2022-2023学年浙江省台州市七年级下册数学期末专项突破模拟（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年浙江省台州市七年级下册数学期末专项突破模拟（AB卷）含解析，共44页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省台州市七年级下册数学期末专项突破模拟
（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 如图所示是“福娃欢欢”的五幅图案，②、③、④、⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到（ ）

A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤
2. 如图，与∠1是同旁内角的是（　　）

A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
3. 如图，给出了过直线外一点作已知直线平行线的方法，其依据是(　　)

A 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等
4. 下列条件中没有能判定AB∥CD的是(　　)．


A ∠1＝∠4 B. ∠2＝∠3 C. ∠5＝∠B D. ∠BAD+∠D＝180°
5. 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线（　）
A. 互相垂直 B. 互相平行 C. 相交 D. 相等
6. 如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离；

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7. 已知一个学生从点A向北偏东60º方向走40米，到达点B，再从B沿北偏西30º方向走 30米，到达点C，此时，恰好在点A的正向，则下列说确的是（ ）
A. 点A到BC的距离为30米 B. 点B在点C的南偏东30º方向40米处
C. 点A在点B的南偏西60º方向30米处 D. 以上都没有对
8. ∠1与∠2是内错角，∠1=30°，则∠2的度数为( )
A. 30° B. 150° C. 30°或150° D. 没有能确定
9. 如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，则图中与∠DFM相等的角（没有含它本身）的个数为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 如图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的是( )

A. ∠A+∠E+∠D=180° B. ∠A+∠E－∠D=180°
C. ∠A－∠E+∠D=180° D. ∠A+∠E+∠D=270°
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A’B’C’的位置时，A’B’恰好AC的中点O，则△ABC平移的距离为_________cm.

12. 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为_______________________________________________________________．
13. 如图，计划把河中的水引到水池M中，可以先过M点作MC⊥AB，垂足为C，然后沿MC开渠，则能使所开的渠最短，这种设计的根据是____．

14. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，则∠1与∠2的关系是__________．

15. 如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，求∠2的度数.

16. 如图，CO⊥AB，EO⊥OD，如果∠1=38°，那么，∠2=__________．

17. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD-∠DOB＝60°，则∠EOB＝___.

18. 如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED＝n°，则∠BCE的度数为_____°（用含n的代数式表示）．

三、解 答 题（共6小题，满分46分）
19. 如图，方格中有一条美丽可爱小金鱼．

（1）若方格的边长为1，则小鱼的面积为 ；
（2）画出小鱼向左平移10格后图形．（没有要求写作图步骤和过程）
20. 已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求∠P的度数．

21. 如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G．且∠1＝∠2，猜想：DE与AC有怎样的关系？说明理由．

22. 如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD与点F，FH交AB于点H，∠AGE=70°，∠BHF=125°，FH平分∠EFD吗？请说明你的理由．

23. 如图，AB∥CD，∠BAE=30°，∠ECD=60°，那么∠AEC度数为多少．

24. 如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En.
（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；
（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）.
















2022-2023学年浙江省台州市七年级下册数学期末专项突破模拟
（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 如图所示是“福娃欢欢”的五幅图案，②、③、④、⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到（ ）

A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤
【正确答案】D

【详解】A选项：②是由旋转得到，故错误；
B选项：③是由轴对称得到，故错误；
C选项：④是由旋转得到，故错误；
D选项：⑤形状和大小没有变化，由平移得到，故正确．
故选D．
2. 如图，与∠1是同旁内角的是（　　）

A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
【正确答案】A

【分析】根据同位角、内错角、同旁内角定义逐个判断即可．
【详解】A.∠1和∠2，是同旁内角，故本选项正确；
B.∠1和∠3是内错角，没有是同旁内角，故本选项错误；
C.∠1和∠4是同位角，没有是同旁内角，故本选项错误；
D.∠1和∠5没有是同旁内角，故本选项错误；
故选A．
考查同位角、内错角、同旁内角定义，掌握它们的判断方法是解题的关键．
3. 如图，给出了过直线外一点作已知直线平行线的方法，其依据是(　　)

