数学九年级下册5 三角函数的应用巩固练习

这是一份数学九年级下册5 三角函数的应用巩固练习，文件包含专题16三角函数的应用-俯角仰角问题-九年级数学下册尖子生同步培优题典解析版北师大版docx、专题16三角函数的应用-俯角仰角问题-九年级数学下册尖子生同步培优题典原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.6三角函数的应用-俯角仰角问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•黔南州）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（　　）

A．tan55°=6x-1 B．tan55°=x-16
C．sin55°=x-16 D．cos55°=x-16
【分析】根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°=AEAD，cos55°=DEAD，tan55°=AEDE=x-16，
故选：B．
2．（2020•长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（　　）
A．423米 B．143米 C．21米 D．42米
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝423（米）
故选：A．
3．（2019•日照）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）

A．11米 B．（36﹣153）米 C．153米 D．（36﹣103）米
【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．
【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝103（米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）．
∴甲楼高为（36﹣103）米．
故选：D．

4．（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）

A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．
【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，
∵tan65°=OFDF，
∴OF＝xtan65°，
∴BF＝3+x，
∵tan35°=OFBF，
∴OF＝（3+x）tan35°，
∴2.1x＝0.7（3+x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15+1.5＝4.65，
故选：C．

5．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）

A．a+btanα B．a+bsinα C．a+btanα D．a+bsinα
【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα=AFCF=AFb，
∴AF＝b•tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，
故选：A．

6．（2020•长沙模拟）“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（　　）米．（2=1.41，3=1.73）

A．14 B．15 C．19 D．20
【分析】作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，根据等腰直角三角形的性质求出AH，根据正切的定义用EF表示出CF、BF，根据题意列式求出EF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，
∵∠EBF＝45°，
∴∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝8×22=42，
在Rt△ECF中，tan∠ECF=EFCF，
则CF=3EF，
在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，
∴BF＝EF，
由题意得，3EF﹣EF＝10，
解得，EF＝53+5，
则DE＝EF+DF＝53+5+42≈19，
故选：C．

7．（2020•高新区二模）如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（　　）

A．203 B．203-8 C．203-28 D．203-20
【分析】利用30°的正切值即可求得AE长，进而可求得CE长．CE减去DE长即为信号塔CD的高度．
【解答】解：根据题意得：AB＝8米，DE＝20米，∠A＝30°，∠EBC＝45°，
在Rt△ADE中，AE=3DE＝203米，
∴BE＝AE﹣AB＝203-8（米），
在Rt△BCE中，CE＝BE•tan45°＝（203-8）×1＝203-8（米），
∴CD＝CE﹣DE＝203-8﹣20＝203-28（米）；
故选：C．
8．（2020•灌阳县一模）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7m，则树高BC为（用含α的代数式表示）（　　）

A．7sinα B．7cosα C．7tanα D．7tanα
【分析】根据正切的概念进行解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，tanα=BCAC，
则BC＝AC•tanα═7tanαm，
故选：C．
9．（2020•奎文区一模）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（　　）

A．6sin75°米 B．6cos75°米 C．6tan75°米 D．6tan75°米
【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC＝6米，∠BAC＝75°，利用三角函数即可求出BC的高度．
【解答】解：∵BC⊥AC，AC＝6米，∠BAC＝75°，
∴BCAC=tan75°，
∴BC＝AC•tan75°＝6tan75°（米）．
故选：D．
10．（2020•高台县一模）如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）

A．200米 B．2003米 C．2203米 D．100(3+1)米
【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD＝CD＝100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．
【解答】解：∵在热气球C处测得地面B点的俯角为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD=2002-1002=1003米，
∴AB＝AD+BD＝100+1003=100（1+3）米，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019•广饶县一模）如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的垂直高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为　1203　．米．

【分析】在直角△ACD中利用三角函数求得AD，然后在直角△BCD中，利用三角函数求得BD，根据AB＝AD+BD即可求解．
【解答】解：在直角△ACD中，∠A＝30°，tanA=CDAD，
∴AD=3CD＝903（米）；
同理，BD=33CD＝303（米），
则AB＝AD+BD＝1203（米）．
故答案是：1203．
12．（2018•南宁）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是　403　m（结果保留根号）

【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠BDA＝45°，
则AB＝AD＝120m，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CAD＝tan30°=CDAD=33，
解得：CD＝403（m），
故答案为：403．
13．（2018•黄石）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为1003米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是　100（1+3）　米．（结果保留根号）

【分析】如图，利用平行线的性质得∠A＝60°，∠B＝45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD＝100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD＝CD＝1003，然后计算AD+BD即可．
【解答】解：如图，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
在Rt△ACD中，∵tanA=CDAD，
∴AD=1003tan60°=100，
在Rt△BCD中，BD＝CD＝1003，
∴AB＝AD+BD＝100+1003=100（1+3）．
答：A、B两点间的距离为100（1+3）米．
故答案为100（1+3）．
14．（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝153米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是　（15+153）　米（结果保留根号）．

【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，

在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝153；可得CE＝BE×tan45°＝153米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝153，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝153+15米．
答：教学楼AC的高度是（153+15）米．
15．（2019•湖北）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为　14.4　m．

【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE=12AD＝4.8m，即可得出答案．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：
则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，
∴∠ADC＝90°+30°＝120°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠CAD＝30°＝∠ACD，
∴AD＝CD＝9.6m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴AE=12AD＝4.8m，
∴AB＝AE+BE＝4.8+9.6＝14.4m；
故答案为：14.4．

16．（2020•湘阴县一模）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上），为了测量B、C两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地间的距离为　1003　m．

