人教B版 (2019)第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程综合训练题

【精编】2.5.1 椭圆的标准方程-1作业练习

一．填空题

1．已知F1，F2是离心率为的椭圆的焦点，M是椭圆上第一象限的点，若I是的内心，G是的重心，记与的面积分别为S1，S2，则___________.

2．已知为椭圆的两个焦点，若在椭圆上，且满足，则椭圆的方程为_________.

3．设椭圆的左．右顶点分别为，，是椭圆上不同于，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当取得最小值时，椭圆的离心率是______.

4．在直角三角形中，，椭圆的一个焦点为C，另一个焦点在边上，并且椭圆经过点，则椭圆的长轴长等于______.

5．若实数，满足方程，则的取值范围为________．

6．已知椭圆的左．右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________.

7．已知椭圆的方程为.如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰为椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为________.

8．如图，椭圆C：的左？右焦点分别为？，B为椭圆C的上顶点，若的外接圆的半径为，则椭圆C的离心率为________.

9．已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________．

10．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为__________.

11．焦点在x轴上的椭圆过点，焦距为2，则椭圆的离心率为_______．

12．已知椭圆的焦点为，P是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是___________.

13．两个顶点的坐标分别是，，边．所在直线的斜率之积等于，则顶点的轨迹方程为_________.

14．在平面直角坐标系中，，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为________.

15．已知点分别为椭圆的左，右焦点，点为的左顶点，上的点到点的最小距离为.过原点的直线交于，两点，直线交于点，且，则椭圆的标准方程为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先根据离心率确定，再根据条件用表示的面积，然后寻找及与的面积的关系即可得出结果.

详解：由于椭圆的离心率为，所以，即，

设的面积为S，内切圆的半径为r，

则，

所以，

所以，

因为G是的重心，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：本题的关键是及和的面积建立联系.

2．【答案】

【解析】分析：由椭圆的定义和点在椭圆上，可建立方程组，解之可得椭圆的标准方程．

详解：由得，解得，又在椭圆上，所以椭圆，解得，

所以椭圆的方程为．

故答案为：．

3．【答案】

【解析】分析：设出的坐标,得到(用,表示)，求出，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求 ．

详解：解：，，设，，则，

则，，，

，

令，则．，

当时， 函数取得最小值． ．，

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质．关键利用导数研究函数的单调性极值与最值．

4．【答案】

【解析】分析：利用勾股定理求出，然后在焦点三角形中，利用椭圆的定义表示出和，根据列式计算长轴长.

详解：解：如图，设椭圆的长轴长为，因为，则，

，，则，所以.

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：由已知条件得出点P在以为焦点，以为长轴长的椭圆上，再由两点的距离公式得出表示点到点的距离之和，再根据椭圆的定义将问题转化为求的范围，根据两点的距离公式可求得范围．

详解：设点，则由椭圆的定义得点P在以为焦点，以为长轴长的椭圆上，所在椭圆的方程为：，

而表示点到点的距离之和，即，

由椭圆的定义得，所以，所以，

而，又，所以，

所以的取值范围为，

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查根式的最值和范围求解问题，解决的关键在于利用椭圆的定义得出动点的轨迹，将问题转化为求两线段的距离之差的范围．

6．【答案】

【解析】分析：运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．

详解：解：设的内切圆与相切于D，E，F，

设，

则，

由椭圆的定义，可得，，

即有，

即有：，即，

再由，

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆的方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于中档题．

7．【答案】

【解析】分析：椭圆方程右焦点坐标，则，把点代入椭圆方程能求出，即可求出椭圆的离心率．

详解：解：由椭圆方程得到右焦点的坐标为，

直线与椭圆的一个交点在轴的射影恰为椭圆的右焦点得到轴，

的横坐标为，

代入到直线方程得到的纵坐标为，

则

把的坐标代入椭圆方程得：，

化简得：，

即

解得，（舍去），

，．所以椭圆方程为，所以，，则

所以

故答案为：．

8．【答案】

【解析】分析：由题意可得的外接圆的圆心在线段上，，，可得

，在中，由勾股定理可得：，即

，结合即可求解.

详解：

由题意可得：的外接圆的圆心在线段上，，

设圆心为，则，

在中，由勾股定理可得：，即，

所以，即，所以，所以，

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：求椭圆离心率的方法：

（1）直接利用公式；

（2）利用变形公式；

（3）根据条件列出关于 的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.

9．【答案】

【解析】分析：由题意，利用直角三角形的边角关系可得，再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出．

详解：设直线的倾斜角为，则，

．

在直角三角形中，令，则

由椭圆定义得椭圆的离心率．

故答案为：．

【点睛】

熟练掌握直角三角形的边角关系．椭圆的定义．离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题．

10．【答案】

【解析】分析：设，，，根据勾股定理得出，而由椭圆的定义得出的周长为，有，便可求出和的关系，即可求得椭圆的离心率.

详解：解：由已知，的三边长，，成等差数列，

设，，，

而，根据勾股定理有：，

解得：，

由椭圆定义知：的周长为，有，，

在直角中，由勾股定理，，即：，

∴离心率.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.

11．【答案】

【解析】分析：由条件焦点在x轴上的椭圆过点,则，又焦距为2,则，从而可得答案.

详解：由条件设椭圆的标准方程为

由椭圆过点,则，又焦距为2,则

所以椭圆的离心率为

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：由等比中项的概念求出，结合求得，从而可得椭圆方程．

详解：由题意，，所以，，

所以椭圆方程为．

故答案为：．

13．【答案】

【解析】分析：设点将斜率之积用点坐标表示出来，化简即可得到顶点的轨迹方程.

详解：解：设点则

所以化简得.

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：先分析出，得到，消去b，整理出a．c的齐次式，求出离心率的范围.

详解：由落在椭圆上，则.

又得：

∴

由得：，即，解得：

又，∴

故答案为：

【点睛】

求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a．b．c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．

15．【答案】

【解析】分析：根据题意作出示意图，根据均为中点可知为的中位线，由此可根据得到的一个关系式，再根据椭圆上的点到的最小距离得到的另一个关系式，由此求解出的值，则椭圆方程可求.

详解：如图，连接，，

因为为的中点，

所以是的中位线，所以，

所以，即，所以，

又上的点到点的最小距离为，

则，解得，，所以.

故椭圆的标准方程为，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值：

（1）最大值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点两侧；

（2）最小值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点同侧.

(可利用点到点的距离公式结合椭圆方程进行证明)