人教B版 (2019)第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.2 空间向量基本定理练习题

1.1.2 空间向量基本定理

一、    概念练习

1.已知为空间的一组基底, 则下列向量也能作为空间的一组基底的是(   )
A.   B.
C.  D.

2.如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（）

A. B. C. D.

3.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分所成的定比为2，现用基向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为(   )

A.，， B.，，

C.，， D.，，

4.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为(   )

A.
B.
C.
D.

5.在下列条件中，一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是(   )
A. B.

C. D.

二、能力提升

6.已知空间A、B、C、D四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且，则实数x的值为(   )

A. B. C. D.

7.设向量是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是(   )

A.a B.b C.c D.a或b

8.（多选）在四棱柱中，底面是边长为1的正方形,，则下列选项正确的是（）

A. 

B.

C.若，则

D.若直线与交于点，则

9.（多选）给出下列命题，其中正确的有(   )

A.空间任意三个向量都可以作为一个基底

B.已知向量，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底

C.A，B，M，N是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面

D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

10.（多选）在三棱锥中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，G是的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且，则下列说法正确的是(   )

A. B. C. D.

11.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则____________.

12.在直三棱柱中，若，，，则__________.（用a，b，c表示）

13.已知A,B,C三点共线，如果对空间中任一点O，总存在三个不为0的实数,m,n，使得，那么的值为_________.

14.如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,且,点G在AH上,且.若G,P,B,D四点共面,求m的值.
 

15.如图，H为四棱锥的棱PC的一个三等分点，且，点G在AH上，且，四边形ABCD为平行四边形，若B,G,P,D四点共面，求实数m的值.
 

答案以及解析

1.答案：B

解析：因为, 所以选项, D 中的向量共面, 不能作为空间的基底; 对于选项B,假设共面, 则存在, 使, 所以无解,所以不共面,可以作为空间的一组基底.故选 B

2.答案：B

解析：因为，所以，

根据空间向量的运算法则，可得

，

又因为，，，所以.

故选：B.

3.答案：D

解析：




，，.

4.答案：C

解析：连接BD，E为PD的中点，.故选C.

5.答案：C

解析：要使空间中的四点M,A,B,C共面，只需满足，且即可.
A中，，故此时M,A,B,C四点不共面；
B中，,故此时M,A,B,C四点不共面；
C中，，即，
即，，故此时M,A,B,C四点共面；
D中，，则，，故此时M,A,B,C四点不共面.故选C.

6.答案：A

解析：因为空间中的四点A,B,C,D共面，但任意三点不共线，且对于该平面外任意一点P，都有，所以，解得.故选A.

7.答案：C

解析：因为是空间的一组基底，所以向量a，b，c不共面，而向量，与a或b共面.故排除选项A,B,D.故选C.

8.答案：AB

解析：对A，由题意，，A正确；

对B，，B正确；

对C，，

则，C错误；

对D，由题意可知，，

则

，D错误.

故选：AB.

9.答案：BCD

解析：选项A中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，故A错误.选项B中，根据基底的概念，知B正确.选项C中，由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面.又，，均过点B，所以A，B，M，N四点共面，故C正确.

选项D中，已知是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量构成空间的另一个基底，故D正确.故选BCD.

10.答案：ABD

解析：如图，设，，，则是空间的一个正交基底，

则，取AB的中点H，则，

，，

，，

，A正确；，B正确；，C不正确；，D正确.故选ABD.

11.答案：

解析：因为点P与A，B，C三点共面，所以，解得.

12.答案：

解析：如图，.

13.答案：0

解析：A,B,C三点共线,存在唯一的实数k，使得，即，，又，，，，.

14.答案：连接...,.又,,.又四点共面,,解得.

15.答案：,且,.
,.
，.
又,.
,
.
连接BG. ,
.
又B,C,P,D四点共面，
,解得.