北师大版九年级下册5 三角函数的应用优秀教案设计

第一章  直角三角形的边角关系

5  三角函数的应用

课时1 解直角三角形在方向角，仰角、俯角中的应用

1.结合实际问题，弄清方位角的概念，通过解直角三角形，获得用数学知识解决实际问题的经验．

2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.

3.通过把实际问题转化为数学问题的过程，感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.

体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.

课前5分钟：学生欣赏电影《泰坦尼克号》3D版预告片视频.

如图1－5－6，泰坦尼克号(RMS Titanic)是一艘奥林匹克级游轮，于1912年4月处女航时撞上冰山后沉没．“泰坦尼克号”为Titanic常用的翻译，Titan是希腊神话中的泰坦星，象征着力量和庞大．电影《泰坦尼克号》更是叙述了一段浪漫、凄美的爱情故事．泰坦尼克号的沉没让人感到遗憾，如果舵手能够分清方向、准确计算距离，也许“泰坦尼克号”的结局会是美丽的.

同学们，如果你是船长，怎样才能利用我们所学的知识来避免这样的灾难呢？本节课我们将一起探讨这个问题.

【探究1】 如图1－5－7，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，

        图1－5－7

开始在A岛南偏西55°方向的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°方向的C处．之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流.

处理方式：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°方向的B处，根据“上北下南，左西右东”，B在A的“下偏左”55°位置．C在B的正东方，即C在B的右边．且在A的南偏东25°方向处，即C在A的“下偏左”25°位置.

图1－5－8

【探究2】 如图1－5－8，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)

处理方式：(自主解决问题)

(鼓励学生展示自己的解题过程)

例1　如图1－5－9，荆河公园管理处计划在公园里建一个以A为喷泉中心，且半径为15 m的圆形喷水池．公园里已建有B，C两个休息亭，BC是一条长50 m的人行道，已测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°.

(1)若要在人行道BC上安装喷泉用水控制阀门E，使它到喷泉中心A的距离最短，请你在BC上画出该点E的位置.

(2)通过计算，你认为该圆形喷水池会影响人行道的通行吗？

图1－5－9

(积极思考，先独立完成，后集体交流展示)

变式：如图1－5－10某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)

            图1－5－10            图1－5－11

处理方式：学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路．学生书写过程不规范，教师给出规范的步骤．根据图1－5－11回答下列问题：(1)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯在地面上的长度分别是什么？40°的角是哪个角？(2)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？

例2　如图1－5－12，水库大坝的截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m，坡底BC＝30 m，∠ADC＝135°.

图1－5－12

(1)求∠ABC的度数；

(2)如果坝长100 m，那么修筑这个大坝共需多少土石料(结果精确到0.01 m3)？

(积极思考，先独立完成，后集体交流展示)

我们可以按照下面两图所示的方法构造直角三角形解决问题.

图1－5－13              图1－5－14

你能独立完成解答过程吗？          

例3　如图1－5－14，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，在点C上方2 m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？

例4　如图1－5－15，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时．接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.

(1)B处是否会受到台风的影响？请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？(参考数据：≈1.4，≈1.7)

图1－5－15

结合实际情景抽象出几何图形，利用直角三角形的边角关系解决实际问题．学生被情境吸引，迫切想获得新知．通过“触礁”问题的解决，引导学生分析问题，初步掌握数学建模的方法，然后再放手让学生自主解决问题．