2021-2022学年山西省长治市沁源一中、榆社一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案解析）

2021-2022学年山西省长治市沁源一中、榆社一中高一（下）月考数学试卷（3月份）

1.  下列各量中是向量的为(    )

A. 海拔 B. 压强 C. 加速度 D. 温度

2.  设向量，，若满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平行四边形ABCD中，(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若与满足，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D. 2

6.  初等数学的应用性发展，其突出的一点就是三角术的发展．三角术是人们为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的．对于一切，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，始终满足：其中，R是外接圆的半径若的边长，外接圆半径，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知不共线，，若P，A，B三点共线，则下列各组数中成立的是(    )

A.  B. ，
C. ， D. ，

8.  在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则为(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形

9.  如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达B处，此时测得俯角为，已知此山的高，小车的速度是，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知正方形ABCD的边长为7，E是AB的中点，，AF与DE交于点M，则的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  平面向量与共线，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

13.  向量，，则__________.

14.  中，，，，则角______.

15.  的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则的面积为__________.

16.  已知在直角三角形ABC 中，，，点P是斜边AB上的中点，则______.

17.  设平面向量三点，，
求向量，的坐标；
若四边形ABCD为平行四边形，求点D坐标；
求与垂直的单位向量的坐标．

18.  的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，
求b的值；
求的值．

19.  已知，
若，求与夹角的正弦值；
若，求实数m的值．

20.  在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，条件①：；条件②：求：
的大小；
的面积．

21.  如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为的公路长度均超过千米，在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米．
求线段MN的长度；
若，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．
 

22.  已知向量，，函数
求函数的单调增区间；
当时，恒成立，求实数m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：向量是既有大小，又有方向的量，
海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向，
加速度是向量，
故选：
利用向量的定义判断即可．
本题考查向量的定义，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：向量，，
若，则
解得
故选：
根据两向量垂直数量积为0，列出方程求出解即可．
本题考查了平面向量的数量积问题，是基础题目．
 

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查向量的求法，考查平面向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用平面向量加法与减法法则直接求解．

【解答】

解：在平行四边形ABCD中，

故选：
 

4.【答案】C 

【解析】解：因为，
所以，，，
所以，，
所以与的夹角为
故选：
利用模的坐标运算及向量数量积的坐标运算求出，，，再利用夹角公式即可求解．
本题主要考查向量数量积的坐标运算，模的运算，向量夹角公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：，，，

故选：
根据平面向量的数量积公式计算即可．
本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：由已知，
所以
故选：
由已知，代入即可直接求解．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：，A，B三点共线，存在实数t使得，
，
，
，
且，，
满足条件的有，
故选：
根据P，A，B三点共线，可知存在实数t使得，然后结合，得到的值，再根据选项判断即可．
本题考查了共线向量定理及其充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：由得，，
，
，
又，
，
，
，
故选：
根据题可以把角A和角B计算出来，进而可以确定三角形的形状．
本题考查了解三角形，余弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】A 

【解析】解：由题意，平面AOB，
所以，，
所以，为直角三角形，且，，，
可得，，
可得，
所以
故选：
由题意可得，为直角三角形，且，，，进而解三角形可得，，，利用余弦定理即可求解的值．
本题考查三角形的实际应用，考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力和数形结合思想，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：以B原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示直角坐标系，

正方形ABCD的边长为7，E是AB的中点，，
则，，
由图可得，的角即为向量 与 的夹角，
，

故选：
以B原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示直角坐标系，正方形ABCD的边长为7，E是AB的中点，，则，，的角即为向量 与 的夹角，再结合向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查了向量夹角公式的应用，建立平面直角坐标系是解本题的关键，属于基础题．
 

11.【答案】C 

【解析】解：由，可得O为BC的中点，
设的外接圆的半径为r，可得，
，则在上的投影为，
所以在上的投影向量为，
故选：
由中点的向量表示可得O为BC的中点，设三角形的外接圆的半径为r，求得，以及则在上的投影，进而得到所求向量．
本题考查三角形的外接圆的性质，以及一向量在另一向量上的投影向量的概念，考查运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】C 

【解析】解：平面向量与共线，
，
，
，当且仅当，时取等号，
故选：
先由向量共线求出，再根据基本不等式即可求出．
本题考查了向量的共线和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，模长公式，属于基础题．
根据向量的数量积的坐标运算，先求出向量的坐标，再利用向量的模长公式即可求出．

【解答】

解：，，
故答案为：

14.【答案】 

【解析】解：在三角形ABC中，由正弦定理可得：
，即，解得，
又因为，则，
所以，
故答案为：
利用正弦定理求出角B的大小，由此可以求解．
本题考查了正弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．
利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可．

【解答】

解：由余弦定理有，
，，，
，
，

故答案为

16.【答案】4 

【解析】解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，

可得，，，，
则
故答案为：
建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算计算即可．
本题考查向量的数量积的计算，属基础题．
 

17.【答案】解：，，，
；
四边形ABCD为平行四边形，
，设，，
，解得，
点D的坐标为；
设所求向量，由已知得：，
解得：
 

【解析】根据A，B，C三点的坐标即可求出；
可设，根据即可求出点D的坐标；
可设所求的向量为，然后根据即可求出x，y的值，进而得出所求向量的坐标．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，相等向量的定义，单位向量的定义，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由余弦定理知，，
所以，即，解得或舍负，
故
因为，，
所以，
由正弦定理知，，
所以，
所以 

【解析】由已知利用余弦定理可得，解方程即可求解b的值．
利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用正弦定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

19.【答案】解：由，
则，，
则
则；
由，，
又，
则，
则 

【解析】由向量数量积的坐标运算先求两向量夹角的余弦，再求正弦即可；
由向量垂直的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题．
 

20.【答案】解：选择条件①：，
因为，
由余弦定理，得：，
因为，
所以
由正弦定理，得，
又因为，
所以
选择条件②：，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以；
由正弦定理知，
所以，
所以，
所以的面积为 

【解析】选择条件①：由已知利用余弦定理可求的值，结合范围，可求B的值．
由已知利用正弦定理可得a的值，利用两角和的正弦公式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
选择条件②：由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求B的值．
由正弦定理可求a的值，利用两角和的正弦公式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，由余弦定理得，
，
所以线段MN的长度为3千米．
设，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，，
因此

，
因为，所以
所以当，即时，取到最大值
答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米． 

【解析】本题考查解三角形的实际应用，关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形．属于中档题.
在中，利用余弦定理得到MN；
设，得到，利用正弦定理将用表示，结合三角函数的有界性求最值．
 

22.【答案】解：因为函数，
令，解得，，
所以函数的单调递增区间为得，；
当时，，则，
又恒成立，则，解得，
故实数m的取值范围为 

【解析】根据向量的数量积的定义以及辅助角公式，化简函数的解析式，然后再根据正弦函数的性质利用整体代换思想即可求解；当时，，求出函数的值域，再利用恒成立思想建立不等式关系即可求解．
本题考查了三角函数图像与性质，涉及到向量的数量积定义以及恒成立问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．