高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程学案设计

椭圆的标准方程

自主学习·必备知识

见学用75页

教材研习

教材原句

要点一椭圆的定义

如果，，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足① 的动点的轨迹称为椭圆，其中，两个定点，称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的② 焦距 .

要点二椭圆的标准方程

1.焦点在轴上的椭圆的标准方程：③ ，其中 .此时椭圆的焦点为， .

2. 焦点在轴上的椭圆的标准方程：④ ，其中 .此时椭圆的焦点为， .

自主思考

1.已知，，平面内到，，两点的距离之和等于8和等于6的点的轨迹是椭圆吗？

答案：提示因为，所以动点的轨迹是线段，不是椭圆；因为，所以动点不存在，因此轨迹不存在.

2.由椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？

答案：提示判断椭圆焦点在哪个坐标轴上就要判断椭圆的标准方程中项、项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.

名师点睛

1.对椭圆定义的三点说明

（1）椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.

（2）定义中到两定点的距离之和是常数，不能是变量.

（3）常数（）必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是不是椭圆的限制条件.

2.对椭圆标准方程的三点认识

（1）标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴或轴上.

（2）标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与或与的平方和，并且分母为不相等的正值.

（3），，三个量的关系：椭圆的标准方程中，表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.长为，，（都是正数）的线段恰构成一个直角三角形的三条边，是斜边长，所以，，且 .（如图所示）

互动探究·关键能力

见学用76页

探究点一椭圆的定义

精讲精练

例（1）如图所示，是圆内一定点，是圆周上一个动点，的垂直平分线与交于点，则点的轨迹是(      )

A.圆B.椭圆

C.线段D.射线

（2）若动点满足，则动点的轨迹是(     )

A.线段B.圆

C.椭圆D.直线

答案：（1）（2）

解析：（1）连接（图略），垂直平分，，设圆的半径为，

则，故点的轨迹是以，A为焦点的椭圆，故选B.

（2）动点满足，设，，

可得，，

动点的轨迹为线段.

解题感悟

椭圆的定义具有双向作用，即若（），则动点的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和必为 .

迁移应用

1.点是圆：内一定点，动圆与已知圆内切且过点，判断圆心的轨迹.

答案：方程化成标准形式为，则，半径 .因为动圆与已知圆内切且过点，所以，根据椭圆的定义知，圆心到两定点，的距离之和为定值8，且，所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆.

探究点二用待定系数法求椭圆的方程

精讲精练

例（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-4,0)(4,0)，并且经过点，求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆经过(2,0)和(0,1)两点，求椭圆的标准方程.

答案：（1）椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为 .依题意得解得

所求椭圆的标准方程为 .

（2）设椭圆的方程为 .

椭圆过(2,0)和(1,0)两点，

所求椭圆的标准方程为 .

解题感悟

求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.

（1）当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在轴上和焦点在轴上进行分类讨论，但要注意这一条件.

（2）当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成的形式，有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.

迁移应用

1.已知椭圆的右焦点为，点(0,-3)在椭圆上，则椭圆的方程为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：由题意可得解得故椭圆的方程为 .

2.与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：化为标准方程为，

可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，

故可设所求椭圆的方程为，

又，即，，所以，故所求椭圆的标准方程为 .

探究点三椭圆的定义及方程的应用

精讲精练

例（1）（多选）（2021山东聊城高二期中）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则(     )

A.的周长为12

B.

C.点到轴的距离为

D.

（2）已知分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，，且，则与的面积之比为(     )

A. B.

C. D.

答案：（1） ; ; （2）

解析：（1）由椭圆方程知，，所以，，

所以的周长为，故A选项错误；

在中，由余弦定理可得，

所以，

解得，

故，故B选项正确；

设点到轴的距离为，

则，

所以，故C选项正确；

，故D选项正确.

（2）设，则，

，，

由椭圆的定义可得，，则，

，，

即，解得，

则与的面积之比 .

解题感悟

（1）在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于 .

（2）在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等）来求解.

迁移应用

1.设为椭圆上的一个点，，为椭圆的焦点，，则的面积为(     )

A.3B.3C.2D.33

答案：

解析：因为椭圆的方程为，所以，，，

设，，则，

由余弦定理得

，又，所以，

又，

所以，即，

所以 .

评价检测·素养提升

见学用77页

课堂检测

1.（2020山东潍坊高二月考）若点到两定点，的距离之和为2，则点的轨迹是(      )

A.椭圆B.直线

C.线段D.不存在

答案：

2.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是(     )

A. B.

C. D.或

答案：

3.已知椭圆，分别是其左、右焦点，过点作一条斜率不为0的直线交椭圆于两点，则的周长为(     )

A.5B.10C.20D.40

答案：

素养演练

逻辑推理——利用椭圆的定义求解最值问题

1.（2020山东临沂高二期中）点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为 .

解析：审：已知椭圆的方程，求椭圆上的动点到圆上的动点与定点距离差的最小值.

联：记椭圆的左焦点为，则，由圆的方程，得到圆的圆心和半径，画出图形，结合图形，得到，即可求出结果.

答案：解：记椭圆的左焦点为，

则①，

所以，

可化为，即圆的圆心为②(-3,4)，半径，

作出图形如下：

由圆的性质可得，，

所以（当且仅当③，，，四点共线时，等号成立），所以的最小值为 .

解析：思：求一动点到两点的距离差的最小值时，一般根据动点的轨迹方程，结合定义，将差转化为距离和的问题，结合图形，即可求出结果.