2021-2022学年山西省运城市景胜中学高一（下）月考数学试卷（文科）（4月份）（含答案解析）

2021-2022学年山西省运城市景胜中学高一（下）月考数学试卷（文科）（4月份）

1.  下列说法正确的是(    )
①有向线段三要素是始点、方向、长度
②向量两要素是大小和方向
③同向且等长的有向线段表示同一向量
④在平行四边形ABCD中，

A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④

2.  已知，，若，则(    )

A. 3 B. 6 C. 2 D. 5

3.  已知向量，的夹角是，，，则的值(    )

A.  B. 91 C. 8 D.

4.  设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：
①与；      
②与；       
③与；      
④与
其中可作为该平面其他向量基底的是(    )

A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④

5.  在三棱锥中，已知，，，D是线段BC上的点，，若三棱锥的各顶点都在球O的球面上，则球O的半径为(    )

A. 1 B.  C.  D.

6.  设点，，动点P满足，设点P的轨迹为，圆：，与交于点M，N，Q为直线上一点为坐标原点，则(    )

A. 4 B.  C. 2 D.

7.  复数z满足为虚数单位，则的最大值是(    )

A. 10 B. 9 C. 7 D. 3

8.  若，且，则的最小值是(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

9.  已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为2的等边三角形，球O的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  阿基米德是伟大的物理学家，哲学家，数学家和力学家，是名副其实的“全能天才”．他本人最得意的发现是名为“圆柱容球”的几何图形，就是在圆柱形容器里放了一个球，这个球顶天立地，四周喷边球的直径与圆柱形容器的高和底面直径分别相等人们为了纪念他，根据他本人生前的愿望，在他的墓碑上刻了该几何图形，在一个“圆柱容球”的圆柱内任取一点，则所取的点恰好落在这个“圆柱容球”的球内的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图梯形是一平面图形ABCD的斜二侧直观图，若，，，则四边形ABCD的面积是(    )

A. 10 B. 5 C.  D.

12.  已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为(    )

A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D.

13.  在中，，若点D满足，则______ 用b，c表示

14.  已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，点D是的重心，且，则的外接圆的半径为______.

15.  在复数范围内，为虚数单位是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则__________.

16.  如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧面均为等腰直角三角形，现该三棱锥的表面上有一动点O，且，则动点O在三棱锥表面所形成的轨迹曲线的长度为______.

17.  已知向量与的夹角，且，
求，；
求向量与的夹角的余弦值．

18.  若等边的边长为，平面内一点M满足：
求的值；
求的值．

19.  一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．
求此几何体的表面积；
如果点P，Q在直观图中所示位置，P为所在母线中点Q为母线与底面圆的交点，求在几何体侧面上，从P点到Q点的最短路径长．

20.  如图所示，正方体的棱长为a，连接，，，BD，，，得到一个三棱锥．求：

三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
三棱锥的体积．

21.  如图，长方体中，，，，点E，F分别在，上，过E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
在图中画出这个正方形不必说出画法和理由
求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．

22.  一倒置圆锥体的母线长为10cm，底面半径为6cm，
求圆锥体的高；
一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：①始点、方向、长度可以确定一条有向线段；
即有向线段三要素是始点、方向、长度，该说法正确；
②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，该说法正确；
③根据向量的定义知同向且等长的有向线段表示同一向量，该说法正确；
④，且与方向相同，；
该说法正确．
故选：
根据有向线段的定义，向量的定义，以及向量的几何意义便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．
考查有向线段、向量的定义，以及向量的几何意义，平行四边形的定义．
 

2.【答案】D 

【解析】解：根据，，，
，故，解得；
而，故
故选：
由题意，利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，
本题主要考查的是平面向量的坐标遥算、平面向量的数量积，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：向量，的夹角是，且，，
，
，
，
，
，
，

故选：
根据条件可求出的值，然后即可求出和的值，从而求出的值．
本题考查了向量数量积的计算公式，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：如下图所示：

①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；
②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；
③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；
④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；
故选：
要向量组可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底，这两个向量必不共线平行，画出图形，利用图象分析向量之间是否共线后，可得答案．
本题以命题的真假判断为载体考查了平面向量的基本定理，熟练掌握基底的定义是解答的关键．
 

5.【答案】D 

【解析】解：如图，

在中，由，，
得，
则，
，，
在中，，，，
可得
，即，
又，，平面PAB，得，
而，，平面
设外接圆的半径为r，则，即
三棱锥的外接球的球心O到底面外心的距离等于，
球O的半径为
故选：
由已知利用余弦定理求出BC，证明平面PAB，可得，进一步可得底面ABC，再求出外接圆的半径，然后利用勾股定理求三棱锥的外接球的半径．
本题考查三棱锥的外接球，考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：设，由，得，
整理得：
：；
又圆：，
，
联立与，得MN：
点到直线MN的距离
则，

故选：
由已知求得P的轨迹方程，再求出O到MN所在直线的距离，得到，结合数量积的几何意义求
本题考查圆与圆位置关系的应用，考查数量积的几何意义，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：设，x，，
复数z满足，
，即复数z表示复平面上对应的点的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆，
则的最大值为，
，
的最大值为
故选：
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及共轭复数的概念，即可求解．
本题主要考查了复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查复数代数形式有关式子的几何意义，复数的模，关键是把式子转化为几何意义，考查了转化思想，属于基础题目．
根据式子的几何意义，表示以为圆心，以1为半径的圆，的最小值，就是圆上的点到距离的最小值，转化为圆心到距离与半径的差．
【解答】
解：由题意知，表示：复平面上的点到的距离为1的圆，
即以为圆心，以1为半径的圆，
表示：圆上的点到的距离的最小值，
即圆心到的距离减去半径1，
则
故选  

