置：三个向量两两垂直.

（2）模长：每个向量的模都等于1.

（3）记法：一般记作等.

2.对空间向量坐标运算的两点说明

（1）类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积运算与平面向量的类似，学习中可以类比推广，推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即 .而在空间中则表示为 .

（2）运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数.

互动探究·关键能力

探究点一空间向量的坐标运算

自测自评

1.已知向量，，则等于(      )

A.(16,0,4)B.(8,-16,4)

C.(8,16,4)D.(8,0,4)

答案：

解析： .

2.若向量满足，，则等于(      )

A.5B.-5C.7D.-7

答案：

解析：，，，， .

3.已知，，求，， .

答案： .

.

， .

解题感悟

1.空间向量坐标运算的技巧

（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则、数量积坐标公式解决.

（2）对已知条件中的向量等式转化而得到所求的向量等式，先将其坐标化，然后利用坐标运算列方程或方程组求解有关未知数.  

2.数量积坐标运算的技巧

进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系：，， .

探究点二空间向量的模、夹角

精讲精练

类型1 空间向量的模

例1（1）若向量，，则 (      )

A. B.

C.3D.

（2）已知，则的最小值为(      )

A. B.

C.2D.不存在

答案：（1）（2）

解析：（1）向量，，所以 .

故 .

（2）因为，

所以，

当时，有最小值，为 .

类型2 空间向量的夹角

例2（1）已知，则向量与向量的夹角是(      )

A. B. C. D.不能确定

（2）（2020江西赣州高二期末）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .

答案：（1）（2）

解析：（1）由已知得，，

则，故两个向量的夹角为，故选C.

（2）由题意可知

且，

解得且，

即 .

解题感悟

1.求向量的模的两种基本策略

（1）字母表示下的运算：利用，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.

（2）坐标表示下的运算：若，则，于是有 .

2.利用数量积求两向量的夹角的步骤

迁移应用

1.（2021河南洛阳高二期末）已知，若与的夹角为，则的值为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：，，，，，，可得，解得 .

2.（多选）已知向量，，，下列等式中正确的是(      )

A.

B.

C.

D.

答案： ; ;

解析： .左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边，右边，左边=右边，正确；C.，左边，右边，左边=右边，正确； .由可得，左边，，，左边=右边，正确.故选BCD.

探究点三空间向量的平行与垂直

精讲精练

例（1）（多选）已知向量，则(      )

A. B.

C. D.

（2）已知 .

①若，分别求与的值；

②若，且与垂直，求 .

答案：（1） ;

解析：（1）因为，

所以；

因为，所以 .

答案：（2）①，，

解得 .

②，解得或 .①

，即，解得 .②

由①②得，，故 .

变式在本例（2）中，若，求的最大值.

答案：因为，所以，即，

所以 .

所以的最大值为 .

解题感悟

1.向量平行与垂直的判断

直接利用空间向量的坐标运算公式判定.

2.向量平行与垂直的应用

（1）适当引入参数（比如向量平行，可设），建立关于参数的方程.

（2）选择坐标形式，以达到简化运算的目的.

迁移应用

1.已知向量，且，那么 (      )

A. B.6

C.9D.18

答案：

解析：根据题意得，

则，则，

故 .故选A.

2.已知，，且，则为(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：因为，，，

所以，

即，

所以，即 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（多选）与向量共线的向量坐标是(      )

A.(2,0,-4)B.(0,3,-6)

C.(1,1,-2)D.

答案： ;

2.已知向量，且与垂直，则 (      )

A. B. C. D.

答案：

3.已知向量，，则与的夹角为(      )

A.0B. C. D.

答案：

素养演练

数学运算——空间向量的坐标运算中的最值问题

1.已知，则的最大值为(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：，，，

.

设，则，， .

设，则，即，，

∴当时，取得最大值，为 .故选D.

素养探究：本题把向量的夹角的余弦值问题最终转化为三角函数的最值问题，其中对于较复杂的函数要通过换元法转化为简单的常规函数再求解，体现了数学运算的核心素养.