A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等
【正确答案】A

【分析】判定两条直线是平行线的方法有：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行等，应题意，具体情况，具体分析．
【详解】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行，
故选A.
本题考查的是平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4. 下列条件中没有能判定AB∥CD的是(　　)．


A. ∠1＝∠4 B. ∠2＝∠3 C. ∠5＝∠B D. ∠BAD+∠D＝180°
【正确答案】B

【详解】解：A．∵∠1=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故本选项没有符合题意；
B．∵∠2=∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），判定的没有是AB∥CD，故本选项符合题意；
C．∵∠5=∠B，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故本选项没有符合题意；
D．∵∠BAD+∠D=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故本选项没有符合题意．
故选B．
5. 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线（　）
A. 互相垂直 B. 互相平行 C. 相交 D. 相等
【正确答案】B

【详解】解：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．故选B．
6. 如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离；

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B

【详解】解：∵∠BAC=90°∴①AB⊥AC正确；
∵∠DAC≠90°，∴AD与AC没有互相垂直，所以②错误；
点C到AB的垂线段应是线段AC，所以③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，所以④正确；
根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．”可知⑤正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，所以⑥错误．
故选B．
7. 已知一个学生从点A向北偏东60º方向走40米，到达点B，再从B沿北偏西30º方向走 30米，到达点C，此时，恰好在点A正向，则下列说确的是（ ）
A. 点A到BC的距离为30米 B. 点B在点C的南偏东30º方向40米处
C. 点A在点B的南偏西60º方向30米处 D. 以上都没有对
【正确答案】D

【详解】解：A．点A到BC的距离是AB=40米，故A错误；
B．点B在点C的男偏东30°方向30米，故B错误；
C．点A在点B的南偏西60°方向40米处，故C错误．
故选D．
8. ∠1与∠2是内错角，∠1=30°，则∠2的度数为( )
A. 30° B. 150° C. 30°或150° D. 没有能确定
【正确答案】D

【分析】两直线平行时内错角相等，没有平行时无法确定内错角的大小关系，据此分析判断即可得.
【详解】内错角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，内错角才相等，
故选D．
本题考查了三线八角，明确同位角、内错角、同旁内角只是两个角的一种位置关系，而没有一定的大小关系是解此类问题的关键.
9. 如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，则图中与∠DFM相等的角（没有含它本身）的个数为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【正确答案】C

【详解】解：∵FM平分∠EFD，
∴∠EFM=∠DFM=∠CFE．
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG=∠GEF=∠AEF．
∵EM平分∠BEF，
∴∠BEM=∠FEM=∠BEF，
∴∠GEF+∠FEM=（∠AEF+∠BEF）=90°，即∠GEM=90°，
∠FEM+∠EFM=（∠BEF+∠CFE）．
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠AEG，∠CFE=∠AEF，
∴∠FEM+∠EFM=（∠BEF+∠CFE）=（BEF+∠AEF）=90°，
∴在△EMF中，∠EMF=90°，
∴∠GEM=∠EMF，
∴EG∥FM，
∴与∠DFM相等的角有：∠EFM、∠GEF、∠EGF、∠AEG以及∠GEF、∠EGF、∠AEG三个角的对顶角．
故选C．
考查了角平分线的定义，平行线的性质和判定定理，推导较复杂．
10. 如图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的是( )

A. ∠A+∠E+∠D=180° B. ∠A+∠E－∠D=180°
C. ∠A－∠E+∠D=180° D. ∠A+∠E+∠D=270°
【正确答案】B

【分析】作EF∥AB，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质即可求解．
【详解】作EF∥AB，则EF∥CD∥AB，
∴∠A+∠AEF=180°，∠D=∠DEF，
又∠AED=∠AEF+∠DEF，
故∠A+∠AED－∠D=180°
故选B．

此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A’B’C’的位置时，A’B’恰好AC的中点O，则△ABC平移的距离为_________cm.

