北师大版5 三角函数的应用教学设计及反思

5 三角函数的应用

【知识与技能】

1.使学生理解解直角三角形的意义；

2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.

【过程与方法】

让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.

【情感态度】

通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.

【教学重点】

用直角三角形的三个关系式解直角三角形.

【教学难点】

用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.

一、情境导入，初步认识

前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.

例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.

二、思考探究，获取新知

把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.

例1 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？

例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？

学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.

通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？

学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究.

问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？

学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.

【探索新知】

问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？

例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）.

解：在Rt△ABC中，

∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan∠CAB,

∴BC=AB·tan∠CAB

=2000×tan50°≈2384（米）.

∵=cos50°,

∴AC=≈3111（米）.

答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.

问：AC还可以用哪种方法求？

学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确.

问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？（几个学生展示）

学生讨论分析，得出结论.

问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？

学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：

（1）已知两条边；

（2）已知一条边和一个锐角.

【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素.”

三、运用新知，深化理解

1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？

2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）

【答案】1.6米

2.9.4海里

四、师生互动，课堂小结

1.“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素.

2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边和一锐角.

3.解直角三角形的方法.

【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.

2.完成练习册中本课时练习.

通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况.通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题.给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力.

坡角在解直角三角形中的应用

一、 教学目标

(一)知识与技能

巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡角和有关角度的问题．

(二)过程与方法

逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．

(三)情感态度与价值观

培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．

二、重、难点

重点：能熟练运用有关三角函数知识．

难点：解决实际问题．

三、教学过程

(一)明确目标

讲评上课节课后作业

(二)重点、难点的学习与目标完成过程

教师出示例题．

例1  如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．

分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．

2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图 (2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．

3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．

答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．

教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．

例2  如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？

这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．

由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。

学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．

解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．

∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．

∴DE=BD·cosD=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．

答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，

 (三)小结与扩展

教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．

四、布置作业

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