人教B版 (2019)1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系优秀课件ppt

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1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第一章　空间向量与立体几何
学习目标
1.在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示.2.能正确地运用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算.3.初步学会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题.
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.
情境导学
在平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标，空间向量是否可以引进类似的坐标，这就是本小节我们要研究的内容。
问题导学
探究新知
 
 
1.空间中向量的坐标 一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量.
向量坐标
解析:由题意知p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i=12i+14j+10k,故向量p在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).答案:A
小试牛刀
1.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是(　　)A.(12,14,10)　　　　　B.(10,12,14)C.(14,12,10) D.(4,3,2)
2.空间向量的运算与坐标的关系空间向量a,b,其坐标形式为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
向量坐标运算
特别地,(1)如果μ,v是两个实数,那么μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2).
2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于(　　)A.(16,0,4) B.(8,-16,4)C.(8,16,4) D.(8,0,4)
小试牛刀
3.向量a=(2,-3, ),b=(1,0,0),则cos=　　　　　. 
解析:4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).答案:D
向量坐标与向量平行、垂直
4.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则(　　)
答案:D
小试牛刀
问题导学
由空间向量坐标的定义可以看出，当单位正交基底的始点是同一个点O，而且空间向量的始点也是O时，空间向量的坐标实际上是由它的终点位置确定的。
（1）如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？（2）我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置，在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序时数来刻画点在平面内的位置，那么怎样才能刻画空间中点的位置呢？
4.空间直角坐标系 为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直.
轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合,这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐标平面,三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限,如图所示.
空间直角坐标系
点睛 (1)空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标).(2)八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点:Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+);Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-);Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-).
5. (1)点P(1,2,1)关于xOz平面的对称点的坐标是(　　)A.(1,-2,1)　　　　B.(-1,-2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,-2,-1)(2)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取D点为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标:
小试牛刀
答案:(1)A　(2)(-2,0,1)　(1,1,2)
5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则
空间直角坐标系中的两点距离公式
6.已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标是(　　)
答案:B
小试牛刀
例1 (1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(2a+3b)·(a-2b)=________.
答案:(1)-244　(2)C
典例解析
对于空间向量坐标的计算有以下两种途径:(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.本探究中例题就是用给出的向量坐标直接套用数量积相关公式求解.对于(1)问中运算方法还可以先求出2a+3b与a-2b的坐标再计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量按坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程(组)求出其坐标.变式中的求参问题便属于这一类型题目.
归纳总结
解析:据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.答案:2
跟踪训练
跟踪训练1 若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·(2b)= -2,则x=　　　　. 
典例解析
变式： 若将本例改为“若ka-b与ka+2b互相垂直”,求k的值.
解:由题意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4),∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0,
1.判断空间向量垂直或平行的步骤.(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.(2)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直;根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或 (x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.2.求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性,解决平行或垂直时用的坐标,含参数的还要注意分类讨论思想的应用.
归纳总结
 
典例解析
 
通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
归纳总结
跟踪训练3 如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点.(1)求BN的长; (2)建立直角坐标系,求
跟踪训练
解:如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.
1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原点,若 ,则点B的坐标应为(　　)A.(-1,3,-3) B.(9,1,1) C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)
当堂达标
答案:B
2.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标是(　　)A.(0,0,0) B.(2,-1,-4) C.(6,-3,-12) D.(-2,3,12)
解析:设对称点为P3,则点M为线段PP3的中点,设P3(x,y,z),由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).答案:C
解析:若a∥b,b≠0,必有b=λa.则b=(-4,6,-2)时,b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b.经检验,其他向量均与a不平行.答案:ACD
3.(多选)已知a=(2,-3,1),则下列向量中不与a平行的是(　　) A.(1,1,1) B.(-4,6,-2) C.(2,-3,5) D.(-2,-3,5)
4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是　　　　. 
解析:依题意得(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,
6.在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长.(2)证明:EF∥平面AA1D1D;(3)证明:EF⊥平面A1CD.
课堂小结
谢谢欣赏