北师大版 (2019)必修 第一册1 对数的概念多媒体教学ppt课件

学习目标　1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．

导语

苏格兰数学家纳皮尔，在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的．经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！

一、对数的概念

问题1　我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若x＝128，则x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？

提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解．

知识梳理

1．对数的概念

一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．

2．两种特殊对数

注意点：

(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换．特别注意N>0.

(2)logaN不是loga与N的乘积，而是对数符号.

例1　若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞)   B．(2,3)∪(3，＋∞)

C．(－∞，2)   D．(2，＋∞)

答案　B

解析　要使对数式log(t－2)3有意义，

需

解得t>2，且t≠3.

所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．

反思感悟　关于对数式的范围利用式子logab⇒求字母的范围．

跟踪训练1　在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　　)

A．(－∞，3]  B．(3,4)∪(4，＋∞)

C．(4，＋∞)   D．(3,4)

答案　B

解析　由对数的概念可得

解得3<x<4或x>4.

二、对数式与指数式的互化

问题2　现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？

提示　x＝log23；x＝log1.112；x＝log105.

知识梳理

对数与指数的关系：

若a>0，且a≠1，则ab＝N⇔logaN＝b.

注意点：

(1)特别注意ab>0，故N >0.

(2)不是每一个指数式都可以化为对数式．如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.

例2　将下列指数式与对数式互化：

(1)2－2＝；

(2)102＝100；

(3)ea＝16；

(4)＝；

(5)log39＝2；

(6)logxy＝z(x>0且x≠1，y>0)．

解　(1)log2＝－2.

(2)log10100＝2，即lg 100＝2.

(3)loge16＝a，即ln 16＝a.

(4)log64＝－.

(5)32＝9.

(6)xz＝y.

例3　求下列各式中x的值：

(1)log64x＝－；

(2)logx8＝6；

(3)lg 1 000＝x；

(4)log5＝x.

解　(1)x＝＝＝4－2＝.

(2)因为x6＝8，且x>0，

所以x＝＝.

(3)10x＝1 000＝103，所以x＝3.

(4)5x＝＝5－2，所以x＝－2.

反思感悟　指数式与对数式互化的思路

跟踪训练2　(1)(多选)下列指数式与对数式互化正确的有(　　)

A．e0＝1与ln 1＝0

B．＝与log8＝－

C．log416＝2与＝4

D．log77＝1与71＝7

答案　ABD

解析　C选项中，由log416＝2，得42＝16，故C错误，ABD均正确．

(2)求下列各式的值．

①log981＝        .

②log0.41＝        .

③ln e2＝        .

答案　①2　②0　③2

解析　①设log981＝x，所以9x＝81＝92，

故x＝2，即log981＝2.

②设log0.41＝x，

所以0.4x＝1＝0.40，

故x＝0，即log0.41＝0.

③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.

三、利用对数的性质及对数恒等式求值

知识梳理

1．对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．

2．对数的性质

(1)loga1＝0；

(2)logaa＝1；

(3)零和负数没有对数．

注意点：

对数恒等式中logaN系数为1.

例4　求下列各式中x的值：

(1)ln (log5x)＝0；

(2)log3(lg x)＝1；

(3)x＝.

解　(1)∵ln (log5x)＝0，

∴log5x＝1，

∴x＝51＝5.

(2)∵log3(lg x)＝1，

∴lg x＝3，

∴x＝103＝1 000.

(3)x＝＝7÷＝7÷5＝.

反思感悟　利用对数的性质及对数恒等式求值

(1)对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质：loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解．

(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式：＝N的应用．

跟踪训练3　(1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　)

A．9   B．8 

C．7   D．6

答案　A

解析　∵log2(log3x)＝0，

∴log3x＝1，

∴x＝3，同理y＝4，z＝2，

∴x＋y＋z＝9.

(2)＝        .

答案　4

解析　

(3)＝        .

