高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数1 对数的概念导学案

【新教材】4.3.1 对数的概念（人教A版）

1、理解对数的概念以及对数的基本性质；

2、掌握对数式与指数式的相互转化；

1.数学抽象：对数的概念；

2.逻辑推理：推导对数性质；

3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；

4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.

重点：对数式与指数式的互化以及对数性质；

难点：推导对数性质．

一、 预习导入

阅读课本122-123页，填写。

1．对数的概念

如果＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做_______________，记作，其中a叫做_________，N叫做_______________.

[点睛]　是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．

2．常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做_______________，以e为底的对数称为_______________，可简记为______，简记为______.

3．对数与指数的关系

若a＞0，且a≠1，则＝N⇔＝______.

对数恒等式：＝______；＝______(a＞0，且a≠1)．

4．对数的性质

(1)1的对数为______；

(2)底的对数为______；

(3)零和负数____________.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)

(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)

(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)

2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有(　　)

A．log2M＝a　　　　　　　   B．logaM＝2

C．loga2＝M     D．.log2a＝M

3．log21＋log22＝(　　)

A．3　　　　 B．2　　    　　C．1　　　　   D．.0

4．已知log3＝0，则x＝________.

题型一    对数式与指数式的互化

例1  将下列指数式与对数式互化:

(1)lo27=-3;　(2)43=64;    (3)e-1=;　(4)10-3=0.001.

跟踪训练一

1. 将下列指数式与对数式互化:

(1)2-2=;　(2)102=100;　(3)ea=16;

(4)log64=-;　(5)logxy=z(x>0,且x≠1,y>0).

题型二   利用对数式与指数式的关系求值

例2    求下列各式中x的值:

(1)4x=5·3x;　(2)log7(x+2)=2;

(3)ln e2=x;　(4)logx27=;     (5)lg 0.01=x.

跟踪训练二

1.求下列各式中的x值:  

(1)log2x=;(2)log216=x;(3)logx27=3.

题型三 利用对数的基本性质与对数恒等式求值

例3 求下列各式中x的值:

（1）;　(2);   (3)=9.

跟踪训练三

1. 求下列各式中x的值:

(1)ln(lg x)=1;(2)log2(log5x)=0;(3)=x.

1．方程2log3x＝的解是(　　)

A．x＝     B．x＝

C．x＝     D．x＝9

2．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)

A．a＞且a≠1     B．0＜a＜

C．a＞0且a≠1     D．a＜

3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)

A．e0＝1与ln 1＝0

B．8－＝与log8＝－

C．log39＝2与9＝3

D．.log77＝1与71＝7

4．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.

解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3.

5．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________.

6．已知log7(log3(log2x))＝0，那么x＝________.

7.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．

(1)53＝125；       (2)4－2＝；

(3)log8＝－3；   (4)log3＝－3.

8．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．

答案

小试牛刀

1．(1)×　(2)×　(3)√

2．B

3．C

4．3     

自主探究

例1 【答案】(1)=27.　  (2)log464=3.    (3)ln=-1.　 (4)lg 0.001=-3.

跟踪训练一

1.【答案】(1)log2=-2.　(2)log10100=2,即lg 100=2.   (3)loge16=a,即ln 16=a.　

(4)    6.   (5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).

例2 【答案】（1）x=lo5 （2）x=47 （3）x=2 （4）x=9（5）x=-2

【解析】(1)∵4x=5·3x,∴=5,∴=5,∴x=lo5.

(2)∵,∴x+2=49,∴x=47.

(3)∵,∴,∴x=2.

(4)∵,∴=27,∴x=2=32=9.

(5)∵lg 0.01=x,∴,∴x=-2.

跟踪训练二

1.【答案】（1）x= （2）x=4 （3）x=3

【解析】(1)∵log2x=,∴x=,∴x=.

(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.

(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,,∴x=3.

例3 【答案】（1）x= （2）x=100 （3）x=81

【解析】(1)∵,∴,∴x=2.

(2)∵,∴lg x=2,∴x=100.

(3)由=9得=9,解得x=81.

跟踪训练三

1.【答案】（1）（2）x=5 （3）x=45

【解析】(1)∵ln(lg x)=1,∴lg x=e,∴；

(2)∵log2(log5x)=0,∴,∴x=5.

(3)x=32×=9×5=45.

当堂检测 

1-3、ABC

4、4   -3 

5、－

6、

7.【答案】(1)∵53＝125，∴log5125＝3.

(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.

(3)∵log8＝－3，∴－3＝8.

(4)∵log3＝－3，∴3－3＝.

8.【答案】16

【解析】∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.

∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.

∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.