【正确答案】2.5．

【详解】试题分析：已知将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置，根据平移的性质可得A′B′∥AB，又因O是AC的中点，所以B′是BC的中点，根据三角形的中位线定理可得BB′=5÷2=2.5cm．所以△ABC平移的距离为2.5cm．
考点：平移的性质.
12. 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为_______________________________________________________________．
【正确答案】如果一个三角形三个角都相等，那么这个三角形是等腰边三角形．

【分析】本命题是判断一个三角形是等边三角形，所以“如果”后面的是三角形具备的条件，那么后面的是“等边三角形”这一结论
【详解】如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等腰边三角形．
本题考查了把命题改成“如果…，那么…”形式，关键是要找到什么是条件什么是结论．
13. 如图，计划把河中的水引到水池M中，可以先过M点作MC⊥AB，垂足为C，然后沿MC开渠，则能使所开的渠最短，这种设计的根据是____．

【正确答案】垂线段最短

【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
【详解】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过M点作MC⊥AB于点C，则MC最短，
这样做的依据是垂线段最短．
故答案：垂线段最短．
本题考查了垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，掌握基本性质是解题关键．
14. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，则∠1与∠2的关系是__________．

【正确答案】互余

【详解】根据平角的定义可得∠1+∠AOC+∠2=180°，再由AB⊥CD可得∠AOC=90°，所以∠1+∠2=90°.
15. 如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，求∠2的度数.

【正确答案】70°

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠C=∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C．
【详解】解：∵DE∥AC，
∴∠C=∠1=70°，
∵AF∥BC，
∴∠2=∠C=70°．
故答案为70°．
本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

16. 如图，CO⊥AB，EO⊥OD，如果∠1=38°，那么，∠2=__________．

【正确答案】52°

【详解】解：∵点A、O、B共线，∴∠AOB=180°．∵EO⊥OD，∴∠EOD=90°，∴∠1+∠2=180°﹣∠EOD=90°．又∵∠1=38°，∴∠2=52°．故答案为52°．
17. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD-∠DOB＝60°，则∠EOB＝___.

【正确答案】30°

【详解】∵∠AOD－∠BOD＝60°,
∴∠AOD=∠BOD+60°,
∵AB为直线,∴∠AOD+∠BOD=∠AOB=180°,
∴∠BOD+60°+∠BOD=180°,
∴∠BOD=60°,
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOB＝30°
故答案为: 30°.
18. 如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED＝n°，则∠BCE的度数为_____°（用含n的代数式表示）．

【正确答案】

【详解】解：∵BE=2AE=2A′E，∠A=∠A′=90°，
∴△ABE、△A′BE都为30°、60°、90° 的三角形，
∴∠1=∠AEB=60°，
∴∠AED′=180°-∠1-∠AEB=180°-60°-60°=60°，
∴∠DED′=∠AED+∠AED′=n°+60°=（n+60）°，
∴∠2=∠DED′=（n+60）°，
∵A′D′∥BC，
∴∠BCE=∠2=（n+60）°，
故答案为

三、解 答 题（共6小题，满分46分）
19. 如图，方格中有一条美丽可爱的小金鱼．

（1）若方格的边长为1，则小鱼的面积为 ；
（2）画出小鱼向左平移10格后的图形．（没有要求写作图步骤和过程）
【正确答案】（1）16；（2）画图见解析．

【分析】（1）按图示可分为三个小三角形，分别求三个小三角形的面积并求和即可得；
（2）按要求进行平移即可．
【详解】解：（1）S=×4×5+×4×2+×2×2=10+4+2=16；
（2）如图所示：

本题考查了平移作图，题目主要考查图形平移的作法，网格三角形面积等，理解题意，熟练掌握运用平移方法是解题关键．

20. 已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求∠P的度数．

【正确答案】见解析

【分析】由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90°．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE，∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．
本题考查了综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识解决问题的能力．
21. 如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G．且∠1＝∠2，猜想：DE与AC有怎样的关系？说明理由．

