2020-2021学年1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课前预习ppt课件

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我们所在的教室是一个立体图形,即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三条坐标轴,有了这三条坐标轴,就可以形成一个可以度量的三维空间,也就是建立了空间直角坐标系(类比平面直角坐标系).如果将图中的小鸟所在的树枝看成“向量”,平行移动这个“向量”,那么它的坐标有变化吗?树枝的端点坐标有变化吗?
1.空间中向量的坐标
一般地,如果空间向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标,记作p=(x,y,z),其中x,y,z都称为p的坐标分量.
已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱DD1,BC的中点,
2.空间向量的运算与坐标的关系空间向量a,b,其坐标形式为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
特别地,(1)如果μ,v是两个实数,那么μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2).
(1)已知向量a=(2,-3,5),b=(-2,4,5),则a+b=　　　　　,b-a=　　　　　.答案 (0,1,10)　(-4,7,0)
(2)已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于(　　)A.(16,0,4)　　　　　　B.(8,-16,4)C.(8,16,4) D.(8,0,4)
答案 D解析 4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).
(3)向量a=(2,-3, ),b=(1,0,0),则cs=　　　　　.
3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则有a∥b⇔ (其中x1,y1,z1均不为0);a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.
要点笔记若不明确x1y1z1≠0,则可以用以下结论进行求解,即a∥b(a≠0)⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔
微练习(1)已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则(　　)
(2)已知向量a=(1,-2,-1),b=(3,m,-1),若a⊥b,则m=　　　　　.
答案 2解析 ∵a⊥b,∴a·b=3-2m+1=0,∴m=2.
4.空间直角坐标系为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直.
轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合,这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐标平面,三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限,如图所示.
名师点析(1)空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标).(2)八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点:Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+);Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-);Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-).
(3)在空间中建立了空间直角坐标系之后,向量 的坐标与P点的坐标相同,即 =xe1+ye2+ze3=(x,y,z)⇔P(x,y,z).
微练习(1)点P(1,2,1)关于xOz平面的对称点的坐标是(　　)A.(1,-2,1)　　　　B.(-1,-2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,-2,-1)答案 A
(2)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取D点为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标:
答案 (-2,0,1)　(1,1,2)
解析 DA=DC=DD1=2,且DA,DC,DD1两两互相垂直,
5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,
微练习已知点A(-3,1,5)与点B(4,3,1),则AB的中点坐标是(　　)
例1(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(2a+3b)·(a-2b)=　　　　　. 
答案 (1)-244　(2)C
解析 (1)(2a+3b)·(a-2b)=2a2+3a·b-4a·b-6b2=2×62-22-6×72=-244.
反思感悟对于空间向量坐标的计算有以下两种途径:(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.本探究中例题就是用给出的向量坐标直接套用数量积相关公式求解.对于(1)问中运算方法还可以先求出2a+3b与a-2b的坐标再计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量按坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程组求出其坐标.变式中的求参问题便属于这一类型题目.
变式训练1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=　　　　. 答案 2解析 据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
解得λ=±1.即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).又因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.
反思感悟1.判断空间向量垂直或平行的步骤.(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.(2)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直;根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或 (x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.2.求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性,解决平行或垂直时用的坐标,含参数的还要注意分类讨论思想的应用.
延伸探究若将本例改为“若ka-b与ka+2b互相垂直”,求k的值.
解 由题意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4),∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0,
解 如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体棱长为1,则A(1,0,0),E(0,0, ),B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),
例3棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求证:EF⊥CF;(2)求cs< >;(3)求CE的长.
(1)证明 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
反思感悟通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷.对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
变式训练3 如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点.
解 如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
思想方法——用坐标法解决向量的平行或垂直问题案例1设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值.(1)a∥b;(2)a⊥b.
解 (1)①当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足a∥b.②当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足a∥b,∴x≠1.
综上所述,当x=0,或x=2时,a∥b.
案例2如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= ,CE=EF=1.求证:(1)AF∥平面BDE;(2)CF⊥平面BDE;
证明 (1)如图,设AC与BD交于点G,连接EG.∵EF∥AG,且EF=1,AG= AC=1,∴四边形AGEF为平行四边形,∴AF∥EG.∵EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,∴AF∥平面BDE.
(2)∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则
∴CF⊥BE,CF⊥DE.又BE∩DE=E,∴CF⊥平面BDE.
归纳提升1.解决此类问题要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算.在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论.2.这两个案例渗透了分类讨论、转化、数形结合等多种数学思想.
1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O为坐标原点,若 ,则点B的坐标为(　　)A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)
2.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标是(　　)A.(0,0,0)B.(2,-1,-4)C.(6,-3,-12)D.(-2,3,12)答案 C解析 设对称点为P3,则点M为线段PP3的中点,设P3(x,y,z),由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).
3.(多选)已知a=(2,-3,1),则下列向量中不与a平行的是(　　)A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)答案 ACD解析 若a∥b,b≠0,必有b=λa.则b=(-4,6,-2)时,b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b.经检验,其他向量均不与a平行.
4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是　　　　. 
解析 依题意得(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,
6.在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长.(2)证明:EF∥平面AA1D1D;(3)证明:EF⊥平面A1CD.
(1)解 如图建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0),∵E,F分别为AB,A1C的中点,
∴EF∥AD1,又AD1⊂平面AA1D1D,EF⊄平面AA1D1D,∴EF∥平面AA1D1D.