【分析】首先根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，然后利用正切函数的定义求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，
在Rt△ABC中，BC=ACtan30°=10033=1003（m）．
故答案为：1003．
17．（2020•德城区模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为　1603　米．

【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC＝BD+CD即可求解．
【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝120m，
∴BD＝AD•tan30°＝120×33=403m，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝120m，
∴CD＝AD•tan60°＝120×3=1203m，
∴BC＝BD+CD＝403+1203=1603m．
故答案为：1603．

18．（2020•荆州模拟）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：3，则大楼AB的高度为　63+29　米．

【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，设BH＝x米，则CH=3x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH＝6米，CH＝63米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG＝EG＝63+20（米），即可得出大楼AB的高度．
【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：3，
∴BH：CH＝1：3，
设BH＝x米，则CH=3x米，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x2+（3x）2＝122，
解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝63米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝63+20（米），
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝63+20（米），
∴AB＝AG+BG＝63+20+9＝（63+29）m．
故答案为：63+29．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•芜湖一模）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由tan37°=DEAE≈0.75求得AE＝40，由AB＝57知BE＝17，再根据四边形BCFE是矩形知CF＝BE＝17．由∠CDF＝∠DCF＝45°知DF＝CF＝17，从而得BC＝EF＝30﹣17＝13．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．

由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝37°，∠DCF＝45°．
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan37°=DEAE≈0.75．
∴AE＝40，
∵AB＝57，
∴BE＝17
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝17．
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝∠DCF＝45°．
∴DF＝CF＝17，
∴BC＝EF＝30﹣17＝13．
答：教学楼BC高约13米．
20．（2020•河南一模）为了测量山坡上的信号塔PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度．

【分析】延长PQ交直线AB于点E，连接AQ，设PM的长为x米，先由三角函数得出方程求出PM，再由三角函数求出QM，得出PQ的长度即可．
【解答】解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如图所示：
则∠PMA＝90°，
设PM的长为x米，
在Rt△PAM中，∠PAM＝45°，
∴AM＝PM＝x米，
∴BM＝x﹣100（米），
在Rt△PBM中，∵tan∠PBM=PMBM，
∴tan60°=xx-100=3，
解得：x＝50（3+3），
在Rt△QAM中，∵tan∠QAM=QMAM，
∴QM＝AM•tan∠QAM＝50（3+3）×tan30°＝50（3+1）（米），
∴PQ＝PM﹣QM＝100（米）；
答：信号塔PQ的高度约为100米．

21．（2020•番禺区一模）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求旗杆AC的高度．

【分析】（1）过点C作CE⊥BD于E，则DF∥CE，AB∥CE．利用平行线的性质求得相关角的度数．
（2）本题涉及到两个直角三角形△ECD、△BCE，通过解这两个直角三角形求得DE、BD长度，进而可解即可求出答案．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥BD于E，则DF∥CE，AB∥CE
∵DF∥CE
∴∠ECD＝∠CDF＝30°
同理∠ECB＝∠ABC＝45°
∴∠BCD＝∠ECD+∠ECB＝75°．

（2）在Rt△ECD中，∠ECD＝30°
∵tan∠ECD=DECE
∴DE=CE⋅tan∠ECD=33CE
同理BE＝CE
∵BD＝BE+DE
∴20=CE+33CE，CE=603+3=10(3-3)
答：（1）∠BCD为75°；
（2）旗杆AC的高度CE为10(3-3)米．

22．（2020•铜川二模）汉江是长江最长的支流，在历史上占居重要地位，陕西省境内的汉江为汉江上游段．李琳利用热气球探测器测量汉江某段河宽，如图，探测器在A处观测到正前方汉江两岸岸边的B、C两点，并测得B、C两点的俯角分别为45°，30°，已知A处离地面的高度为80m，河平面BC与地面在同一水平面上，请你求出汉江该段河宽BC．（结果保留根号）

【分析】过A作AD⊥BD于点D，根据正切的概念解答即可．
【解答】解：过A作AD⊥BD于点D，

在Rt△ADB中，∠ABD＝45°
∴BD＝AD＝80m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°
∴tan∠ACD=ADCD，
∴CD=ADtan30°=80tan30°=80÷33=803，
∴BC＝CD﹣BD＝803-80
∴该段汉江河宽BC为（803-80）米．
23．（2020•乌兰浩特市一模）如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度为多少？（结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）

【分析】作AE⊥CD于E．则四边形ABCE是矩形．解直角三角形分别求出CD，DE即可解决问题．
【解答】解：作AE⊥CD于E．则四边形ABCE是矩形．

在Rt△BCD中，CD＝BC•tan60°＝50×3≈87（米），
在Rt△ADE中，∵DE＝AE•tan37°＝50×0.75≈38（米），
∴AB＝CE＝CD﹣DE＝87﹣38＝49（米）．
答：甲、乙两楼的高度分别为87米，49米．
24．（2020•成都模拟）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是45°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度（结果保留根号）

【分析】过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，设BC为x米，根据矩形的性质得出DG＝CH，CG＝DH，再利用锐角三角函数的性质求x的值即可．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG＝CH，CG＝DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH＝30°，AD＝6米，
∴DH＝3米，AH＝33米，
∴CG＝3米，
设BC为x米，
在直角三角形ABC中，AC=BCtan∠BAC=x米，
∴DG＝（33+x）米，BG＝（x﹣3）米，
在直角三角形BDG中，∵BG＝DG•tan30°，
∴x﹣3＝（33+x）×33，
解得：x＝9+33，
∴BC＝（9+33）米．
答：大树的高度为（9+33）米．