【正确答案】DE∥AC．理由见解析．

【分析】根据平行线的判定定理易证AD∥FG，又由平行线的性质、已知条件，利用等量代換推知∠DAC＝∠2，则ED∥AC即可解答
【详解】DE∥AC．理由如下：
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADG＝∠FGC＝90°，
∴AD∥FG，
∴∠1＝∠CAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠CAD＝∠2，
∴DE∥AC．
此题考查了平行线的判定与性质，解题关键在于利用等量代换得到角相等.
22. 如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD与点F，FH交AB于点H，∠AGE=70°，∠BHF=125°，FH平分∠EFD吗？请说明你的理由．

【正确答案】FH平分∠EFD，理由见解析

【详解】试题分析：由平行线的性质可找出相等和互补的角，根据角的计算找出∠EFD=2∠DFH=110°，从而得出FH平分∠EFD的结论．
试题解析：解：FH平分∠EFD，理由如下：
∵AB∥CD，∴∠CFE=∠AGE，∠BHF+∠DFH=180°．∵∠AGE=70°，∠BHF=125°，∴∠CFE=70°，∠DFH=55°．∵∠EFD=180°﹣∠CFE=110°，∴∠EFD=2∠DFH=110°，∴FH平分∠EFD．
23. 如图，AB∥CD，∠BAE=30°，∠ECD=60°，那么∠AEC度数为多少．

【正确答案】90°

【分析】过点E作EF∥AB，利用两直线平行内错角相等求解．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A+∠C=30°+60°=90°，
即∠AEC=90°．

24. 如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En.
（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；
（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠BEC等于2nα度.

【详解】试题分析：（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
（3）根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠En=∠BEC，求得∠BEC的度数．
试题解析：解：（1）如图①，过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2．∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图2．∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴由（1）可得，∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴由（1）可得，∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
（3）如图2．∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
…
以此类推，∠En=∠BEC，∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度．

点睛：本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．













2022-2023学年浙江省台州市七年级下册数学期末专项突破模拟
（B卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 给出下列图形名称：（1）线段；（2）直角；（3）等腰三角形；（4）平行四边形；（5）长方形，在这五种图形中是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是　　
A. 连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B. 连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C. 大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D. 通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
3. 满足下列条件的中，没有是直角三角形的是　　
A. B.
C. D.
4. 将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60∘，∠F=45∘).使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为（ ）

A. 20° B. 25° C. 15° D. 10°
5. 如图，AE∥BD，∠1=120°，∠2=40°，则∠C的度数是（ ）

A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
6. 小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（ ）

A. 小明看报用时8分钟
B. 公共阅报栏距小明家200米
C. 小明离家最远的距离为400米
D 小明从出发到回家共用时16分钟
7. 若，则（ ）
A. a=-4，n=12 B. a=-4，n=-12 C. a=4，n=-12 D. a=4，n=12
8. 如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E， 若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠1+∠2的度数是（　　）

A. 45° B. 55° C. 60° D. 75°
10. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°.
其中正确的个数是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填 空 题（每题3分，共18分）
11. 计算：______.
12. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为_________．
13. 已知a、b满足，则________.
14. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为6cm，则AB+AC=___cm.

15. 如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.

16. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．

三、解 答 题（共52分）
17. 计算：（1）；（2）
（3）；（4）
18. 如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分，（保留作图痕迹，没有写作法）

19. 如图，∠AOB=90°，OA=0B，直线点O,分别过A、B两点作AC⊥交于点C，BD⊥交于点D.
求证：AD=OD.

20. 一个没有透明的袋中装有5个黄球、15个黑球和20个红球，它们出颜色外都相同.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，问取出了多少个黑球?
21. 开学期间，为了打扫卫生，班主任派卫生委员小敏去轻工市场购买一些扫帚和抹 布.选定一家店后，老板告诉小敏，扫帚每把25元，抹布每块5元，现为了搞促销，有两种优惠. 一：买一把扫帚送一块抹布；二：扫帚和抹布都按定价的90%付款.
小敏需要购买扫帚6把，抹布x块（x＞6）.
(1)若小敏按一购买，需付款多少元（用含x式子表示）；(2)若小敏按二购买，需付款多少元（用含x的式子表示）；(3)当x=10时，通过计算说明此时按哪种购买较为合算；(4)当x=10时，你能给小敏提供一种更为的购买吗？试写出你的购买方法.
22. 如图，某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量，∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD=24m.若每平方米草皮需要200元，则种植这片草皮需要多少元？