9.【答案】B 

【解析】

【分析】

由球的表面积求出球的半径，求出底面三角形ABC的外接圆的半径，当点P与底面三角形的顶点连线恰好是正三棱锥时，三棱锥的高PG取得最大值，求出此时的PG，利用棱锥的体积公式求解即可．
本题考查了三棱锥体积的求解，空间几何体的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．

【解答】

解：球O的表面积为，
设球的半径为R，可得，解得，
底面三角形ABC的外接圆的半径为r，
则，解得，
如图所示，底面三角形的外心为G，
因为是边长为2的等边三角形，
所以，
当点P与底面三角形的顶点连线恰好是正三棱锥时，三棱锥的高PG取得最大值，
则，
所以三棱锥的体积的最大值为
故选：

10.【答案】B 

【解析】解：设圆柱的体积为m，球的体积为n，球的半径为r，
则圆柱的高为2r，
所以，，
则所求概率为
故选：
设圆柱的体积为m，球的体积为n，球的半径为r，利用几何概型的概率公式将问题转化为球的体积之比，即可得到答案．
本题考查了数学文化以及几何概型问题，几何概型问题一般会转化为长度、面积、体积的比值进行求解，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
 

11.【答案】B 

【解析】解：如图，根据直观图画法的规则，
直观图中，，原图中，从而得出，且，
直观图中，，原图中，，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．
故其面积
故选
如图，根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长，上底边边长，以及高，然后求出面积．
本题考查平面图形的直观图，考查计算能力，作图能力，是基础题．
 

12.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长以及表面积公式，列式求解即可．

【解答】

解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
因为侧面展开图是一个半圆，
所以，则，
因为圆锥的表面积等于，
所以，解得
故选：

13.【答案】 

【解析】解：如图所示，在中，
，
又，，
，

故答案为：
根据三角形法则，写出的表示式，根据点D的位置，得到与之间的关系，根据向量的减法运算，写出最后结果．
本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础，若单独出现在试卷上，则是一个送分题目．
 

14.【答案】1 

【解析】解：，
由正弦定理可得，，

，
，
，
，即，

，
是的重心，
，
，
解可得，
由余弦定理可得，，
由正弦定理可得，，

故答案为：1
由正弦定理可得，，结合三角形的内角和定理及和角正弦公式进行化简可求A，由三角形的重心性质可知，结合向量数量积的性质可求AB，由余弦定理，求出a，然后再由正弦定理，可求
本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，向量的数量积的性质等知识的综合应用，属于中档试题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的计算，实系数方程根与系数的关系，属于基础题．
根据题意，分析可得是该方程的另一个根，由根与系数的关系可得，解可得a、b的值，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，为虚数单位是关于x的实系数一元二次方程的一个根，
则是该方程的另一个根，
则有，解可得，，
故；
故答案为：

16.【答案】 

【解析】解：如图，轨迹为曲线EFGH，
因为在正三棱锥中，底面边长为，侧面均为等腰直角三角形，
故，
在中，因为，，，
所以，，，
故，
又，，
所以，
则，，
所以点O的轨迹长度为
故答案为：
先找出动点O在三棱锥各个面的轨迹分别为，，，分别求出各段弧对应的圆心角，利用弧长公式求解即可．
本题考查了空间中动点轨迹长度的求解，涉及了三角形中边角关系的应用，弧长公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，
设向量与的夹角，
则 

【解析】本题考查了向量数量的性质的综合应用，属于基础试题．
由已知结合向量数量积的定义及性质即可直接求解；结合向量夹角公式即可直接求解．
 

18.【答案】解：为等边三角形，且边长为，
；
已知等边的边长为，平面内一点M满足：，
则 

【解析】由平面向量数量积运算求解即可；
由平面向量数量积运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
 

19.【答案】解：由图可知，该几何体的表面积是由圆锥的侧面积和圆柱的侧面积及圆柱的底面积组成．
，
，
则该几何体的表面积；
沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，
如图所示：

，，

即从P点到Q点的最短路径长为 

【解析】由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积、圆柱的底面积作和得答案；
把圆柱侧面沿母线剪开再展开，利用勾股定理求解．
本题考查几何体的表面积的求法，考查旋转体表面上最短距离问题，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：正方体的棱长为a，则三棱锥的棱长为，表面积为，正方体表面积为，
三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为：3；
三棱锥的体积为 

【解析】求出三棱锥的棱长为，即可求出三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
利用割补法，即可求出三棱锥的体积．
本题考查三棱锥、正方体表面积、体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：交线围成的正方形EFGH如图所示；

作，垂足为M，则，，
因为EFGH为正方形，所以，
于是，，
因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为 

【解析】本题考查平面与平面平行的性质，比较基础．
过E作EH交AB于H，使得，再过H作HG交CD于G，使得即可；
求出，，，即可求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．
 

22.【答案】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
，，

即圆锥的高等于8cm；
作出圆锥的轴截面如图，球于圆锥侧面相切，
则于E，于D，，为球的半径
则∽，可得OE：：AB，
即，
解之得球半径，
因此球的体积
圆锥的体积
故圆锥体剩余的空间体积为 

【解析】根据圆锥的定义，利用勾股定理加以计算，可得圆锥的高等于8cm；
作出圆锥的轴截面如图，根据球与侧面、底面相切，利用相似三角形的性质列式列式，算出内切球的半径R，进而利用球的体积公式可算出答案．
本题给出圆锥满足的条件，求它的高并求内切球的体积．着重考查了圆锥的定义、球的体积公式、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．