高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程课后复习题

【名师】2.7.1 抛物线的标准方程-1练习

一．填空题

1．

已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为__________.

2．抛物线（）上的一点到其焦点F的距离______.

3．

已知抛物线的焦点为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，若，，三点共线，且，则抛物线的准线方程为_______．

4．

已知拋物线与圆相交于点，点关于原点对称的点为若过点的直线(且不过点)与抛物线交于两点，则直线与的斜率之积为___________.

5．一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号)

（1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；

（2）与抛物线对称轴不平行？不共线的射线不能被该抛物线覆盖；

（3）射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；

（4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.

6．

若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________.

7．已知函数（，且）的图象恒过定点，且点在抛物线上，设该抛物线的焦点为，准线为，则以点为圆心，且与相切的圆方程为___________.

8．

已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点满足，则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为______．

9．已知抛物线的焦点是圆的圆心，则抛物线的准线方程是__________ ．

10．

已知抛物线C：的焦点为F（O为坐标原点），过点F的直线交抛物线C于点A．B，若，则的面积为__________．

11．已知抛物线的焦点为，点在上，且，则的坐标是______．

12．

已知是抛物线的焦点，是的准线与轴的交点，，分别是与上的动点，当四边形是梯形且时，该梯形的一内角为，面积为，则________．

13．以抛物线的焦点为圆心，且与直线(为参数）相切的圆的标准方程是____________.

14．

已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过坐标原点作两条互相垂直的射线，与分别交于，则直线过定点______．

15．

已知抛物线的焦点为为上一点，以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，若三点共线，则_____________．

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】

设抛物线的焦点为F，，

，

，

故答案为：.

2．【答案】5.

【解析】分析：将点坐标代入方程中可求得抛物线的方程，从而可得到焦点坐标，进而可求出

详解：解：为抛物线上 一点，

即有，，

抛物线的方程为，

焦点为，

即有.

故答案为：5.

3．【答案】

【解析】

解：设中点为，因为，，三点共线，则为圆的直径，即，

所以，

由抛物线的定义可得，为的中位线，

所以，则抛物线的准线方程为：.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】

在圆上，，解得：；

在抛物线上，，，，解得：，

抛物线方程为：；

由题意可知：，易知直线斜率存在，设，

由得：，

则，解得：或，

设，，则，，

，，

，，

.

故答案为：.

5．【答案】（1）（2）（4）

【解析】分析：由平面图形被该抛物线覆盖的定义逐项分析判断即可

详解：解：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以（1）正确；

由于过抛物线内部一点的直线（不平行于轴）与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行．不共线的射线，所以（2）正确；

由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以（3）错误；

取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以（4）正确

故答案为：（1）（2）（4）

【点睛】

关键点点睛：此题考查新定义，考查抛物线的性质的应用，解题的关键是对新定义的正确理解，属于中档题

6．【答案】

【解析】

抛物线的准线方程为，点到其准线的距离为，

由题意可得，解得，故抛物线的标准方程为.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：首先求出点的坐标，代入抛物线方程可得的值，即可得抛物线的方程，进而可求出点坐标和直线的方程，利用直线与圆相切即可得半径，进而可得圆的标准方程.

详解：有题意可知恒过点，

将点代入可得，解得：，

所以抛物线为，焦点坐标，准线方程为：，

到准线的距离为，

所以所求圆的半径为

所以以点为圆心，且与相切的圆的方程为：，

故答案为：.

8．【答案】

【解析】

由抛物线方程可得，由抛物线定义可得，

，

则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】分析：由圆的一般式方程得圆的圆心为,进而得准线方程是．

详解：将圆的一般式方程化为标准方程得

所以圆心是,

于是抛物线的焦点是故

故其准线方程是．

故答案为: ．

10．【答案】

【解析】

， 设直线的方程为，

由可得，所以

因为

所以，所以

所以，解得，即

所以

点到直线的距离为

所以的面积为

故答案为：

11．【答案】或

【解析】分析：设，根据抛物线的定义可得，解出即可.

详解：设，由抛物线的定义，，

又，所以，代入得：，

故或．

故答案为：或

12．【答案】或

【解析】

根据抛物线的图象特征可知，当四边形是梯形时，，且，

当时，如图1所示，过作于，则，

设，则，由抛物线的定义可知，，所以，．

由，解得或（舍去），

当时，如图2所示，过作于，

设，则，，所以，

由抛物线的定义可知，，所以，，所以．

由，解之得或（舍去）．

综上可知或．

故答案为：或.

13．【答案】

【解析】分析：将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,进而得答案.

详解：解：将抛物线方程化为标准方程得，所以焦点坐标为，

将直线的参数方程化为普通方程得，

所以点到直线的距离为，

所以所求圆的方程为.

故答案为：

14．【答案】

【解析】

因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，

所以所以抛物线的方程为.

设的方程为与抛物线的方程联立得，

同理，的方程为与抛物线的方程联立得点，

故直线的斜率，

故直线的方程为

整理得，

故直线过定点；

当时，直线的方程为也过点，

综上可知，直线过定点.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】

设中点为，

因为三点共线，则为圆的直径，即

所以，

由抛物线的定义可得，

由，则，

为的中位线，

所以，解得，

所以.

故答案为：