23 （1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；

（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．
（4）能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长．























2022-2023学年浙江省台州市七年级下册数学期末专项突破模拟
（B卷）
一、选一选（每题3分，共30分）
1. 给出下列图形名称：（1）线段；（2）直角；（3）等腰三角形；（4）平行四边形；（5）长方形，在这五种图形中是轴对称图形的有（ ）
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D

【详解】∵（1）线段；（2）直角；（3）等腰三角形；（5）长方形是轴对称图形；（4）平行四边是对称图形；
故选D.
2. 已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是　　
A. 连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B. 连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C. 大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D. 通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【正确答案】A

【分析】根据概率的意义，概率是反映发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也没有一定发生．
【详解】A.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，没有正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误；
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机，有可能发生，故此选项正确；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．
故选A．
本题考查了概率的意义，解题的关键是弄清随机和必然的概念的区别．
3. 满足下列条件的中，没有是直角三角形的是　　
A. B.
C. D.
【正确答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理可判断A、B两项，根据三角形的内角和定理可判断C、D两项，进而可得答案．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴∠C=90°，
所以△ABC是直角三角形，本选项没有符合题意；
B、由可设，
∵，
∴∠C=90°，
所以△ABC是直角三角形，本选项没有符合题意；
C、∵，
∴，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
所以△ABC是直角三角形，本选项没有符合题意；
D、由可设，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴=180°，
解得：，
∴，
所以△ABC没有是直角三角形，本选项符合题意．
故选：D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，属于基础题型，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4. 将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60∘，∠F=45∘).使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为（ ）

A. 20° B. 25° C. 15° D. 10°
【正确答案】C

【详解】分析: 根据直角三角形两锐角互余求出∠1,再根据两直线平行,内错角相等求出∠2,然后然后根据∠CEF=45°-∠2计算即可得解.
详解: ∵∠A=60°,∠F=45°,
∴∠1=90°-60°=30°,∠DEF=90°-45°=45°,
∵ED∥BC,
∴∠2=∠1=30°,∠CEF=∠DEF-∠2=45°-30°=15°.
故选C.
点睛: 本题考查了平行线的性质,等腰三角形性质,三角形内角和定理的应用, 熟记性质是解题的关键.
5. 如图，AE∥BD，∠1=120°，∠2=40°，则∠C的度数是（ ）

A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
【正确答案】B

【分析】由AE∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠CBD的度数，又由对顶角相等，即可得∠CDB的度数，由三角形内角和定理即可求得∠C的度数．
【详解】∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠1=120°，
∵∠BDC=∠2=40°，∠C+∠CBD+∠CDB=180°，
∴∠C=20°．
故选B．
6. 小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（ ）

A. 小明看报用时8分钟
B. 公共阅报栏距小明家200米
C. 小明离家最远的距离为400米
D. 小明从出发到回家共用时16分钟
【正确答案】A

【分析】根据函数图象，从转折点考虑得到信息判断即可．
【详解】解：A．从4分钟到8分钟时间增加而离家的距离没变，所以这段时间在看报，小明看报用时8﹣4=4分钟，本项错误，符合题意；
B．4分钟时散步到了报栏，据此知公共阅报栏距小明家200米，本项正确，没有符合题意；
C．据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为400米，本项正确，没有符合题意；
D．据图知小明从出发到回家共用时16分钟，本项正确，没有符合题意．
故选A．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，通常从函数图象考虑信息．
7. 若，则（ ）
A. a=-4，n=12 B. a=-4，n=-12 C. a=4，n=-12 D. a=4，n=12
【正确答案】D

【分析】先将等号左边按照多项式乘法法则展开,然后根据等号右边各项系数对应求解.
【详解】因为,且,
所以
所以a=4,n=12.
故选D.
本题主要考查多项式的乘法法则,解决本题的关键是要熟练掌握多项式乘以多项式的法则.
8. 如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E， 若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【正确答案】A