答案　10

解析　

1．知识清单：

(1)对数的概念．

(2)两种特殊对数：自然对数、常用对数．

(3)指数式与对数式的互化．

(4)对数恒等式及对数的性质．

2．方法归纳：转化化归．

3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．

1．logab＝1成立的条件是(　　)

A．a＝b   B．a＝b且b>0

C．a>0，a≠1   D．a>0，a＝b≠1

答案　D

解析　由logab＝1得a>0，且a＝b≠1.

2．将－2＝9写成对数式，正确的是(　　)

A．log9＝－2   B．＝－2

C．＝9   D．log9(－2)＝

答案　B

解析　根据对数的定义，得＝－2.

3．若log3x＝3，则x等于(　　)

A．1  B．3  C．9  D．27

答案　D

解析　∵log3x＝3，∴x＝33＝27.

4．若log2(logx9)＝1，则x＝        .

答案　3

解析　由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，

∴x＝3(x＝－3舍去)．

5．求值：

(1)＝        ；

(2)＝        .

答案　(1)4　(2)6

解析　(1)

(2)

1．若7x＝8，则x等于(　　)

A.   B．log87 

C．log78   D．log7x

答案　C

2．已知ln x＝2，则x等于(　　)

A．±2  B．e2  C．2e  D．2e

答案　B

解析　由ln x＝2得，e2＝x，所以x＝e2.

3．使对数loga(5－a)有意义的a的取值范围为(　　)

A．(0,1)∪(1，＋∞)   B．(0,5)

C．(0,1)∪(1,5)   D．(－∞，5)

答案　C

解析　由对数的概念可知a需满足a>0且a≠1且5－a>0，解得0<a<5且a≠1.

4．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于(　　)

A．9   B．8

C．7   D．6

答案　B

解析　由条件知，log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝8.

5．设＝25，则x的值等于(　　)

A．10   B．13 

C．100   D．±100

答案　B

解析　由＝25得2x－1＝25，所以x＝13.

6．若log3＝x，则x＝        .

答案　－4

解析　∵log3＝log33－4，∴3x＝3－4，∴x＝－4.

7．方程4x－2x－6＝0的解为        ．

答案　x＝log23

解析　由4x－2x－6＝0，得(2x)2－2x－6＝0，解得2x＝3，或2x＝－2(舍去)，所以x＝log23.

8．若a＝log92，则9a＝        ，3a＋3－a＝        .

答案　2　

解析　a＝log92，则9a＝2，

所以3a＝，3a＋3－a＝＋＝.

9．将下列指数式与对数式互化：

(1)＝ ；

(2)＝4；

(3)lg 0.001＝－3.

解　(1)由＝，可得log5＝－.

(2)由＝4，可得()4＝4.

(3)由lg 0.001＝－3，可得10－3＝0.001.

10．求下列各式的值：

(1)

(2)

(3)

解　(1)＝4.

(2)∵＝4，

∴

＝4×＝.

(3)∵＝5，∴＝16×5＝80.

11．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是(　　)

A．1  B．0  C．x  D．y

答案　B

解析　由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，

得(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，

∴logx(yx)＝log2(12)＝0.

12．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为(　　)

A．－3   B．3

C．－1或3   D．1或－3

答案　B

解析　由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，

得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，

解得x＝－1或x＝3.

经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.

13．若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为        ．

答案　

解析　∵a＝lg 2，

∴10a＝2.

∵b＝lg 3，∴10b＝3.

∴＝＝.

14．已知＝1，则x＝        .

答案　2

解析　由题意可知

由③可得x2－3x＋2＝0，所以x＝1或x＝2，分别代入①②，x＝1不适合①，x＝2符合题意，所以x＝2.

15．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值是3，则a的值为        ．

答案　

解析　因为二次函数f(x)有最大值，所以lg a<0.

又[f(x)]max＝＝＝3，

所以4lg2a－3lg a－1＝0.

所以lg a＝1或lg a＝－.

因为lg a<0，

所以lg a＝－，

所以a＝.

16．若，试比较x，y，z的大小关系．

解　由＝0，得

＝1，log5z＝，

由＝0，得

＝1，

log3y＝，

又由＝0，得

＝1，

log2x＝，

因为310>215>56，所以y>x>z.