【详解】分析: 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2,PE=PN=2,即可得出答案.
详解: 过点P作MN⊥AD,

∵AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,PE⊥AB于点E,
∴AP⊥BP,PN⊥BC,
∴PM=PE=2,PE=PN=2,
∴MN=2+2=4.
故选A.
点睛: 此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键.
9. 如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠1+∠2的度数是（　　）

A. 45° B. 55° C. 60° D. 75°
【正确答案】C

【详解】∵在等边△ABC中，∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠CBE=∠1，
而∠CBE+∠2=60°，
∴∠1+∠2=60°．
故选C．
10. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°.
其中正确的个数是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C

【详解】解：①正确．理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由：
EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，
解得x=3．
∴BG=3=6﹣3=GC；
③正确．理由：
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④正确．理由：
∵S△GCE=GC•CE=×3×4=6，
∵S△AFE=AF•EF=×6×2=6，
∴S△EGC=S△AFE；
⑤错误．
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，
又∵∠BAD=90°，
∴∠GAF=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAF=135°．
故选C．
本题考查翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；勾股定理，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明．

二、填 空 题（每题3分，共18分）
11. 计算：______.
【正确答案】3

【详解】分析:先根据同底数幂的乘法法则逆用进行变形,然后再根据积的乘方运算法则进行计算.
详解:,
原式=,
=
=,
=3.
点睛:本题主要考查同底数幂的乘法和积的乘方运算,解决本题的关键是要熟练掌握同底数幂的乘法和积的乘方运算法则.
12. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为_________．
【正确答案】或．

【分析】讨论这个的角是顶角或是底角两种情况求解即可．
【详解】解：若角是顶角，则底角是，成立；
若的角是底角，则顶角是，成立；
顶角为50°或80°．
故答案是：或．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
13. 已知a、b满足，则________.
【正确答案】12

【详解】分析:先根据完全平方公式的特征对等式的左边进行因式分解可得:,再根据非负数的非负性可得:,然后代入求解即可.
详解:因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以.
点睛:本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解.
14. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为6cm，则AB+AC=___cm.

【正确答案】6

【详解】分析: 根据中垂线的性质:垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得DC=DB,继而可确定△ABD的周长
详解: ∵l垂直平分BC,
∴DB=DC,
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm.
故答案为:6.
点睛:本题考查了线段垂直平分线的性质,注意掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点距离相等.
15. 如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.

【正确答案】61

【详解】解: 如图①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65;

如图②:AM2=AC2+CM2=92+4=85;
如图③:AM2=52+(4+2)2=61.



∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是:61.
故答案为:61.
16. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．

【正确答案】8

【分析】连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM＋DM＝AM＋DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB＋DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【详解】解：连接AD交EF与点M′，连接AM．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM＋MD＝MD＋AM．
∴当点M位于点M′处时，MB＋MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB＋AD＝2＋6＝8,
故8．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．
三、解 答 题（共52分）
17. 计算：（1）；（2）
（3）；（4）
【正确答案】（1）-6；（3）；（3）；（4）1

【详解】分析:(1)先根据乘方运算法则计算,再根据有理数加减法法则计算,
(2)先根据整式乘法和除法法则计算,再根据整式的加法法则计算,
(3)根据平方差公式进行计算,
(3)根据完全平方公式进行计算.
（1） （2）
原式=
=
（4）
原式= 原式=
= =
点睛:本题主要考查实数的运算和整式乘除加减运算,乘法公式,解决本题的关键是要熟练掌握运算法则和乘法公式.
18. 如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分，（保留作图痕迹，没有写作法）

【正确答案】见下图．

【详解】试题分析：作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．
试题解析：如图，直线AD即为所求：

考点：作图—复杂作图．

19. 如图，∠AOB=90°，OA=0B，直线点O,分别过A、B两点作AC⊥交于点C，BD⊥交于点D.
求证：AD=OD.

【正确答案】见解析

【分析】由AAS证明△AOC≌△OBD即可得到AC=OD．
【详解】证明： ∵∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵AC⊥，BD⊥
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠A+∠AOC=90°
∴∠A=∠BOD．
又∵OA=OB
∴△AOC≌△OBD（AAS）
∴AC=OD
20. 一个没有透明的袋中装有5个黄球、15个黑球和20个红球，它们出颜色外都相同.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，问取出了多少个黑球?
【正确答案】（1）从袋中摸出一个球是黄球的概率是；（2）取出了5个黑球．

【分析】(1)根据概率公式用黄球个数除以总球数即可；
(2)设取出了x个黑球， 利用概率公式得到即可．
【详解】解：(1)从袋中摸出一个球是黄球的概率=，
(2)设取出了x个黑球．
根据题意得，解得x=5，
答:取出了5个黑球．
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n, 再从中选出符合A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算A或B的概率.解决本题的关键是接着概率公式．
21. 开学期间，为了打扫卫生，班主任派卫生委员小敏去轻工市场购买一些扫帚和抹 布.选定一家店后，老板告诉小敏，扫帚每把25元，抹布每块5元，现为了搞促销，有两种优惠. 一：买一把扫帚送一块抹布；二：扫帚和抹布都按定价的90%付款.
小敏需要购买扫帚6把，抹布x块（x＞6）
(1)若小敏按一购买，需付款多少元（用含x的式子表示）；(2)若小敏按二购买，需付款多少元（用含x的式子表示）；(3)当x=10时，通过计算说明此时按哪种购买较为合算；(4)当x=10时，你能给小敏提供一种更为的购买吗？试写出你的购买方法.
【正确答案】（1）小敏按一购买，需付款（5x+120）元；（2）小敏按二购买，需付款（4.5x+135）元；（3）一；（4）共需168元.

【详解】试题分析：（1）根据题意列出算式即可；
（2）根据题意列出算式即可；
（3）把x=10分别代入求出结果，即可得出答案；
（4）先在一买6把扫帚，再在二买4块抹布即可.
试题解析：（1）一：买一把扫帚送一块抹布， 小敏需要购买扫帚6把，抹布x块（x＞6），若小敏按一购买，需付款25×6+5（x﹣6）=（5x+120）元；
（2）二：扫帚和抹布都按定价的90%付款，小敏需要购买扫帚6把，抹布x块（x＞6），若小敏按二购买，需付款25×6×0.9+5x•0.9=（4.5x+135）元；
（3）一需：5×10+120=170元，二需4.5×10+135=180元， 故一；
（4）其中6把扫帚6块抹布按一买，剩下4块抹布按二买，共需168元.
本题主要考查列代数式及代数式求值，解题的关键是审清题意，能根据题意列出代数式，并通过相应的计算来确定购买方法.
22. 如图，某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量，∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD=24m.若每平方米草皮需要200元，则种植这片草皮需要多少元？

【正确答案】种植这片草皮需要234×200=46800元.

【分析】先连接AC，根据勾股定理计算出AC,再根据勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形,然后根据面积公式计算．
【详解】解：如图,连接AC，如图所示，

∵∠B=90°，AB=20m，BC=15m，
∴AC==25m，
∵AC=25m，CD=7m，AD=24m，
∴AD2+DC2=AC2，
∴△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°，
∴S△ABC=×AB×BC=×20×15=150m2，S△ACD=×CD×AD=×7×24=84m2,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=234m2.
所以种植这片草皮需要234×200=46800元．
本题主要考查勾股定理和勾股定理逆定理,解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理及其逆定理．
23. （1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；

（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．
（4）能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长．
【正确答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN＝．

【详解】试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再证MN=ND，则求出ND的长度，即可得到答案．
解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；
（2）EF＝BE＋FD仍然成立．
证明：如答图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，
在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－∠BAD＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF与△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．
又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．
∴EF＝BE＋FD．

（3）如答图2，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中条件，
∴结论EF＝AE＋FB成立．
∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）.
答：此时两舰艇之间的距离为210海里；
（4）如答图3，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，
在△ACD与△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，
则△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°，
∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°，
∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD，
又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°，
∴对于四边形AMCD符合探索延伸，
则ND=MN，
∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3，
∴MN=ND=．